山东省武城县第二中学高中数学第三章不等式专题训练答案不全新人教B版本必修5

不等式专题训练
一、对于不等式性质的问题：
不等式的性质包含四个性质定理及五个推论，它是解不等式和证明不等式的主要
依照.
1．对于实数a,b,c，以下结论中正确的选项是
（）
A．若ab，则ac2bc2B．若a b0，则11
a b
C．若ab0，则ab D．若a b，11，则ab0
b a a b
2．下边四个条件中，
使ab建立的条件是（）
A．ab1B．ab1C．a2b2D．|a|b
3．假如a0,b1，那么以下不等式建立的是（）
A．a a a
B．
a a a a a a
a bb2b2b
aC．a
b2
D．
b bb2
4．假如实数a,b,c知足c b a且ac 0，那么以下选项中不必定建立的是
（）
A．abac B．c(b a)0C．ac(a c)0D．cb2ab2二、对于利用不等式性质求取值范围问
题：
例1．已知函数f(x)ax2c，4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范
围.
4f(1)14a c1
解：
f(2)514a c5
1
令f(3)9ac m(a c)n(4a c)可得
m4n9
m n1
m555(a c)20①
即3，∴333
8
－88(4a c)40②
n
3333
①+②得－19a c20，即1f(3)20
模仿上例解以下几题.
1a b51a b3a3b
1．（青岛模拟）已知，，求的取值范围.三、对于均值不等式条件观察问题（一正，二定，三相
等）
1．以下结论正确的选
项是（）
A．当x0且x1时，lgx
1
2B．当x0时，x
1
2
lgx x C．当x
1
最小值是2D．当0
1
2时，x x2时，x无最大值
x x
2．以下函数中，最小值为4的是（）
A．f(x)4x
4
B．f(x)
2x210
x x24
10
C．
f
(
x
)3x43x．f(x)lgx log
x
D
3．以下函数中，最小值为2的是（）
A．y x1B．y sinx1(0x)
x sinx
C．y e x e x D．y log3x log x3
4．以下说法中，正确的选
项是.
①x
24的最小值为23；②x25最小值为2；③23x4的最小值为2.
x21x24x
四、相关利用均值不等式求分式最值问题.
例1．求函数y x23x3(x1)的最小值.
x1
（可分别变量化为M
P型函数，利用均值不等式求
解）
M
1，因此x21)23t2
解：令x1t0，则x t3x3(t3(t1)t1即y t2
t
t1t112t113
t t
当且仅当t
1
1，即x
0时函数取最小
值 3.
，即t
t
练习：
1．当x1时，求f(x)x1最小值.
x1
2．（辽宁高考）已知 1 x y 4且2 x y 3，求z 2x 3y取值范围.
2．求函数yx
3
(x2)最小值及相应x值. x2
3．求函数y 24
x(x 0)最大值及相应x值.
x
x2
(x0)最大值及相应x值.
4．求f(x)
x42
5．求f(x)x2
x4
(x1)最小值及相应x值.
x1
6．已知0，求f()
(sin22)2
值.
最小值及相应
2sin2
五、相关给定一等式条件，求最值问题：
例1．已知a,b R且a b
11
1，求的最小值.
a b
解法一：∵
1
1a b1，又ab(
a
b)21，∴14
a b ab ab24ab
解法二：（代换法）
1
1a b a b2b a22
b
a4
a b a b a b a b
解法三：（乘1法）
1
1(11)1(11)(a b)2b a4
a b a b a b a b
解法四：（减元法）b1a0，则
1
11，
a1a a(1a)
∵a(1a)(
a(1a)
)2
1
，∴1
a)
4
24a(1
练习：
1.a,b0且a b1，求11最小值.
1a1b
2.已知正整数a,b知足4a b 30，当
11
获得最小值时，试务实数对(a,b)的取值.
a b
3.若lgxlgy
2，求
1
1 的最小值.
x y
4.若x0,y
0且
1
9 1，求x y 的最小值.
x
y
5.若正数x,y 知足x 3y 5xy ，求3x
4y 最小值.
6.已知a 0,b 0,a b1，
求证：①
1
1 1 8；②(11
)(1
1
)9.
a
b
ab
a
b
例2．已知a,b
R
且3a
2b
2，求ab 的最大值及相应 a,b 的值.
解法一：2
3a 2b
26ab
6ab
1
1
ab
1
,b
1
6
当3a
2b 1即a
取“＝”
3
1 2
1
3a
2b
)21
解法二：配凑法
ab
3a 2b ( 2
6 6 6
当且仅当3a
2b 1，即a 1
1 时取“＝”
，b 2
3
2
(1 解法三：消元法
由3a
2b
2 ，得a
b)
3
ab
2 (1 b) b 2 ((1 b)
b )2
2 1 1
3
3 2
3 4
6
当1
b b ，即b
1 1
时，取“＝”，此时a
3
2
练习：
1．若x
0,y 0,4x
3y 12，求xy 最大值.
2．点P(x,y)在直线2x y 4 0上运动，求它的横纵坐标之积的最大值以及此时 P
的坐标.
3．若a 0,b 0且ab a b 3，求ab 的取值范围.
4．ABC中，已知c62，C30°，求a b的最大值.
5．已知x0,y 0,x 2y 2xy 8，求x2y的最小值.
（6．已知lg(3x)lgy lg(x y 1)，①求xy最小值；②求x y的最小值.
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（六、相关运用均值不等式解应用题问题
（例：以以下图，动物园要围成四间同样面积的长方形虎笼，一面可利用原有墙（墙足
够长），其余各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36m长的钢筋网资料，每间虎笼长、宽各设计多少时，可使每间虎笼面
积最大？2
（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼长、宽各设计多少时，可使四间虎笼面积最大？
练习：
1．（北京高考）某车间分批生产某种产品，每批生产准备花费为800元，若每批生产x 件，则均匀仓储时间为
x
天，且每件产品每日仓储花费为1元，为使均匀到每件产品
8
生产准备花费与仓储花费之和最小，每批应生产产品（）
A．60件B．80件C．100件D．120件
2．（辽宁高考）一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直抵B市，已知两地铁路
线长400km，为了安全，两车之间距离不得小于(
v
)2km，那么这批货物所有抵达
20
B市，最快需要（）
A．6h B．8h
C．10h
D．12h
3．某单位用2160
万元购得一块空地
计划在该空地上建
筑一栋起码10层
每层2000平方米
的楼房，经测算，
假如将楼房建为
x(x10)层，则每平
方米的均匀建筑花
费为
48x（单元：元）
（1）写出楼房均
匀综合花费y对
于建筑层数x的
函数关系式；
（2）该楼房应建
多少层时，可使楼
房每平方米均匀综
合花费最少；最少
值是多少？
购地总花费
（注：均匀综合花费＝均匀建筑花费＋均匀购地花费，均匀购地花费＝）
建筑总面积
4．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面宽与高比为（＜1），画面的上、
下各留 8cm 空白，左右各留
5cm 空白，问如何确立画面高与宽的尺寸，能使宣传画所
用纸张面积最小？假如[2 ,3
]，那么 为什么值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
3 4
七、相关分式不等式的解法问题
f(x) 0 f(x) g(x)
0 ，f(x)
f(x) g(x)
g(x) 0
g(x)
g(x)
f(x) 0
f(x) g(x) 0 ，f(x) 0
f(x) g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
练习：
1．不等式
x 1 ）
2x 0的集为（
1
A ．(
1
,1]
B ．[
1
,1]
2
2
C ．(
,
1
)U[1,
)
D ．(
,1
]U[1,
)
2．
1
x
2
2
0的解集为 .
x 1 2
3．
2 的解集为
.
1
x
4．不等式
x 2
2x 2 2 的解集为
.
x 2 x 1
5．不等式
x 5
2的解集为
.
(x 1)2
八、三个“二次”关系的应用
例：若不等式ax 2
bx c 0的解集为{x|
1 x 2}，
3
求不等式cx 2 bx
a 0的解集.
练习：
1．不等式ax 2 8ax 21 0的解集为{x| 7 x 1}，那么a 的值是
. 2．若不等式
2x 2
6x 1 0的解集为{x|
1 x m}，则b,m 的值为
.
2
)，则对于x 的不等式ax
b
3．若对于x 的不等式ax
b 0的解集为(1,
0的解
x
2
集是
.
九、相关不等式恒建立问题
已知某不等式在某区间上恒建立，求此中参数范围的问题称为恒建立问题。

对恒
建立问题常常从以下几个方面下手：
（1）联合二次函数图象和性质用鉴别式法；
（2）
从函数最值下手，如大于零恒建立可转变为最小值大于零； （3）能分别变量尽量把参
数和变量分别出来；（4）数形联合，联合图形，从整体上掌握图形.
例1．若对于x 的不等式ax 2 2x 2
0在R 上恒建立，务实数a 的取值范围.
解：当a0时，2x
2 0解集不为R 舍去
当a0时，
a
a 1.
22 4
2a
2
综上，a 的取值范围是(1
,
).
2
练习：
1．对于x 的不等式mx 2
(m 3)x 1 0对随意实数x 均建立，求m 的取值范围.
2．不等式3x
2
2x 2 m 对随意实数x 都建立，求自然数
m 的值.
x 2
x 1
3．已知{x|ax 2
ax 1 0} ，务实数a 的取值范围.
4．函数
f(x) x 2 2a(x 1) 3定义域为R ，试求a 的取值范围.
例2．试确立实数a 的取值范围，使对一确实数不等式 x
4
(a1)x
2
10恒建立.
解：令x
2
t 0，原不等式可转变为
t
2
(a 1)t
1 0恒建立.
法一（分别参数求最值）：(1a)t
t 2
1
当t 0时，上式恒建立，此时 a R
当t
0时， 1 a t
1 0
1
2，因此1
a 2，即a
1
，又t
，t
综上，a
1
t
t
法二（最值法）：f(t)t
2
(a 1)t 1(t
0)，对称轴t
a1 ，二次函数图象还
2
过定点（0,1 ）
当对称轴t
a 1 0，即a 1时，比[0, )为增函数
2
a 1
f(t)min
f(0)
1 0恒建立，当t
0即a
1时
2
a 1)2
a 1)
f(t)min
( (a 1) ( 1 0，
2
2
即1 a3，又a 1，∴
1 a
1，综上，a
1
练习：
1．对于不等式
1
(2t t 2)
x 2 3x 2
3 t 2 ，试求区间［
0,2］上随意x 都建立的
实数t
8
的取值范围.
2．f(x)
x 2 2ax 2(a R)当x
[1, )时，f(x) a 恒建立，求a 的取值范围.
十、含参一元二次不等式的解法
解含参一元二次不 等式时，一般应付字母系数分类议论， 分类议论源于以下三个方向 （1）若二次项系项为字母 a ，应分a 0,a 0,a 0三种状况议论.
（2）若一元二次方程鉴别式符号不确立，则应分 0, 0, 0三种状况议论.
3）若一元二次方程的两个不等实根大小不确立，应分两根相等与不等两种状况议论. 例.解对于x 的不等式ax 2(a1)x10
解：若a 0，原式可化为
x 1 0，即x
1
若a 0，ax 2
(a 1)x 1 (x 1)(ax 1) 0
即(x
1)(x
1) 0，又x
1,x 2 1
0，此时的解集为
{x|x
1或x 1}
a
1
a
a
1
)0
若a
0 ，ax 2
(a 1)x 1
(x 1)(ax
1) 0，即(x
1)(x
1
a
x 1 1,x 2
，下边对两根议论
（1）当
1
a
1，即a
1时(x
1)2
0无解；
a
（2）当
1
1，即0
a 1时，解集为{x|1
x
1
}；
a
a
（3）当
1
1，即a
1时，解集为{x|
1
x
1}
a
a
综上，
当 a
0 时解集为
或
1 ，
1 x
}
{x|x
当a 0 时解集为{x|x 1}
a
当 0
a
1时解集为{x|1
x
1
}，
a
当a1时解集为，a1时解集为{x|1
x1} a
练习：
解对于x的不等式，ax22(a1)x40。