【数学】河南省洛阳市2020届高三上学期期中考试数学(理)试卷

洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试
数学试卷（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，复数满足i＝1＋2i，则｜｜等于
A．5
B．5C．1 D．3
2．已知集合A＝{｜log3（－2）≤2}，B＝{｜2－m＞0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是A．（－∞，4] B．（－∞，4）
C．（－∞，22）D．（－∞，22]
3．已知实数，y满足
1
3
41
y x
x y
y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
－≤，
＋≤，
≥．
则＋3y的最大值为
A．0 B．3 C．4 D．7
4．执行右面的程序框图，若输出的S＝1
4
，则输入的n值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知
3
5
a＝，
02
log01
b
．
＝．，
3
log2
c＝，则a，b，c的大小关系是
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为
A．33B．62C．3
D．2
7．已知偶函数f（）的图象关于（1，0）对称，且当∈（0，1）时，f（）＝2，则∈（9，10）时，f （）＝
A．2B．－2C．（－8）2D．－（10－）2
8．已知p：函数y＝ln（2－a＋1）的定义域为R，q：e＞a对任意实数恒成立，若
p ∧q 真，则实数a 的取值范围是
A ．[0，2）
B ．[2，e ）
C ．（－2，e ）
D ．[0，e ）
9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若
△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为
A
．y ±＝ B
．y ±＝
或2
y x ±＝ C
．y x ＝ D
．y x ±＝
或y x ±＝ 10．已知函数()(]201lg (1)x x x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋，∈，，＝，∈＋∞，
若f （）＝a 有三个不等实数根1，2，3，则1＋2＋3的取值范围是
A ．（2，＋∞）
B ．[2，＋∞）
C ．（2
，1 D ．[2
，111．已知数列{n a }满足11a ＝，22a ＝，2221cos sin 22n n n n a a π
π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
＋＝＋＋，n N *∈则2019a ·22020log a 的值为
A ．0
B ．1
C ．10102
D ．10101010
12．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥
D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为
A
．3 B
．3 C ．209π D ．203
π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量a r ，b r 满足a r ·b r ＝2，｜b r ｜＝1，｜a r －2b r ｜＝2，则｜a r ｜＝__________．
14．已知数列{n a }的通项公式为631317
n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．
15．已知函数f （）＝sin ＋2cos ，在0处取得最小值，则f （）的最小值为__________，此时cos 0＝
__________．
16．已知点P 是曲线214
x y ＝上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线 y ＝e 上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n －，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ．
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）求数列{n b }的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13
，AD ＝7．
（1）求边BC 的长；
（2）求△ABD 内切圆半径．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝
12
BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．
（1）求证：AB ⊥平面PAC ；
（2）若Q 是棱AB 上一点，14
Q BMC P ABC V V －－＝，求二面角
Q －MC －A 的大小．
20．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：22221x y a b
＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为63P （2，2）． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P 与以
MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数f （）＝e －cos －2．
（1）求f （）在点（0，f （0））处的切线方程；
（2）求证：f （）在（－
2π，＋∞）上仅有2个零点．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系Oy 中，直线l
的参数方程为11x t y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝（t 为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ－－＝．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M （1，1），求11MA MB
＋的值．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （）＝｜－3｜－2｜｜．
（1）求不等式f （）≥2的解集；
（2）若f （）的最大值为m ，a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3．。