2020版高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版ppt版本
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25
+
������2
25
=1
或������2
8
+
���6���2=1
3
4
-15-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
解析: (1)设椭圆的标准方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0), 由点 P(2, 3)在椭圆上知���4���2 + ���3���2=1.
B.���4���2+y2=1
C.6������42
+
2
16 =1
D.���5���2 + ���4���2=1
解析:由题意得 4a+4b=24,即 a+b=6①,由������������ =
3得
2
a=2b②,由①
②解得
a=4,b=2.所以椭圆
Γ
的方程为������2
16
+
���4���2=1,故选
-14-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
椭圆的标准方程及应用
例 2(1)(2018 宁德一模,14)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在
x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆
的方程为
.
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
解析: (1)∵F1,F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>0,b>0)的两个焦点,
P 为椭圆 C 上一点,且������������1 ⊥ ������������2, ∴|PF1|+|PF2|=2a,|������������1|2 + |������������2|2=4c2,12|PF1||PF2|=9, ∴(|������������1| + |������������2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2, ∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3,故选 C.
������ + 2 + ������ + 1 ≠ 0, 解不等式组得实数 m 的取值范围为 -2,-32 ∪ -32,-1 .
必备知识·预案自诊
考点1
考点2
考点3
考点4
椭圆的定义及其标准方程
例 1(1)已知点 M 是圆 E:(x+1)2+y2=8 上的动点,点 F(1,0),O 为坐
标原点,线段 MF 的垂直平分线交 ME 于点 P,则动点 P 的轨迹方程
( D)
A.3 2
B.4 2
C.6 2
D.7 2
-10-
必备知识·预案自诊
考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)因为点 P 在线段 MF 的垂直平分线上,所以|PF|=|PM|,
所以|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|EM|=2 2.所以点 P 的轨迹为以 E,F 为
焦点的椭圆.
设椭圆方程为������������22
又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
4 ������2
+
3 ������2
=
1,
即 2a=2×2c,������������ = 12.又 c2=a2-b2,联立 ������2 = ������2-������2,
������ ������
9.5 椭圆
知识梳理 考点自诊
必备知识·预案自诊
-2-
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常 数: (1)若 2a>|F1F2| ,则点P的轨迹为椭圆; (2)若 2a=|F1F2| ,则点P的轨迹为线段; (3)若 2a<|F1F2| ,则点P不存在.
为( B )
A.���4���2 + ���3���2=1
B.���2���2+y2=1
C.���5���2 + ���4���2=1
D.���3���2+y2=1
(2)(2018 山东威海二模,5)已知椭圆���8���2 + ���2���2=1 左右焦点分别为
F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为
F1(-c,0),F2(c,0)
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
轴 离心率
长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b e=ac,且 e∈(b2
必备知识·预案自诊
-4-
知识梳理 考点自诊
的矩形 ABCD 截某圆锥得到椭圆 Γ,且 Γ 与矩形 ABCD 的四边相切.
设椭圆 Γ 在平面直角坐标系中的方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0),测得 Γ 的
离心率为 23,则椭圆 Γ 的方程为( A )
A.1������62 + ���4���2=1
知识梳理 考点自诊
必备知识·预案自诊
-6-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是 椭圆.×( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c( 其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( × ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.
|AB|min=2������������2
=
2( 2
2)2 2
=
2,
所以|AF2|+|BF2|最大值为 8 2 − 2=7 2,故选 D.
-11-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
思考何时利用定义解决有关问题?
解题心得(1)解答椭圆的问题时,遇到椭圆上动点到焦点的距离,
要联想到椭圆的定义,解题时莫忘记2a>|F1F2|这一条件;
必备知识·预案自诊
-8-
知识梳理 考点自诊
3.(2018 安徽亳州期末,7)大约 2000 多年前,古希腊数学家最先
开始研究圆锥曲线,并获得了大量的成果,古希腊数学家阿波罗尼斯
采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线,用垂直于锥轴的平面
去截圆锥,得到的是圆;把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为 24
(4)椭圆中点弦的斜率公式 若 M(x0,y0)是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的 中点,则有 kAB·kOM=-������������22,即 kAB=-������������22������������00.
-12-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
对点训练 1(1)(2018 四川成都七中一模,9)已知 F1、F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且������������1 ⊥ ������������2,若 △PF1F2 的面积为 9,则 b 的值为( C )
+
������2 ������2
=1,则
2a=2
2,c=1,所以 a=
2,b=1.所以点
P 的轨迹方程为���2���2+y2=1.
(2)由题得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×2 2=8 2.
所以|AF2|+|BF2|=8 2-|AB|,当 AB⊥x 轴时,|AB|最小,|AF2|+|BF2| 最大.
()
知识梳理 考点自诊
必备知识·预案自诊
-7-
2.(2018山东烟台一模,5)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆 上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆的短轴长为( A )
A.6 B.8 C.9 D.10
解析:由题意,知椭圆满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定 义可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所 以椭圆的短轴为2b=6,故选A.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2018 湖南湘潭四模,9)已知 F 是椭圆 C:���9���2 + ���5���2=1 的左焦点,P
为 C 上一点,A(1,43),则|PA|+|PF|的最小值为( D )
A.130
B.131
C.4
D.133
-13-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
(2)用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判 断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;② 设方程:根据上述判断设方程������������22 + ������������22=1(a>b>0)或������������22 + ������������22=1(a>b>0); ③找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 的方程组;④得方程:解方程 组,将解代入所设方程,即为所求.
3.常用结论 (1)过椭圆������������22 + ������������22=1 上一点 M(x0,y0)的切线方程为������������02������ + ���������0���2������=1. 切点(为2)若P1点,P2P,则(x切0,y点0)在弦椭P圆1P������2������22的+直������������22线=方1 外程,则是过������������02���点��� +P���������作���02������=椭1圆. 的两条切线, (3)椭圆的焦半径公式 设 M(x0,y0)是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点 为 F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中 e 是离心率).
A.
知识梳理 考点自诊
必备知识·预案自诊
-9-
4.(2018 河南南阳一中月考,14)若方程������������+22 − ������������+21=1 表示椭圆,
则实数 m 的取值范围是
.
答案: -2,-32 ∪ -32,-1
������ + 2 > 0, 解析:由椭圆方程可知 ������ + 1 < 0,
必备知识·预案自诊
知识梳理 考点自诊
2.椭圆的标准方程及性质
标准方程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
y2 a2
+
bx22=1(a>b>0)
图形
-3-
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:(0,0)
性 顶点 质 焦点
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
P1( 6,1),P2( 3, 2),则椭圆的方程为
.
(3)(2018 成都二模,14)与椭圆���4���2 + ���3���2=1 有相同离心率且经过点
P(2,- 3)的椭圆方程为
.
答案: (1)���8���2 + ���6���2=1
(2)���9���2 + ���3���2=1
(3)
������2
知识梳理 考点自诊
必备知识·预案自诊
-5-
(5)弦长公式:直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|= 1 + ������2|x1-x2|= (1 + ������2)[(������1 + ������2)2-4������1������2]
= 1 + ���1���2|y1-y2| (1 + ���1���2)[(������1 + ������2)2-4������1������2](k 为直线斜率). (6)若 P 是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)上的点,F1,F2 为焦点,若∠ F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为 b2tan���2���. (7)椭圆������������22 + ������������22=1 的通径长为2������������2.
(2)设椭圆 C:���9���2 + ���5���2=1 的右焦点为 F'(2,0),左焦点为 F(-2,0), 由 A 1,43 ,得|AF'|=53, 根据椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=6,
所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|≥6-|AF'|=6-53 = 133.故选 D.
+
������2
25
=1
或������2
8
+
���6���2=1
3
4
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考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
解析: (1)设椭圆的标准方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0), 由点 P(2, 3)在椭圆上知���4���2 + ���3���2=1.
B.���4���2+y2=1
C.6������42
+
2
16 =1
D.���5���2 + ���4���2=1
解析:由题意得 4a+4b=24,即 a+b=6①,由������������ =
3得
2
a=2b②,由①
②解得
a=4,b=2.所以椭圆
Γ
的方程为������2
16
+
���4���2=1,故选
-14-
考点1
考点2
考点3
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椭圆的标准方程及应用
例 2(1)(2018 宁德一模,14)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在
x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆
的方程为
.
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
解析: (1)∵F1,F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>0,b>0)的两个焦点,
P 为椭圆 C 上一点,且������������1 ⊥ ������������2, ∴|PF1|+|PF2|=2a,|������������1|2 + |������������2|2=4c2,12|PF1||PF2|=9, ∴(|������������1| + |������������2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2, ∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3,故选 C.
������ + 2 + ������ + 1 ≠ 0, 解不等式组得实数 m 的取值范围为 -2,-32 ∪ -32,-1 .
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考点1
考点2
考点3
考点4
椭圆的定义及其标准方程
例 1(1)已知点 M 是圆 E:(x+1)2+y2=8 上的动点,点 F(1,0),O 为坐
标原点,线段 MF 的垂直平分线交 ME 于点 P,则动点 P 的轨迹方程
( D)
A.3 2
B.4 2
C.6 2
D.7 2
-10-
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考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)因为点 P 在线段 MF 的垂直平分线上,所以|PF|=|PM|,
所以|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|EM|=2 2.所以点 P 的轨迹为以 E,F 为
焦点的椭圆.
设椭圆方程为������������22
又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
4 ������2
+
3 ������2
=
1,
即 2a=2×2c,������������ = 12.又 c2=a2-b2,联立 ������2 = ������2-������2,
������ ������
9.5 椭圆
知识梳理 考点自诊
必备知识·预案自诊
-2-
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常 数: (1)若 2a>|F1F2| ,则点P的轨迹为椭圆; (2)若 2a=|F1F2| ,则点P的轨迹为线段; (3)若 2a<|F1F2| ,则点P不存在.
为( B )
A.���4���2 + ���3���2=1
B.���2���2+y2=1
C.���5���2 + ���4���2=1
D.���3���2+y2=1
(2)(2018 山东威海二模,5)已知椭圆���8���2 + ���2���2=1 左右焦点分别为
F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为
F1(-c,0),F2(c,0)
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
轴 离心率
长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b e=ac,且 e∈(b2
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知识梳理 考点自诊
的矩形 ABCD 截某圆锥得到椭圆 Γ,且 Γ 与矩形 ABCD 的四边相切.
设椭圆 Γ 在平面直角坐标系中的方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0),测得 Γ 的
离心率为 23,则椭圆 Γ 的方程为( A )
A.1������62 + ���4���2=1
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-6-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是 椭圆.×( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c( 其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( × ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.
|AB|min=2������������2
=
2( 2
2)2 2
=
2,
所以|AF2|+|BF2|最大值为 8 2 − 2=7 2,故选 D.
-11-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
思考何时利用定义解决有关问题?
解题心得(1)解答椭圆的问题时,遇到椭圆上动点到焦点的距离,
要联想到椭圆的定义,解题时莫忘记2a>|F1F2|这一条件;
必备知识·预案自诊
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知识梳理 考点自诊
3.(2018 安徽亳州期末,7)大约 2000 多年前,古希腊数学家最先
开始研究圆锥曲线,并获得了大量的成果,古希腊数学家阿波罗尼斯
采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线,用垂直于锥轴的平面
去截圆锥,得到的是圆;把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为 24
(4)椭圆中点弦的斜率公式 若 M(x0,y0)是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的 中点,则有 kAB·kOM=-������������22,即 kAB=-������������22������������00.
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考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
对点训练 1(1)(2018 四川成都七中一模,9)已知 F1、F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且������������1 ⊥ ������������2,若 △PF1F2 的面积为 9,则 b 的值为( C )
+
������2 ������2
=1,则
2a=2
2,c=1,所以 a=
2,b=1.所以点
P 的轨迹方程为���2���2+y2=1.
(2)由题得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×2 2=8 2.
所以|AF2|+|BF2|=8 2-|AB|,当 AB⊥x 轴时,|AB|最小,|AF2|+|BF2| 最大.
()
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2.(2018山东烟台一模,5)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆 上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆的短轴长为( A )
A.6 B.8 C.9 D.10
解析:由题意,知椭圆满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定 义可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所 以椭圆的短轴为2b=6,故选A.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2018 湖南湘潭四模,9)已知 F 是椭圆 C:���9���2 + ���5���2=1 的左焦点,P
为 C 上一点,A(1,43),则|PA|+|PF|的最小值为( D )
A.130
B.131
C.4
D.133
-13-
考点1
考点2
考点3
必备知识·预案自诊 考点4
(2)用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判 断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;② 设方程:根据上述判断设方程������������22 + ������������22=1(a>b>0)或������������22 + ������������22=1(a>b>0); ③找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 的方程组;④得方程:解方程 组,将解代入所设方程,即为所求.
3.常用结论 (1)过椭圆������������22 + ������������22=1 上一点 M(x0,y0)的切线方程为������������02������ + ���������0���2������=1. 切点(为2)若P1点,P2P,则(x切0,y点0)在弦椭P圆1P������2������22的+直������������22线=方1 外程,则是过������������02���点��� +P���������作���02������=椭1圆. 的两条切线, (3)椭圆的焦半径公式 设 M(x0,y0)是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点 为 F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中 e 是离心率).
A.
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4.(2018 河南南阳一中月考,14)若方程������������+22 − ������������+21=1 表示椭圆,
则实数 m 的取值范围是
.
答案: -2,-32 ∪ -32,-1
������ + 2 > 0, 解析:由椭圆方程可知 ������ + 1 < 0,
必备知识·预案自诊
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2.椭圆的标准方程及性质
标准方程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
y2 a2
+
bx22=1(a>b>0)
图形
-3-
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:(0,0)
性 顶点 质 焦点
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
P1( 6,1),P2( 3, 2),则椭圆的方程为
.
(3)(2018 成都二模,14)与椭圆���4���2 + ���3���2=1 有相同离心率且经过点
P(2,- 3)的椭圆方程为
.
答案: (1)���8���2 + ���6���2=1
(2)���9���2 + ���3���2=1
(3)
������2
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(5)弦长公式:直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|= 1 + ������2|x1-x2|= (1 + ������2)[(������1 + ������2)2-4������1������2]
= 1 + ���1���2|y1-y2| (1 + ���1���2)[(������1 + ������2)2-4������1������2](k 为直线斜率). (6)若 P 是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)上的点,F1,F2 为焦点,若∠ F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为 b2tan���2���. (7)椭圆������������22 + ������������22=1 的通径长为2������������2.
(2)设椭圆 C:���9���2 + ���5���2=1 的右焦点为 F'(2,0),左焦点为 F(-2,0), 由 A 1,43 ,得|AF'|=53, 根据椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=6,
所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|≥6-|AF'|=6-53 = 133.故选 D.