初三数学圆的经典讲义之欧阳美创编

圆
目录
一．圆的定义及相关概念
二．垂经定理及其推论
三．圆周角与圆心角
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形
六．会用切线 , 能证切线
七．切线长定理
八．三角形的内切圆
九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系
十一．圆的有关计算
十二．圆的基础综合测试
十三．圆的终极综合测试
一．圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5
点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内
⇔ d＜r；
【典型例题】
例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

于B，且AB=OC，求∠A的度数。

例3 ⊙O平面内一点P和⊙O
3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm ，
CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？
例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知
AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，
求CD 的长．
例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】
1.下列命题中，正确的是（ ）
A ．三点确定一个圆
B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆
C ．任何一个四边形都有一个外接圆
D ．等腰三
角形的外心一定在它的外部
2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个
三角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
3．圆的内接三角形的个数为（ ）
A ．1个
B ．2
C ．3个
D ．无数个A B
D C O · E
4．三角形的外接圆的个数为（）
A．1个 B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）
①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定
一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一
点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
个
6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是
( )
A.圆的外部(包括边界)；
B.圆的内部(不包括边
界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界)
7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P
在⊙O上,则OA的长( )
A.等于6cm
B.等于12cm；
C.小于
6cm D.大于12cm
8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB
上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A
且长小于8的弦有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.4条
10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需
要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一
条半径．（要求保留作图痕迹）
11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，
以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点
D ，求CD 的长．
12拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，
则它的外接圆半径是＿＿。

14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，
在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整
数的弦的条数为＿＿。

15.思考题
如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一
点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向
CD 引垂
线AE 和BF,求AE-BF 的值.
【作业】日期 姓名完成时间成绩
1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距
为 ____
2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且
AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.
3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则
经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为
_______．
4. 如图,A,B,C 三点在⊙O上,且AB 是⊙O的直径,半
径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,
则OA=______ ,AC=______,BC=_________.
5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB=____
6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC 的中点.
⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是形; · A B D C
E P
F O F
A D C B
O
⑵若OD=3,半径5
r,则AB=_cm,AC=___ _cm
7.如图7，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知
AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°，则CD的长为
_________．
(5) (6) (7)
二．垂径定理及其推论
【考点速览】
考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的两条孤．
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并
且平分弦所对的两条孤．
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所
对的两条孤．
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，
并且平分弦所对的另一条孤．
推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．
垂径定理及推论1中的三条可概括为：
①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两
点
【典型例题】
例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD
的中点，且CNM AMN ∠=∠．
求证：AB=CD ． 例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥l 于E ，BF⊥l 于F 。

求证：CE=DF ．
例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长
为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点
D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于
E ，DF⊥CD 交AB
于F 。

（1）求证：AE ＝BF
（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积
定值，若不是，请说明理由。

例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为122PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，
请说明理由. A
B
C D P O 。

A
B D
C O · N M
【考点速练】
1.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长cm
2，则这条弦
3
的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）.
A．1cm B.2cm C.cm
2 D.cm
3cm
3．如图1，⊙O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（）
A．10cm B.8cm C.cm
4
2 D.cm
2
8
4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（）
A．0个 B.1个 C.2个D.3个
5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）
A ．3:2 B.
5:2 C.5:2
D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径
为（ ）
A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm
7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦
AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是.
8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱
高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.
9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm CD ． 10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 则AD 的长为。

11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 倍,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边D C A C
B A D E C
B ·
图1 A ·O
C D B 图2
形OACB 的形状,并说明理由.
12.如图所示，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.
13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC. 【作业】日期 姓名完成时间成绩 1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M 。

且OM=3cm ，则CD=.
2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB=cm.
3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是.
4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=，⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.
5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是.
6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于.
7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则 ·O
A B D C
E F M
N
1O A
B 2O M N
C P
∠BED=.
8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角
【考点速览】
考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。

两个条件缺一不可．
Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
考点2
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg: 如下三图，请证明。

考点3
4. 推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，· A E F
B C
D O
相等的圆周角所对的弧也相等．
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，︒
90的圆周角所对的弦是直径．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
经典例题
例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有。

例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则
∠OBC=_____.
例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=．
的直径，点C D E
，，都在⊙O
A B
+=
∠∠º．
O
A B
C
E F
C
G
O
例
5：如
图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠=．
例6：已知：如图，AD•是⊙O •的直径，∠ABC= 30 °，则∠CAD=_______．
例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．
例8 已知：如图所示，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2
考点练习
1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=
︒，则
_ . . . （例１） B C
A · O
B D
C G F 1 E
圆心角AOB ∠是（ ）
A ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒
2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3.△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）
A ．32
B ．33
C ．3
D ．3
4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A ．30° B．150° C．30°或150°
D ．60°
5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
B
E
D A C O
6.下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②⑤
D ．②④⑤
7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半
径为2，
则等边三角形ABC 的边长为（ ）
A B C ． D ．8.如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD=6，则BC ＝。

9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视 器台。

10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数
（第9题） 65
A B O C x P
分别是70°、40°，则∠1的度数为。

11.如图,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是.
12.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场
地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的
方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次
走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE
＝56°，则α的度数是.
13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB ＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的E
D B
O
C
圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。

（1）求证：AC ＝AE ；
（2）求△ACD 外接圆的半径。

16.已知：如图等边ABC △
上的一点（端点除外），延长BP 结
CD ． （1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由．
（2）若AP 不过圆心
O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？
【考点速览】
圆心角, 弧,弦,
推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条
弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：在同圆或等圆中）
图① 图②
例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．
例2、已知：如图，EF 为⊙O的直径，过EF 上一点P 作
弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒
72，⊙O 截ABC ∆的
例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED BC=DE ．求证：AC=AE ．
例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦OD⊥AB 于D ，OE⊥BC 于E ．
求证：ODE ∆是等边三角形． 综合练习 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、相等的弧
所对的圆心角相等
C 、相等的弦所对的弦心距相等
D 、弦心距相等，则弦相等
A B E F
O
P C 12D
A B C O D E 2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OB C=︒40，
那么∠OAC 等于（ ）
A 、︒15
B 、︒20
C 、︒25
D 、︒30 3．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，
则过P 点弦中，最短的弦长为（ ）
A 、1cm
B 、3cm
C 、
32cm D 、4cm
4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD
所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、
CD 两弦相距（ ）
A 、3
B 、6
C 、
13+ D 、333±
5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直
径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。

（1）试说明△ODE 的形状；
（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是
否仍然成立，说明你的理由。

6 如图，△ABC 是等边三角形，⊙O 过点B ，C ，且与BA 、CA 的延长线分别交于点D 、E.弦DF∥AC，EF 的
延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形；
（2）BA=4，CG=2，求BF 的长.7 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分
· O 图 A B
C A
B C
O D
E · A O E D
F
如图3 如图4 如图5
点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。

求证：AE=BF=CD 。

【作业】日期 姓名完成时间成绩
1.如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，AB
C 则⊙O 的半径为（ ）.
A ．22
B ．4
C ．
32 D ．5 2.如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点， 40=∠A ，则
BOC ∠等于（ ）.
A ． 40
B ． 50
C ． 70
D ． 80
3.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的
中点，CD 交OB 于E ， 55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.
4.如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点， 130=∠D ，则BAC ∠的度数是 .
5.如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm.
6．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，C O⊥AB，D 是CO 的中点，DE∥AB．求证:EC=2EA 如图1 如图2
D E C
五．圆内接四边形
【考点速览】
圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。

判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。

【典型例题】
例 1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．
（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、
∠D 的度数．
例2 四边形ABCD 内接于⊙O，点P 在CD 的延长线
上，且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅
例3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 上任
一点．求证：DB+DC=DA ．
例4 AB 是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF 和DE 的延长
线交于C ，连结DF 、EF ，
求证：FE FD FA FC ⋅=⋅ 例5 如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的延长线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22
【考点速练】
· A D C B O P A · B C D O · A B C D O · A
E O
1．圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都它的内对角．
2．已知四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7，且最大的内角为．3．如右图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CD于E，若∠ABC=︒
130，则∠DAE=．
4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角
度数比为2:3:4，
则∠A=，∠B=．
5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的延长线上一点，BD=CD，∠EAD=︒
55，则∠BDC=．
7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D大︒
30，则∠A=。

∠D=．
8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（）
A、︒5.
67B、︒
135C、︒5.
112D、︒
110 9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（）
A、1对
B、2对
C、3对
D、4对10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边
·A
B
C E D
O
长等于（ ）
A 、215
B 、315
C 、23
15 D 、2
215 11．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ）
A 、有一个角为︒60的平行四边形
B 、菱形
C 、矩形
D 、直角梯形
12．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C 等于（ ）
A 、︒120
B 、︒80
C 、︒60
D 、︒40 13．若四边形ABCD 内接于圆，且
∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则（ ）
A 、5m=4n
B 、4m=5n
C 、m+n=9
D 、m=n=︒180
14．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）.
(1)求ACB ∠； (2)求三角形ABD 的最大面积． 15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD
A
C B P Q 图
1 A D B C
· O 图2 A
B
C O D
与BC 交于
E 点，连结BD 、DC.
（1）求证:BD·DC=DE·DA；
（2）若将
D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.
【作业】日期 1．过四边形ABCD ∠B+∠D ︒>180，则D A 、圆上 B 定
2．如图1，若AC=AD ，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ）
A 、5对
B 、6对
C 、7对
D 、8对
3．如图2，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形
4．如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE⊥CD，若∠B=︒120，则∠DAE 为（ ）
A 、︒60
B 、︒30
C 、︒50
D 、︒70 5．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是A B C D
图1 A
· B
C D E O A B C D E
图2 · A B D O A A
⊙O 直径，若∠DAC= 60，BC=337
，AD=5．求AC 的
长． 六．会用切线，能证切线
考点速览：
考点1
直线与圆的位置关系
考点2
切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言
∵ OA⊥ l 于A ， OA 为半径
∴ l 为⊙O 的切线
考点3
判断直线是圆的切线的方法：
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）
考点4
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）
经典例题：
例1.如图，△ABC 内接于⊙O， AB 是 ⊙O 的
直径，∠CAD＝ ∠ABC，判断直线AD 与⊙O
的位置关系，并说明理由。

例2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm ，⊙O 的半
径为5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为什么?
例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P＝40。

，
求∠C 的度数。

例4．如图所示，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC
中点。

求证：DE 是⊙O 的切线． 例5．（2010深圳）如图10，以点M （－心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、直线y ＝－ 33x － 533
与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．
（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3
分） （2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP:PH ＝3:2， B
求cos∠QHC 的值；（3分）
（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、
C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x
轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足
MN·MK＝a ，如果存在，请求出a 的值；如
果不存在，请说明理由．（3分）
中考链接
1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A ，与大圆相交于点B ，小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB. 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。

2. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90。

，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点
图10
图11
图12
D、E，且∠CBD= ∠A，
判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

3. (2009深圳)如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC 切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E。

（1）求证：AC平分∠BAD；
3，求DC的长。

（2）若sin∠BEC=
5
4．（2008深圳）如图，点D是⊙O
上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE
F，且△BEF的面积为8，
2，求△ACF的面积．
cos∠BFA＝
3
课堂速练（1）
1．判断
①垂直于半径的直线是圆的切线。

………………………………（）
②过半径外端的直线是圆的切线。

………………………………（）
③与圆有公共点的直线是圆的切线。

……………………………（）
④圆的切线垂直于半
径。

…………………………………………（ ）
2． 如图，AC 切⊙O 于点A ，∠BAC＝37。

，则∠AOB
的度数为（ ）
A. 64。

B. 74。

C. 83。

D. 84。

3. 如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于
点C ，
连接BC ，若∠A＝36。

．则∠C＝______
4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，
D 5C ，∠BAC＝50。

，∠ACD=______
6．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O
于点D ，
于E 的度数．
7．（2006，中，点M 在 ⊙M B 、两B
点，交y轴于C D
、两点，且C为弧AE的中点，AE 交y轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE8
(1)求点C的坐标.
(2)连结MG BC
、，求证：MG∥BC
(3)如图10-2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.
OF的比值是否发动点F在⊙M的圆周上运动时，
PF
生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
七．切线长定理
考点速览：
考点1
切线长概念：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一
条线段的长，而圆外一已知点到切点Array之间的距离，可以度量．
考点2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连
线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，
①PA=PB ②PO平分APB
∠．
考点3
两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
经典例题：
例1 已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，
若PO=13㎝，PED
∆的周长为24㎝，
求：①⊙O的半径；②若40
APB
∠=︒，EOD
∠的度数．
例2 如图，⊙O分别切ABC
∆的三边
点D、E、F，若,,
BC a AC b AB c
===．
（1）求AD、BE、CF的长；（2）当C
∠
圆半径r．
例ABCD，且
例3与x
y
以点C为圆心与圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.
（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；
（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半
径r ；
（3
）求m 与n 之间的函数关系式；
（4）在⊙C 的移动过程中，能否使OEF ∆是等边三角
形（只回答“能”或“不能”）？
考点速练1：
1．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E ::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠=． FEC ∠=．
2．直角三角形的两条直角边为5㎝、
3．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切
于点E 、F 、G ，且AB∥CD，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠=，⊙O 的半径=㎝，BE+CG=㎝． 4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP
于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 考点速练（2）
1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,C AC BC ∠=︒==边上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E 于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段
2．如图，ABC ∆内接于⊙O，AB 为⊙O 直径，过C 点
的切线交直径AB 的延长线于P ，25BAC ∠=︒，
则P ∠=．
4、
＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB
＝＿＿＿＿＿。

5、（山西）若直角三角形斜边长为10cm ，其内切圆
半径为2cm ，则它的周长为_______。

6、（贵阳）如图，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∠ACB
＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中阴影部分的面积
是（ ）
A 、π-30
B 、π230-
C 、π330-
D 、π430-
7．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆
的．
8.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，
AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=a ，BN=b ，则AB=.
9．如图2，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，使BD=OB ，
DC 切⊙O 于C ，则∠D=，∠ACD=，若半径为r ，AC=．
10．经过圆的直径两端点的切线必互相． 11.如图，在ABC ∆，10,8,90===∠AB AC C ，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ）. A ．1 B ．
45 C ．7
12 D ．49
12.如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的
· A B D
C O 图2 M · C
A O B
N 图1
腰AB为直径的⊙O与腰CD相切于E，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD、BC的长．
八．三角形内切圆
考点速览
考点1
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
考点2
三角形外接圆与内切圆比较：
名称确定方法图形性质
外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边
中垂线的交
点
（1）OA=OB=OC；
（2）外心不一定在三
角形的内部．
·
A
O
D
B C
E
内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条
角平分线的
交点
（1）到三边的距离相
等；
（2）OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
∠A CB；
（3）内心在三角形内
部．
考点3
求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为
2c
b
a
r -
+
=.
2、一般三角形
①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.
（海伦公式S△＝)c
s
)(
b
s
)(
a
s(s-
-
-，其中
s=
2c
b
a+
+)
经典例题：
例1．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
O E F
D
∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA
又∵S△OAB =1
2AB·r，S△OBC =1
2
BC·r，S△OCA
=1
2
AC·r
∴S△ABC =1
2AB·r+1
2
BC·r+1
2
CA·r
=1
2
L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
例2．如图，△ABC中，∠A=m°．
（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC 的度数；
（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC
的度数；
（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，
求∠BOC的度数．
例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，
⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC
的内心I与外心O之间的距离．
考点速练1：
1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已
知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，
那么∠EDF等于（）
A．40° B．55° C．65° D．70°
图 1 图 2 图3
2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，
∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）
A．70° B．110° C．120° D．130°
3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=
（）
A．112.5° B．112° C．125° D．55°
4．下列命题正确的是（）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的
内切圆与外接圆半径分别为（）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，
2.5
6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，
AC的长．
7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，
∠C=60°，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．
考点速练2
1．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）
A．（
2）nR B．（1
2
）nR C．（1
2
）n－
1R D．（
2
）n－1R
2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（）
A．4
5B．5
4
C．3
4
D．5
6
3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，CE=4．
（1）求△ABC的三边长；
（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．4．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用
m表示梯形的周长．
5、思考题（选作）：
如图，已知正三角形ABC的边长为2a．
（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；
（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？
（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切。