2020年高考数学教学案24函数与方程思想数形结合思想教学案理含解析72

函数与方程思想、数形结合思想
【2021年高|考考纲解读】
数学教学的最|||终目标 ,是要让学生会用数学的眼光观察现实世|界 ,会用数学的思维思考现实世|界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力 ,数学核心素养高于具体的数学知识技能 ,具有综合性、整体性和持久性 ,反映数学本质与数学思想 ,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想 ,加强个人数学素养的培养 ,就会在复习中高屋建瓴 ,对整体复习起到引领和导向作用. 【高|考题型例如】
题型一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化 ,把不等式转化为函数 ,借助函数的图象和性质可解决相关的问题 ,常涉及不等式恒成立问题、比拟大小问题.一般利用函数思想构造新函数 ,建立函数关系求解. 例1.假设0<x 1<x 2<1 ,那么( )
A.21e e x x ->ln x 2－ln x 1
B.21
e e x x
-<ln x 2－ln x 1
C.1221e >e x x x x
D.
12
21e <e x x x x
答案 C
解析 设f (x )＝e x
－ln x (0<x <1) , 那么f ′(x )＝e x
－1x ＝x e x
－1
x
.
令f ′(x )＝0 ,得x e x
－1＝0.
根据函数y 1＝e x
与y 2＝1x
的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0 ,1) ,因此函数f (x )在(0 ,1)
上不是单调函数 ,故A ,B 选项不正确； 设g (x )＝e x
x
(0<x <1) ,那么g ′(x )＝
e
x
x －1
x 2
. 又0<x <1 ,∴g ′(x )<0 , ∴函数g (x )在(0 ,1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1 ,∴g (x 1)>g (x 2) , ∴
12
21e >e x x x x ,应选C.
例2.定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x ) ,满足g ′(x )－g (x )<0 ,假设函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称 ,且g (4)＝1 ,那么不等式g x
e
x
>1的解集为________.
答案 (－∞ ,0)
例3.f (t )＝log 2t ,t ∈[2 ,8] ,对于f (t )值域内的所有实数m ,不等式x 2
＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立 ,那么
x 的取值范围是__________________.
答案 (－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞)
解析 ∵t ∈[ 2 ,8] ,∴f (t )∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12 3.
问题转化为m (x －2)＋(x －2)2
>0恒成立 , 当x ＝2时 ,不等式不成立 ,∴x ≠2.
令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2
,m ∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 3.
问题转化为g (m )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12 3上恒大于0 ,
那么⎩⎨
⎧
g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0 g 3>0
即⎩⎨⎧
12x －2＋x －22
>0
3
x －2＋x －2
2
>0
解得x >2或x <－1.
例4.假设x ∈[－2 ,1]时 ,不等式ax 3
－x 2
＋4x ＋3≥0恒成立 ,那么实数a 的取值范围是______. 答案 [－6 ,－2]
解析 当－2≤x <0时 ,不等式转化为a ≤x 2－4x －3
x 3
.
令f (x )＝x 2－4x －3
x 3
(－2≤x <0) ,
那么f ′(x )＝－x 2
＋8x ＋9x
4
＝－
x －9
x ＋1
x
4
,
故f (x )在[－2 ,－1]上单调递减 ,在(－1 ,0)上单调递增 , 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3
－1
＝－2. 当x ＝0时 ,不等式恒成立.
当0<x ≤1时 ,a ≥x 2－4x －3
x 3
,
那么f (x )在(0 ,1]上单调递增 ,此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－3
1＝－6.
综上 ,实数a 的取值范围是[－6 ,－2]. 题型二、函数与方程思想在数列中的应用
数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数 ,可用函数的观点去处理数列问题 ,常涉及最|||值问题或参数范围问题 ,一般利用二次函数；等差数列或等比数列的根本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 例5. {a n }是等差数列 ,a 10＝10 ,其前10项和S 10＝70 ,那么其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23
答案 D
解析 设等差数列的首|||项为a 1
,公差为d ,那么⎩
⎨⎧
a 10
＝a 1＋9d ＝10
S
10
＝10a 1＋10×9
2
d ＝70
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋9d ＝10 2a 1＋9d ＝14
解得d ＝2
3
.
例6.在数列{a n }中 ,前n 项和为S n ,且S n ＝n ＋23a n ,那么a n
a n －1
的最|||大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 答案 C
解析 当n ≥2时 ,S n ＝n ＋23
a n ,S n －1＝n ＋1
3
a n －1 ,
两式作差可得a n ＝n ＋23
a n －n ＋13
a n －1 ,
即
a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2
n －1
. 由函数y ＝1＋
2x －1在(1 ,＋∞)上是减函数 ,可得a n
a n －1
在n ＝2时取得最|||大值3. 例7.在等差数列{a n }中 ,假设a 1<0 ,S n 为其前n 项和 ,且S 7＝S 17 ,那么S n 取最|||小值时n 的值为____.
答案12
解析由得 , 等差数列{a n}的公差d>0 ,
设S n＝f(n) ,那么f(n)为二次函数 ,
又由f(7)＝f(17)知 ,f(n)的图象开口向上 ,关于直线n＝12对称 ,
故S n取最|||小值时n的值为12.
例8.设等差数列{a n}的前n项和为S n ,假设S4＝－2 ,S6＝3 ,那么nS n的最|||小值为________.
答案－9
题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题 ,可以通过转化为一元二次方程 ,利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最|||值问题常转化为求函数的值域、最|||值 ,用函数的思想分析解答.
例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A ,B两点 ,交C的准线于D ,E两点.|AB|＝4 2 ,|DE|＝2 5 ,那么C的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 B
解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0) ,圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0) ,如图 ,
又可设A (x 0 ,22) ,D ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－p 2 5 ,
点A (x 0 ,22)在抛物线y 2
＝2px 上 ,∴8＝2px 0 ,① 点A (x 0 ,22)在圆x 2
＋y 2
＝r 2
上 ,∴x 2
0＋8＝r 2
,②
点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－p 2 5在圆x 2＋y 2＝r 2
上 ,∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2 ,③
联立①②③ ,解得p ＝4(负值舍去) ,即C 的焦点到准线的距离为p ＝4 ,应选B.
例10.如图 ,双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0 ,b >0)的右顶点为A ,O 为坐标原点 ,以A 为圆心的圆与双曲线C 的
一条渐近线交于P ,Q 两点 ,假设∠PAQ ＝60° ,且OQ →＝3OP →
,那么双曲线C 的离心率为( )
A.
233 B.72 C.39
6
D. 3 答案 B
解析 因为∠PAQ ＝60° ,|AP |＝|AQ | , 所以|AP |＝|AQ |＝|PQ | ,设|AQ |＝2R , 又OQ →＝3OP →
,那么|OP |＝12
|PQ |＝R .
双曲线C 的渐近线方程是y ＝b a
x ,A (a ,0) ,
所以点A 到直线y ＝b a
x 的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＋－12
＝
ab
a 2＋
b 2
, 所以⎝
⎛⎭
⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2
, 即a 2b 2
＝3R 2
(a 2
＋b 2
) , 在△OQA 中 ,由余弦定理得 ,
|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12
＝7R 2＝a 2
.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
b 2＝3R 2
a 2＋b
2
a 2＝7R 2
得⎩⎨⎧
a 2＝7R 2
b 2
＝21
4
R 2
所以双曲线C 的离心率为e ＝c
a ＝
c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝1＋
b 2a
2＝1＋214R 2
7R 2＝72
.
例11.设椭圆中|心在坐标原点 ,A (2 ,0) ,B (0 ,1)是它的两个顶点 ,直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E ,F 两点.假设ED →＝6DF →
,那么k 的值为________. 答案 23或38
解析 依题意得椭圆的方程为x 2
4
＋y 2
＝1 ,直线AB ,EF 的方程分别为x ＋2y ＝2 ,y ＝kx (k >0).如图 ,设
D (x 0 ,kx 0) ,
E (x 1 ,kx 1) ,
F (x 2 ,kx 2) ,其中x 1<x 2 ,且x 1 ,x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4 ,故x 2＝－x 1＝
21＋4k
2
.
由ED →＝6DF →
知 ,x 0－x 1＝6(x 2－x 0) , 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝10
71＋4k 2
. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2 ,得x 0＝2
1＋2k .
所以21＋2k ＝1071＋4k 2
,
化简得24k 2
－25k ＋6＝0 ,解得k ＝23或k ＝38
.
例12.直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2
＝4x 交于不同的两点A ,B ,且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ,那么k ＝________. 答案
22或－2
2
解析 点F 的坐标为(1 ,0) ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) , 那么y 1＝k (x 1＋1) ,y 2＝k (x 2＋1) ,
当k ＝0时 ,l 与C 只有一个交点 ,不合题意 ,因此k ≠0.
将y ＝k (x ＋1)代入y 2
＝4x ,
消去y ,得k 2x 2
＋2(k 2
－2)x ＋k 2
＝0 ,① 依题意知 ,x 1 ,x 2是①的不相等的两个实根 ,
那么⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4k 2－2
2
－4k 4
>0
②x 1
＋x 2
＝22－k 2
k
2
x 1x 2
＝1.
由以AB 为直径的圆过F ,得AF ⊥BF , 即k AF ·k BF ＝－1 , 所以
y 1x 1－1·y 2
x 2－1
＝－1 ,即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0 , 所以x 1x 2＋k 2
(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0 , 所以(1＋k 2
)x 1x 2＋(k 2
－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2
＝0 ,③ 把x 1＋x 2＝2
2－k
2
k
2
,x 1x 2＝1代入③得2k 2
－1＝0 ,解得k ＝±
22
, 经检验k ＝±
2
2
适合②式. 综上所述 ,k ＝±
22
. 题型四、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用
讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数 ,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时 ,要先对方程进行变形 ,尽量构造两个比拟熟悉的函数. 例1.函数f (x )＝2x
－1x
的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3 答案 B
解析 在同一平面直角坐标系下 ,作出函数y 1＝2x
和y 2＝1x
的图象 ,如以下图.
函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于2x
＝1x
的根的个数 ,
等价于函数y 1＝2x
和y 2＝1x
图象的交点个数.
由图可知只有一个交点 ,所以有一个零点.应选B. 例2.假设关于x 的方程
||
x x ＋4
＝kx 2
有四个不同的实数解 ,那么k 的取值范围为________. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫14 ＋∞
解析 x ＝0是方程的一个实数解； 当x ≠0时 ,方程
||
x x ＋4
＝kx 2
可化为1
k
＝(x ＋4)|x | ,x ≠－4 ,k ≠0 ,
设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0) ,y ＝1
k
,
那么两函数图象有三个非零交点.
f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x
x >0
－x 2
－4x
x <0 x ≠－4
的大致图象如以下图 ,
由图可得0<1k <4 , 解得k >1
4
.
所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
14 ＋∞.
例3.函数f (x )是定义在R 上的偶函数 ,且f (－x －1)＝f (x －1) ,当x ∈[－1 ,0]时 ,f (x )＝－x 3
,那么关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 12上的所有实数解之和为________.
答案 －7
解析 因为函数f (x )为偶函数 ,所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1) ,所以函数f (x )的周期为2. 又当x ∈[－1 ,0]时 ,f (x )＝－x 3
,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如以下图.
由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52
12上的实数解有7个.
不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7 ,
那么由图得x 1＋x 2＝－4 ,x 3＋x 5＝－2 ,x 4＝－1 ,x 6＋x 7＝0 ,
所以方程f (x )＝|cos πx |在
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52
12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.
例 4.函数f (x )⎩⎪⎨
⎪⎧
x
4＋1 x ≤1
ln x x >1 那么方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时 ,实数a 的取值范围是
________. 答案
⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪⎫1
4 1e
解析 画出函数f (x )的图象如以下图 ,由图可知 ,要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点 ,当y ＝ax 与y
＝x 4＋1平行时 ,显然有两个交点 ,此时a ＝14.当a >1
4
时 ,只需求出当直线y ＝ax 和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个 ,故结合图象知 ,实数a 的取值范围是
⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪⎫1
4 1e .
题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
构建函数模型 ,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.
5.(2021·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－x
x ≤0
1
x ＞0
那么满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )
A.(－∞ ,－1]
B.(0 ,＋∞)
C.(－1 ,0)
D.(－∞ ,0)
答案 D
解析 方法一 ①当⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≤0
2x ≤0 即x ≤－1时 ,
f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ,即－(x ＋1)＜－2x ,解得x ＜1.
因此不等式的解集为(－∞ ,－1].
②当⎩⎨
⎧
x ＋1≤0
2x ＞0时 ,不等式组无解.
③当⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＋1＞0 2x ≤0
即－1＜x ≤0时 ,f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2
－2x
,解得x ＜0.
因此不等式的解集为(－1 ,0).
④当⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＞0 2x ＞0 即x ＞0时 ,f (x ＋1)＝1 ,f (2x )＝1 ,不合题意.
综上 ,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞ ,0). 应选D.
方法二 ∵f (x )＝⎩⎨⎧ 2－x x ≤0
1 x ＞0
∴函数f (x )的图象如以下图.
由图可知 ,当x ＋1≤0且2x ≤0时 ,函数f (x )为减函数 ,故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .
此时x ≤－1.
当2x ＜0且x ＋1＞0时 ,f (2x )＞1 ,f (x ＋1)＝1 ,满足f (x ＋1)＜f (2x ).
此时－1＜x ＜0.
综上 ,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞ ,－1]∪(－1 ,0)＝(－∞ ,0).应选D.
例6.设A ＝{(x ,y )|x 2＋(y －1)2
＝1} ,B ＝{(x ,y )|x ＋y ＋m ≥0} ,那么使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.
答案 [2－1 ,＋∞)
解析 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合 ,集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合 ,要使A ⊆B ,那么应使圆被平面区域所包含(如图) ,即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下
方) ,而当直线与圆相切时 ,有|m ＋1|2＝1 ,又m >0 ,所以m ＝2－1 ,故m 的取值范围是[2－1 ,＋∞).
例7.假设不等式|x －2a |≥12
x ＋a －1对x ∈R 恒成立 ,那么实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤－∞ 12 解析 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12
x ＋a －1的简图 ,如以下图.
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2a ≤2－2a a －1<0 故a ≤12. 例8.函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2ax x ≥1
2ax －1 x <1
假设存在两个不相等的实数x 1 ,x 2 ,使得f (x 1)＝f (x 2) ,那么实数a
的取值范围为________.
答案 [0 ,＋∞) 解析 根据题意知f (x )是一个分段函数 ,当x ≥1时 ,是一个开口向下的二次函数 ,对称轴方程为x ＝a ；当x <1时 ,是一个一次函数.当a >1时 ,如图(1)所示 ,符合题意；当0≤a ≤1时 ,如图(2)所示 ,符合题意；当a <0时 ,如图(3)所示 ,此时函数在R 上单调递减 ,不满足题意.综上所述 ,可得a ≥0.
题型六、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中 ,通常要数形结合 ,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式 ,构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最|||值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值 - -可考虑直线的斜率；②二元一次式 - -可考虑直线的截距；③根式分式 - -可考虑点到直线的距离；④根式 - -可考虑两点间的距离.
例9.圆C ：(x －3)2＋(y －4)2
＝1和两点A (－m ,0) ,B (m ,0)(m >0).假设圆C 上存在点P ,使得∠APB ＝90° ,那么m 的最|||大值为( )
A.7
B.6
C.5
D.4
答案 B
例10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0 ,b >0)的左、右顶点分别为A 1 ,A 2 ,左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .假设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切 ,那么双曲线C 的离心率为
( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 5
答案 D
解析 如以下图 ,设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ,连接OQ ,
那么OQ ⊥PF 2.
又PF 1⊥PF 2 ,O 为F 1F 2的中点 ,
所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a .
又|PF 2|－|PF 1|＝2a ,
所以|PF 2|＝4a .
在Rt△F 1PF 2中 ,由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2 ,得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2 ,即e ＝c a
＝ 5.
例11.抛物线的方程为x 2＝8y ,F 是其焦点 ,点A (－2 ,4) ,在此抛物线上求一点P ,使△APF 的周长最|||小 ,此时点P 的坐标为________. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－2 12 解析 因为(－2)2<8×4 ,所以点A (－2 ,4)在抛物线x 2
＝8y 的内部 ,
如图 ,设抛物线的准线为l ,
过点P 作PQ ⊥l 于点Q ,过点A 作AB ⊥l 于点B ,连接AQ ,
由抛物线的定义可知 ,△APF 的周长为
|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF | ,
当且仅当P ,B ,A 三点共线时 ,△APF 的周长取得最|||小值 ,即|AB |＋|AF |.
因为A (－2 ,4) ,所以不妨设△APF 的周长最|||小时 ,点P 的坐标为(－2 ,y 0) ,
代入x 2＝8y ,得y 0＝12. 故使△APF 的周长最|||小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－2 12. 例12.P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点 ,PA ,PB 是圆x 2＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线 ,A ,B 是切点 ,C 是圆心 ,那么四边形PACB 面积的最|||小值为________.
答案 2 2 解析 连接PC ,由题意知圆的圆心C (1 ,1) ,半径为1 ,从运动的观点看问题 ,当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8
＝0向左上方或右下方无穷远处运动时 ,Rt△PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12
|PA |越来越大 ,从而S 四边形PACB 也越来越大；
当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时 ,S 四边形PACB 变小 ,显然 ,当点P 到达一个最|||特殊的位置 ,即
CP 垂直于直线l 时 ,S 四边形PACB 有唯一的最|||小值 ,此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42＝3 ,从而|PA |＝
|PC |2－|AC |2＝2 2 ,所以(S 四边形PACB )min ＝2×12
×|PA |×|AC |＝2 2.。