上海虹口高级中学高三数学文联考试卷含解析

上海虹口高级中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某班有24名男生和26名女生，数据，，┅，是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数．那么
在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：D
略
2. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．1
参考答案：
C
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是正方体挖去一个正四棱锥，判断三视图的数据所对应的几何量，并计算四棱锥的斜高与高，代入正方体与棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是正方体挖去一个正四棱锥，
其中正方体的边长为1，挖去的正四棱锥的斜高为，
∴四棱锥的高为=，
∴几何体的体积V=13﹣×12×=．
故选：C．
3. 有黑、白、红三种颜色的小球各5个，都分别标有数字1,2,3,4,5，现取出5个，要求这5个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有（）
A．120种B．150种 C.240种D．260种
参考答案：
B
将5个球分为1,1,3和1,2,2两种情况，可得不同的取法种数为
．选B．
4. 已知则等于( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 执行右边的程序框图，若，则输出的值为
A. B. C.
D.
参考答案：
C
6.
按下面图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是A．6 B．21 C．156 D．231 答案：D
7. 集合P={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q=（）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q的交集即可．
【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＜0，
解得：﹣1＜x＜4，即P=（﹣1，3），
∵Q={﹣1，0，1，2，3}，
∴P∩Q={0，1，2}，
故选：A．
8. 已知等差数列的前13项之和为，则等于（）
A. B. C. D. [
参考答案：
B
9. 当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
参考答案：
B
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2
要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜log a x，
∴
即
对0＜x≤时恒成立
∴ 解得＜a ＜1
故选 B
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
10. 设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得
答案．
【解答】解：∵
=
=
为纯虚数，
∴，解得a=2．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值
为
.
参考答案：
-1;
12. 函数f （x ）=xlnx 在点（e ，f （e ））处的切线方程为 ．
参考答案：
2x ﹣y ﹣e=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e 时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：由f （x ）=xlnx ，得f′（x ）=lnx+1， 则f′（e ）=lne+1=2， 又f （e ）=e ，
∴函数f （x ）=xlnx 在点（e ，f （e ））处的切线方程为y ﹣e=2（x ﹣e ）， 即2x ﹣y ﹣e=0． 故答案为：2x ﹣y ﹣e=0．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
13. 在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AD 为∠BAC 的角平分线，且，若AB ＝2，则BC ＝
_______.
参考答案：
【分析】 由
，求出
长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出
边，再由余弦
【详解】
,
，
，
，
.
故答案为:
.
【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
14. 如右图，
是圆的直径，直线
与圆相切于点，
于点
，若圆的面积为，
，则
的长为
．
参考答案： 1
15. 我校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120
分、120～150分三种
情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m 的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m ＝________
参考答案：
135
略
16. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
参考答案：
17. 设
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为 ．
参考答案：
由题意知
，又
，
所以
，所以
的最小值为
.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.
（14分）如图，正三棱柱所有棱长都是2，D 是棱AC 的中点，E 是棱CC 1的
中点，AE 交A 1D 于点H 。

（1）求证：AE ⊥平面A 1BD ； （2）求二面角
的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点B 1到平面A 1BD 的距离。

解析：（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
则A（1,0，0），C（-1,0，0），E（-1，-1,0），
，B（0,0，）
∵=0，
∴
即AE⊥A1D， AE⊥BD ，且A1D与BD相交，
∴AE⊥面A1BD ………………5分
（2）设面DA1B的法向量为
由∴取
设面AA1B的法向量为
， cos
由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos…………………10分（3），平面A1BD的法向量取
则B1到平面A1BD的距离d=………………………14分
19. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，
建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程；直线l消去参数能求出直线l的普通方程．
（2）当m=2时，直线l为：﹣2=0，曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆，求出圆心（1，0）到直线l的距离d，由勾股定理能求出|AB|．
【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣2x=0．
∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴消去参数得直线l的普通方程是x﹣y﹣m=0．
（2）当m=2时，直线l为：﹣2=0，
∵直线l与曲线C交于A、B两点，
曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆．
圆心（1，0）到直线l的距离d==，
∴|AB|=2=2=．
20. 设数列为等差数列，且；数列的前n项和为
.
（I）求数列，的通项公式；
（II）若为数列的前n项和，求.
参考答案：
解(1)数列为等差数列,所以又因为
由
n=1时，
时，
所以
为公比的等比数列
（2）由（1）知，
+=
=1-4+
略
21. 已知椭圆C：（）的左右顶点分别为，，点在椭圆C上，且
的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l不经过点P且与椭圆C交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为，证明：直线l过顶点.
参考答案：
解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，
由题意得：
所以
所以椭圆的方程为：
（2）①当直线的斜率不存在时，可设其方程为且），
不妨设，且
故把代换化简得：，不合题意
②设直线的方程为，，
联立
，
由，是上方程的两个根可知：
由，
化简整理得：
即
故或（舍去，因为此时直线经过点）
把代入得
所以直线方程为（），恒过点
22. （本题满分12分）己知数列满足．
(I)计算：，并求；
(II)求(用含n的式子表示）；
(III)记，数列的前n项和为，求．
参考答案：
（Ⅰ）由题设可得，
同理
所以，…………………2分
从而，有，所以，；……………………3分
（Ⅱ）由题设知，，……………………4分所以，
……
……………………6分
将上述各式两边分别取和，得
所以，．……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得，……………………9分
所以，……………………10分
所以．……12分。