人教版高中数学必修4课后习题答案详解05042

第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）
1、略.
2、AB u u u r
，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等.
3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r
，GH =u u u r
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1
、
（2
）
. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r
相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r
相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .
4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r
； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u u
u r
5、AD =u u u r .
6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
习题2.1 B 组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r
同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3
对，与AD u u u r
反向的也有6
的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84）
1、图略.
2、图略.
3、（1）DA u u u r
； （2）CB u u u r .
4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）
1、图略.
2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r
. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.
2、57AC AB =u u u r u u u r ，27
BC AB =-u u u r u u u r .
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC
uuu r
与AB u u u r
反向.
3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12
b a =-r r
； （4）89b a =r r .
4、（1）共线； （2）共线.
5、（1）32a b -r r ； （2）111123
a b -+r r
； （3）2ya r . 6、图略.
习题2.2 A 组（P91）
1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；
（3）向东北走km ；
（4）向西南走
；（5）向西北走
；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r
表示河水
的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r
表示船实际航行的速度.
在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r
，
所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠
≈︒
所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）
0r .
5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r
9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132
a b +r r ； （4）2()x y b -r .
10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r
，
DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .
12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r
，
34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .
13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，
所以EF AC //且1
2
EF AC =，
即12
EF AC =u u u r u u u r ；
同理，12
HG AC =u u u r u u u r
，
所以EF HG =u u u r u u u r .
习题2.2 B 组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.
2、不一定相等，可以验证在,a b r r
不共线时它们不相等.
3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13
AM AB =u u u u r u u u r
，
所以1111()3333
MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.
证明：∵13
AD BC =u u u r u u u r
，
（第11题）
（第12题）
E
H
G
F
C A
B
丙
（第1题）
B
C
∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形.
（3）四边形ABCD 为菱形.
证明：∵AB DC =u u u r u u u r
，
∴AB DC //且AB DC =
∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r
∴四边形ABCD 为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.
证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r
而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r
所以BA CD =u u u r u u u r
，即∥.
因此，四边形ABCD 为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）
1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r
；
（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r
. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r
.
3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r
； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，
(5,0)BA =-u u u r
4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r
，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥
CD .
5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.
6、10(,1)3或14
(,1)3
-
7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32
AP PB =-u u u r u u u
r
(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r
（第4题(3)）
（第5题）
∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)2
33(3)
2
x x y y ⎧
-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩
∴8
15x y =⎧⎨=-⎩
，所以点P 的坐标为(8,15)-.
习题2.3 A 组（P101）
1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).
说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.
2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r
3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r
而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. 所以点D 的坐标为(1,5).
解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r
，
(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r
由AD BC =u u u r u u u r 可得，12
27x y +=⎧⎨+=⎩
，解得点D 的坐标为(1,5).
4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r
.
1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u u
r .
(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r
，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r
，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r
，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以23
6
x =-，解得4x =-.
6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuu
r 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)；
3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r
，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r 习题2.3 B 组（P101）
1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r
.
当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以(4,5)P ；
当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222
OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57
(,)22P ；
当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r
，所以(5,4)P --；
当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r
，所以(7,8)P .
2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r
，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；
（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r
，所以P 、Q 、R 三点共线；
（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r
，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.
3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121
e e λλ=-u r u
u r .
所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.
4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r
，,x y 都是唯一确定的，
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积 练习（P106）
1、1
cos ,86242
p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .
2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r
时，ABC ∆为直角三角形.
3、投影分别为0，-图略
练习（P107）
1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .
2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .
3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r 88θ≈︒.
习题2.4 A 组（P108）
1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r
2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r .
3、a b +==r r ，a b -==r r .
4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ.
（1）当0λ=时，等式显然成立；
（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ，
所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r
()cos a b a b λλθ⋅=r r r r
()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r
所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；
（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为180θ︒-，
则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r
()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r
()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r
所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；
综上所述，等式成立.
证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，
那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r
112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r
11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r
所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；
5、（1）直角三角形，B ∠为直角.
证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r
∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r
∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形
（2）直角三角形，A ∠为直角
证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r
∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形
（3）直角三角形，B ∠为直角
证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r
∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r
∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形
6、135θ=︒.
7、120θ=︒.
22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，
1cos 2a b a b
θ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=
，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r
∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r
∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.
10、解：设(,)a x y =r ，
则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
于是(55a =r
或(55
a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r ，
则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩
，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
于是,55e =-r
或(55
e =-r . 习题2.4 B 组（P108）
1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r
证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r .
先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r
1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r
由a b a c ⋅=⋅r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即
123123()()0x x x y y y -+-=
而2323(,)b c x x y y -=--r r ，所以()0a b c ⋅-=r r r
再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r
由()0a b c ⋅-=r r r 得 123123()()0x x x y y y -+-=，
即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r
2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OB
αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r . 3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r .
cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r
，所以,ac bd u v +=<>r r
∴222222
2222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r 4、AB AC ⋅u u u r u u u r 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.
证明：取AB 的中点M ，连接CM ，
则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC
∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r
证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r
（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥
证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r
∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r
∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥
（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =
证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r
∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =
（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A 组（P113）
（第4题）
1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y
则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r
由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11
232x x y y =-+⎧⎨=-⎩ 代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.
2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12
DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23
AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；
（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A A
v v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.
习题2.5 B 组（P113）
1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，
则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .
设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θ
u u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θ
u u r .
O D
F E A B C （第2题） （第4题）
2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r 的夹角为α，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）(0,1)-
解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r .
将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74
π到AP u u u r ，
于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444
AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨
-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x
=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4
π后，点P 的坐标为(,)x y ''
则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ
⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x
=- 第二章 复习参考题A 组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .
3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2
AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133
DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133
BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233
FA DC a b ==-u u u r u u u r r r
1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；
（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r .
6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.
证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.
7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.
10、34cos ,cos 0,cos 55
A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r .
12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820
θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）
1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .
2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .
222()2a b a b a b a b
+=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .
因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=
+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .
由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r
由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=，于是a b ⊥r
所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r
22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r
（第6题）
又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r 再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .
由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r
所以a b =r r 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所
示】
4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142
AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(
4242
AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，
所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11
OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为
正三角形.
6、连接AB .
由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），
沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为
沿与水流方向成903
︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r
同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.
9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；
（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，
P 2（第5题）
夹角θ的余弦cos θ=
；
（4）d =
第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222
πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.
2、解：由3cos ,(,)52
πααπ=-∈，得4sin 5α==；
所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=
3、解：由15sin 17
θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；
所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.
4、解：由23sin ,(,)32
πααπ=-∈，得cos α==
又由33cos ,(,2)42
πββπ=∈，得sin β== 所以
32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）
1、（1； （2） （3 （4）2
2、解：由3cos ,(,)52
πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；
所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13
θ=-，θ是第三象限角，
得5cos 13θ===-； 所
以
5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()24131
1tan tan 4
παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4
）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602
-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.
6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333
x x x πππ-=+； （2）原式
=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666
x x x x x πππ+=+=+； （3）原式
=)2(sin cos cos sin )2sin()
444
x x x x x πππ
=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333
x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5
αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()
5β-=
所以3sin 5
β=-. 又β是第三象限角， 于是4
cos 5
β==
=-. 因
此
55534sin()sin cos cos sin ()(()(444525210
πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）
1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<
又由4cos 85
α=-
，得3sin 85α=-，3
sin
385tan 484cos 85
α
αα-
=
==- 所以3424sin
sin(2)2sin cos 2()()48885525α
ααα=⨯==⨯-⨯-=
2222437
cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=
2232tan
23162484tan tan(2)348277
1tan 1()84
α
ααα⨯
=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316
cos 1sin 1()525
αα=-=--=
所以2221637
cos2cos sin ()25525
ααα=-=--=
3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1
cos 2
α=-，
又
由
(,)
2
παπ∈，
得
sin α=，所
以
sin tan (2)cos ααα=
=-=4、解：由1tan 23α=，得2
2tan 11tan 3
αα=-. 所以2
tan 6tan 10αα+-=，所
以tan 3α=-5、（1）11
sin15cos15sin3024
︒︒=︒=； （2
）22cos sin cos 8842πππ-==；
（3）原式=212tan 22.511
tan 4521tan 22.522
︒⋅=︒=
-︒； （4）原式
=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137）
1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππ
αααααα-=+=⨯+-⨯=-；
（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππ
αααααα-=-=-⨯-⨯=-；
（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.
2、解：由3
cos ,05
ααπ=<<
，得4sin 5α==，
所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=
.
3、解：由2sin ,(,)32π
ααπ=∈，得cos α===
又由33cos ,(,)42
π
ββπ=-∈，得sin β===，
所
以
32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=
.
4、解：由1
cos 7
α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又
因
为
11
cos()14
αβ+=-，所以
sin()αβ+===
所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++
1111()1472
=-
⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒
又由3
sin(30)5
α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-
所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒
431552=-+⨯=
6、（1） （2） （3）2-
7、解：由2sin ,(,)32
π
ααπ=∈，得cos α===又由
3
cos 4
β=-
，β是第三象限角，得
sin β==.
所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-
32()(43=--⨯
=
sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-
23()((34=⨯--⨯
=
8、解：∵53
sin ,cos 135
A B ==且,A B 为ABC ∆的内角
∴0,02A B ππ<<<<，124
cos ,sin 135
A B =±=
当12
cos 13
A =-时，sin()sin cos cos sin A
B A B A B +=+
5312433()013513565
=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去
∴124
cos ,sin 135
A B ==
∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--
1235416()13513565
-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52
π
θθπ=∈
，得4cos 5θ==-.
∴sin 353
tan ()cos 544
θθθ=
=⨯-=-. ∴31
tan tan 242tan()311tan tan 11
1()42θϕθϕθϕ-+++=
==--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()231
1tan tan 1()42
θϕθϕθϕ----=
==-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.
∴3tan tan 2αβ+=-，7
tan tan 2
αβ⋅=-.
∴3tan tan 1
2
tan()71tan tan 3
1()2
αβαβαβ-
++=
==--⋅--.
11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=
∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=
-+⋅-354
1357+==--⨯
tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-351
1358
-==-+⨯
12、解：∵::2:3:6BD DC AD = ∴11
tan ,tan 32
BD DC AD AD αβ====
∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβ
αβαβ+∠=+=
-⋅11
32111
132
+
==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒ 13、（1
）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26
x π
+；
（4
7sin()12x π-； （5
； （6）1
2
； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9
） （10）
tan()βα-.
14、解：由sin 0.8,(0,)2
π
αα=∈
，得cos 0.6α===
∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：
由cos 270ϕϕ=︒<<︒，
得sin ϕ===
∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=
22221cos2cos sin ((3
ϕϕϕ=-=-=-
sin 2tan 2(3)cos 23
ϕϕϕ=
=-=-16、解：设5sin sin 13B C ==
，且090B ︒<<︒，所以12
cos 13
B =. ∴512120
sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169
A B B B B =︒-===⨯⨯=
2222125119
cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169
A B B B B =︒-=-=--=--=-
（第12题）
sin 120169120
tan ()cos 169119119
A A A =
=⨯-=-
17、解：2
2122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯
===--，13
tan tan 274tan(2)113
1tan tan 2174
αβαβαβ+
++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=
⇒1cos[()]3αββ+-=，即1
cos 3
α= 又3(
,2)2
π
απ∈
，所以sin α==
∴1sin 22sin cos 2()339ααα==⨯-
⨯=-
222217
cos2cos sin ()(39
ααα=-=-=-
∴
78
cos(2)cos2cos sin 2sin (444929218
πππααα-+=-=-⨯--⨯=
19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1
sin 44
x ； （4）tan2θ.
习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根
∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)
A B p
A B p +-=-=-=--⋅-+
由于0C π<<，所以34
C π
=
. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）
223
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα++︒++︒=
（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：
223
sin (30)cos sin(30)cos 4
αααα-︒++-︒=
223
sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4
αααα-︒++︒+-︒+︒=
223
sin cos sin cos 4
αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等
思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从
而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.
4、因为12PA PP =，
则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-
3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）
1、略.
2、略.
3、略.
4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282
k k k Z ππππ
-++∈，最
大值为1
2；
（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；
（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242
k k k Z ππππ
-++∈，最
大值为2.
习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；
（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；
（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.
2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1
sin cos cos sin 3
αβαβ-=……②
（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=
（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中
3、由已知可解得1tan 2
θ=-. 于是221
2()
2tan 42tan 211tan 31()2
θθθ⨯-=
==---- 1tan tan
1142tan()143
1tan tan 1()142
π
θπθπθ+-++===-⋅--⨯
∴tan 24tan()4
π
θθ=-+
4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.
5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242
k k k Z ππππ
++∈.
习题3.2 B 组（P143） 1、略.
2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=
，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=
，所以23απβ+=
，tan()2
α
β+
又tan
tan 22
α
β=，又因为tan
tan 2
tan(
)2
1tan
tan 2
α
β
α
βα
β
++=
-，
所以tan
tan tan()(1tan tan )3222
α
αα
βββ+=+-=
由此可解得tan 1β=， 4
π
β=，所以6
π
α=
.
经检验6
π
α=
，4
π
β=
是符合题意的两锐角.
4、线段AB 的中点M 的坐标为11
((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂
直于x 轴，交x 轴于1M ，111
()()22MOM βαααβ∠=-+=+.
在Rt OMA ∆中，cos cos 22
OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos
22
OM OM MOM αβαβ
+-=∠=
11sin sin cos
22
M M OM MOM αβαβ
+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos
222αβαβ
αβ+-+=， 1(sin sin )sin cos
222
αβαβ
αβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；
当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-
211sin 22α=-，此时有1
()12
f α≤≤；
当
6
x =时，
662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+
231sin 24α=-，此时有1
()14
f α≤≤；
由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11
()12
k f α-≤≤
6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34
cos ,sin 55
ϕϕ==
所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；
（2）)y x ϕ+，其中
cos ϕϕ=
=
所以，y ；
第三章 复习参考题A 组（P146）
1、
16
65. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππ
αβπαββα+=-++=-+--
3、1.
4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=-变形；
（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.
5、（1）原式4sin(3010)
4sin 20︒-︒==︒
；
（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒
；
（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；
（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒
=︒⋅==︒︒
6、（1）95； （2）24
25；
（3）22
3±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；
（4）17
25
.
7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1
sin sin 5
αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.
8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++
22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边
（2）左边=222
2sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )
αααααααααααα+++=++
sin cos 11
tan 2cos 22
αααα+==+=右边
（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )
αβαβααβααβα
αααα+-+++-+=
+ sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβ
αα
+-+=
=
=右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)
34cos22cos 212(cos 22cos21)
A A A A A A A A -+--+=++-++
2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )
A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24
y x x x x x π
=+++=++++
递减区间为5[,],88k k k Z ππ
ππ++∈
（222，最小值为22.
10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4
f x x x x x x x x x x π
=+--=-+
（1）最小正周期是π；
（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38
x π
=时，()f x 的
最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8
π
.
11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π
=+=-+=-+
（1）最小正周期是π21；
（2）()f x 在[,]22
ππ
-上的图象如右图：
12
、()cos 2sin()6
f x x x a x a π
=++=++.
（1）由21a +=得1a =-；
（2）2{22,}3
x k x k k Z π
ππ+∈≤≤.
13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，
2sin h AB α=，1cos h
AC α=
所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2π
α<<
当22πα=，即4
π
α=时，ABC S ∆的最小值为12h h .
第三章 复习参考题B 组（P147）
1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1
αααα⎧
-=
⎪⎨⎪+=⎩
，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，
13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=
，7
cos225
α=-，
sin(2)sin 2cos cos2sin 44450
πππααα-=-=
. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24
sin 225
α=，所以
249cos 2625α=. 又由1
sin cos 5
αα-=
，得sin()4πα-=.
因为[0,]απ∈，所以3[,]444
πππ
α-∈-.
而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04
π
α-≤；
当3[,]444
πππ
α-∈
时，sin()4πα->
所以(0,)44ππα-∈，即(,)42
ππ
α∈
所以2(,)2παπ∈，7
cos225
α=-
.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221
cos cos 2cos cos 4αβαβ++=
把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221
sin sin 2sin sin 9
αβαβ++=
（第13题）。