石家庄市第二中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试卷(培优练)

一、选择题
1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128C
解析：C
【分析】 根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．
【详解】
如图，
∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1= A 1A 2=1，
∵△A 2B 2A 3是等边三角形，
同理可得：OA 2=B 2A 2=2，
同理；OA 3=B 3A 3=224=，
OA 4=B 4A 4=328=，
OA 5=B 5A 5=4216=，
…，
以此类推：
所以OA 7=B 7A 7=6264=，
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224
=，…进而发现规律是解题的关键．
=，OA4=B4A4=328
2．若实数a，b满足a2－4a＋4+(b－4)2=0，且a，b恰好是等腰△ABC两条边的长，则
△ABC周长为（）
A．8 B．8或10 C．12 D．10D
解析：D
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求a、b的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】
解：∵a2－4a＋4+(b－4)2=0，
∴(a－2)2+(b－4)2=0，
∴a−2＝0，b−4＝0，
解得：a＝2，b＝4，
当a＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a，b的值，再根据a或b作为腰，分类求解．
=的是（）3．以下尺规作图中，点D为线段BC边上一点，一定能得到线段AD BD
A．B．
C．D． D
解析：D
【分析】
点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
故选择：D．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 4．下列命题中，假命题是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C ．相等的两个角是对顶角
D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A 、B ，根据对顶角的定义判断C ，根据等边三角形的判定判断D ．
【详解】
解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；
B ．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL 可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；
C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
故选C ．
【点睛】
本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．
5．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个B
解析：B
【分析】 根据∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 可得出BD ＝CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF ＝AD ，BF ＝AC ．则CD ＝CF +AD ，即AD +CF ＝BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE ＝AE ＝12AC ，又因为BF ＝AC 所以CE ＝12AC ＝12
BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD ＝CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG ＝CG ．
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF，
∴2CE＝BF；
故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD +CF ＝BD ；故④正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
6．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．1cm B
解析：B
【分析】 过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．
【详解】
解：过P 作PC ⊥MN ，
∵PM=PN ，
∴C 为MN 中点，即MC=NC=
12MN=1， 在Rt △OPC 中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC= 12
OP=4， 则OM=OC-MC=4-1=3cm ，
故选：B ．
此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
7．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）
A ．80︒
B ．60︒
C ．50︒
D ．20︒B
解析：B
【分析】
分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．
【详解】
当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，
当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，
∴∠B=180°-80°-80°=20°，
当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，
∴∠B=∠A=80°，
综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．
观察各选项可知∠B 不可能是60°．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．
8．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：
①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个D
解析：D
【分析】 由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形， 可得
90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，
结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =， 证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．
解：∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，
∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；
∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，
∴AE=BE ，
在△ADE 和△BCE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； 故②正确；
△ADE ≌△BCE ，
,ADE BCE ∴∠=∠
∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，
∴∠BDE=∠AFE ，
在△AEF 和△BED 中，
FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴AF BD =； 故③正确；
∵△ADE ≌△BCE ，
∴,DE CE =
△AEF ≌△BED ，
,,AEF BED EF DE S
S ∴== ,EF CE ∴=
∴,AEF ACE S
S = ∴ ,BDE ACE S S =故④正确；
综上：正确的有①②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度
A ．25或60
B ．40或60
C ．25或40
D ．40C
【分析】
当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．
【详解】
当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．
此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．
当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 10．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，连接AD ，若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长（ ）
A ．16
B ．19
C ．20
D ．24B
解析：B
【分析】 根据线段垂直平分线性质得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的长，即可求出答案．
【详解】
DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,.
∴ AC=2AE=6cm ，AD = DC ,
△ ABD 的周长为13cm ，
∴ AB + BD +AD=13cm ，
∴AB + BD + DC = AB +BC=13cm
∴ △ ABC 的周长为 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm ，
故选 B ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
二、填空题
11．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
①③④【分析】根据SAS 证明
△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD 根据全等三角形的
解析：①③④
【分析】
根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形，但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD ，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE 和BD 边上的高相等，即CH=CG ，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC ，故可判断④．
【详解】
解：①∵∠ACD=∠BCE ，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE ，
∴∠ACE=∠DCB ，
在△ACE 和△DCB 中
CA CD ACE DCB CE CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴AE=DG ，故①正确；
②∵AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =60°，
∴△ACD 和△BCE 是等边三角形，
∴AD=AC =DC ，BE=BC=EC ，
但AC 不一定等于BC ，
故AD 不一定等于BE ，所以②错误；
③∵∠APB 是△APD 的外角，
∴∠APD=∠ADP+∠DAP
由①得△ACE ≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB
∵AC=DC
∴∠CAD=∠CDA
∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC ，故③正确；
④如图，分别过点C 作CH ⊥AE 于H ，CG ⊥BD 于G ，
∵△ACE ≌△DCB ，
∴AE=BD ，S △ACE =S △DCB ，
∴AE 和BD 边上的高相等，即CH=CG ，
∴∠APC=∠BPC ，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等． 12．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．
18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE 所以点C 和点B
关于直线DE 对称所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值再结合题目的已知条件求出AB 的长即可【详解】解：如图∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一
解析：18
【分析】
因为BC 的垂直平分线为DE ，所以点C 和点B 关于直线DE 对称，所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB 的长即可．
【详解】
解：如图，
∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，
∴点C 和点B 关于直线DE 对称，
∴当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，
∴△ACP 的周长最小值=AC+AB=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 13．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．
【分析】根据是等边三角形得进而得可得以此类推即
可求解【详解】解：∵是等边三角形∴∴∴∴同理：…均为等边三角形…则的边长为故答案是：【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类解决本题的关键是观察图形的变化
解析：20202．
【分析】
根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1
111AO B A ，可得22OA =，以此类推即可求解．
【详解】 解：∵30MON ∠=︒，11OA =，
112A B A △是等边三角形，
∴11260∠=︒B A A
∴1130∠=︒OB A
∴1111AO B A
∴22OA =
同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，
2222B A OA ==，
233342B A OA
…
则202120212022A B A △的边长为20202．
故答案是：20202．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 14．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．
【分析】利用余角等腰三角形和三角形外角的性
质即可求出【详解】∵∴∵∴根据题意可知∴∴故答案为：45【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角找出图形中角的等量关系是解答本题的关键
解析：45
【分析】
利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出．
【详解】
∵BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠，
∴BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠．
∵90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠，
∴90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠．
根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，．
∴45BDA AEC ∠-∠=︒，
∴=45DAE ∠︒．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．
15．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．
【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出
最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题
解析：【分析】
根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出
PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．
【详解】
ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，
则E 与C 关于直线AD 对称，
5AE AC ==，
∴1358BE AB AE =-=-=，
如图,连接PC ，
由题意得PC PE =，
∴12PB PE PB PC BC ，
当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，
∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．
故答案为:20．
【点睛】
本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
16．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．1【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A （1+m1-n ）与点B （-32）关于y 轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m ＋n ）202
解析：1
【分析】
直接利用关于y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．
【详解】
解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3，1-n=2，
∴m=2，n=-1，
∴（m＋n）2020=（2-1）2020=1；
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
17．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．
45°【分析】找到点M关于OC对称点M′过点M′作
M′N⊥OB于点N交OC于点P则此时PM+PN的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M关于OC对称点M′过点M
解析：45°
【分析】
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】
解：如图，
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小．
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．
18．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．
【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根
据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于
H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12
a 【分析】
作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．
【详解】
解：作DH ⊥AB 于H ，
∵15DBE BDE ∠=∠=︒
∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==
∴DH=
11=22
DE a ， ∵DE ∥BC ，
∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH=12
a ， 故答案为：
12a ． 【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的
距离相等是解题的关键．
19．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________．7
【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数列方程求解即可
【详解】解：∵点A （a-13）与点B （2-2b-1）关于x 轴对称∴a-1=2-2b-1=-3解得a=3b=1∴=2×3+1=7故
解析：7
【分析】
根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【详解】
解：∵点A （a-1，3）与点B （2，-2b-1）关于x 轴对称，
∴a-1=2，-2b-1=-3，
解得a=3，b=1，
∴2a b +=2×3+1=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
20．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，
t =_________．
4或14秒【分析】由于动点P 从点A 出发沿的方向运动所以
分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时设P 点运动了t 秒用含t 的代数式分别表示BPAP 根据条件过DP 两点的直线将的周长分成两部分使其中一部分是另
解析：4或14秒．
【分析】
由于动点P 从点A 出发，沿A B C --的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时，设P 点运动了t 秒，用含t 的代数式分别表示BP ，AP ，根据条件过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t 的值；（2）P 点在BC 上时，同理，可解得t 的值．
【详解】
解：分两种情况：
（1）P 点在AB 上时，如图，
∵12 cm AB AC ==，1 6 cm 2AD CD AC ==
=， 设P 点运动了t 秒，则AP t =，12BP t =-，由题意得： ()12AP AD BP BC CD +=
++或()12AP AD BP BC CD +=++， ∴()1612662t t +=-++①或1(6)12662
t t +=-++②， 解①得4t =秒，解②得，14t =（舍去）；
（2）P 点在BC 上时，如图，P 点运动了t 秒，
则AB BP t +=，18PC AB BC t t =+-=-，
由题意得：()2AD AB BP PC CD ++=+或()2AD AB BP PC CD ++=+， ∴()62186t t +=-+①或()26186t t +=-+②
解①得14t =秒，解②得，4t =秒（舍去）．
故当4t =或14秒时，过D 、P 两点的直线将ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
故答案为4或14秒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及动点问题．解答此题时要分情况进行讨论，不要漏解．
三、解答题
21．如图1，点A 是射线OE ：y x =-（x≥0）上的一点，已知232OA =，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OE 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）求点A 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，在平面内另有三点1(8,8)P -、2P （4，32-）、
3(84
84)P +-，，请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
解析：（1）(4,4)A -；（2）见解析；（3）①存在，P （8，-4）；②满足全等的点有P 1、P 2、P 3，见解析．
【分析】
（1）根据题意，设(,)A a a -，在Rt △AOB 中，利用勾股定理，解得a 的值，即可解得点A 的坐标；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于M ，由平行线的性质得到∠MBC=∠ABC ，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可得CM= CH ，据此可证明CG ＝CH ；
（3）①先计算∠BDC 的度数，再根据角平分线及平行线性质可证明∠BOC=∠BCO ，由等角对等边可解得BO=BC=AB ，继而得到∠ACP=∠BDC ，接着证明△APB 为等腰直角三角形，解答AP 的长，据此解题；
②根据全等三角形的判定方法，分别证明1
()BCD PCA AAS ≅、2()BCD P CA AAS ≅、3()BCD P AC AAS ≅即可解题．
【详解】
（1）∵AB ⊥x 轴
∴∠ABO=90°
∵A 在y x =-上
∴设(,)A a a -
则AB=OB=a
即△ABO 为等腰直角三角形
在Rt △AOB 中
∵222AB OB OA +=
∴2232
+=
a a
∴a=±4（负值舍去）
A-，
∴(44)
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M
∵BC//OE
∴∠MBC=∠BOA=45°，∠ABC=∠OAB=45°∴∠MBC=∠ABC
∵CM⊥x轴，CG⊥AB
∴CM= CG
∵OC平分∠AOB，CM⊥x轴 CH⊥OE
∴CM= CH
∴CG＝CH
（3）①存在点P
易证∠BDC=∠BOD+∠OBD=22.5°+90°=112.5°∵OC平分∠AOB，BC∥OE
∴∠BOC=∠COA ，∠BCO=∠COA
∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC=AB
又∠ABC =45°
∴∠BAC=∠BCA=67.5°
∴∠ACP=112.5°
∴∠ACP=∠BDC
又∠BAC=∠CDA=67.5°
∴CA=CD
∴当CP=BD 时，△ACP ≌△CDB ∴∠APC=∠DBC=45°
∴△APB 为等腰直角三角形 ∴AP=AB=OB=4
∴P （8，-4）
②如图，满足全等的点有P 1、P 2、P 3理由如下， 1(8,8)P -
∴点1P 在射线(0)OE x x =-≥：y 上，
84<
1P ∴在线段OA 上，
连接1CP
,45CG AB CBG ⊥∠=︒ BCG ∴是等腰直角三角形， CG BG ∴=
(4,4)A -
4OB ∴=
BC OB =
222216BC BG CG OB ∴=+== 2,4BG CG BC ∴=== (42,2)C ∴+- 1422224CP ∴=+= 11,//CP BC CP x ∴=轴 145CP A BOA CBD ∴∠=∠=∠=︒ 190,PGA ∠=︒ 145P AG ∴∠=︒
1167.545112.5CAP CAG P AG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ 在BCD △与1PCA 中
111BDC P AC CP A CBD BC PC
∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
1
()BCD PCA AAS ∴≅ 2P 的横坐标为4，点(4,4)4A OB -=， 2P ∴在BA 的延长线上，
连接22,AP CP
67.5BAC ∠=︒
2180112.5CAP BAC ∴∠=︒-∠=︒ 2CAP BDC ∴∠=∠
2P
的纵坐标为
2BP ∴==2BG =
22GP BP BG ∴=-=
CG ∴=2GP CG ∴=
CG AB ⊥
245AP C ∴∠=︒ 2AP C ABC ∴∠=∠
在BCD △与2P CA 中，
22BDC P AC
ABC AP C CD CA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
2()BCD P CA AAS ∴≅
3P
，点C
的横坐标为4， 3CP ∴所在的直线垂直于x 轴，
AB x ⊥轴
3//CP AB ∴
连接33CP AP 、，过点A 作3AQ CP ⊥交3P C 的延长线于点Q ，
3//CP AB
3180BAC ACP ∴∠+∠=︒ 3180112.5ACP BAC ∴∠=︒-∠=︒
3ACP BDC ∴∠=∠
(4,4)A -
3
84422,84(4)22AQ PQ ∴=+-==---= 3
AQ PQ ∴= 3AQ PQ ⊥ 345APQ ∴∠=︒ 3
APQ ABC ∴∠=∠ 在BCD △与3P AC 中
33
BDC PCA APC ABC CD AC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
3()BCD P AC AAS ∴≅
故答案为：123P P P 、、 ． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
22．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是AB AC 、边上的点，BE 与CD 相交于点F ，且
BD CE =．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明ABC ∆是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）； A ．DF EF = B ． BF CF = C ．ABE ACD ∠=∠ D ．BCD CBE ∠=∠ E ． ADC AEB ∠=∠
（2）利用你选的其中一个条件，证明ABC ∆是等腰三角形．
解析：（1）,C E ；（2）见解析 【分析】
（1）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三
角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；
（2）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解． 【详解】
解：（1）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠
在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△CEF ∴BF CF =
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠ 即A ABC CB =∠∠ AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠， ∴∠BDC=∠CEB ：
在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()BDF CEF AAS ∴∆≅∆
BF CF ∴= FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠ 即A ABC CB =∠∠ AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
而其余选项均无法证明△ABC 为等腰三角形 故答案为：C ；E
（2）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠
在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△CEF ∴BF CF =
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠ 即A ABC CB =∠∠
AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠， ∴∠BDC=∠CEB ：
在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()BDF CEF AAS ∴∆≅∆
BF CF ∴=
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠
即A ABC CB =∠∠
AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质和判定，掌握AAS 定理证明三角形全等是解题关键．
23．如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．
（1）依题意补全图形；
（2）若ADF α∠=．
①求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；
②请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．
解析：（1）补图见解析；（2）①90EDG α∠=︒-；②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析． 【分析】
(1)根据题意画出图形解答即可；
(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出
AE GE =，进而解答即可． 【详解】
解：（1）补全图形，如图所示，
（2）①∵ADF α∠=，∴180BDF α∠=︒-， 由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-， ∵DF DE ⊥，∴90EDF ∠=︒，
∴1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-， ②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形， 如图,连接,GF GE ，
由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠， ∵D 是AB 的中点，∴AD BD =， ∵GD BD =，∴AD GD =，
∵90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，
∴
GDE ADE ≌，∴,EGD EAD AE GE ∠=∠=， ∵90EAD B ∠=︒+∠，∴90EGD B ∠=︒+∠，
∴9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒，
∴以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形， ∴以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形． 【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．
24．如图：已知ABC 中AB AC =：
（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．
解析：（1）见解析；（2）见解析． 【分析】
（1）作∠CAE=∠C 即可；
（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证． 【详解】
（1）射线AE 为所求；
（2）证明：如图所示，延长BA ， ∵//AE BC ，
∴∠EAF=∠B ，∠CAE=∠C ， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∴∠EAF=∠CAE ，
∴AE 是ABC 的一个外角角平分线．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25．在如图所示的方格纸中，
（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；
（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．
解析：（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16 【分析】
（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积． 【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △，
111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，
1
6242124162
S =⨯+⨯⨯=+=．
【点睛】
本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法． 26．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．
（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．
（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点
A '，
B '，
C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置
关系？
解析：（1）图见解析，3；（2）ABC与A B C
'''关于x轴对称
【分析】
（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC，利用割补法求面积；
（2）根据点A、B、C纵坐标都乘以1
-，得到对应的点A'，B'，C'的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．
【详解】
（1）如图，ABC即为所求，
111
451245(15)23
222
ABC
S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；
（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)
A B C-，
∴A'（0，-1），B'（2,0），C'（4,4），∴ABC与A B C
'''关于x轴对称．
．
【点睛】
此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．
27．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．
求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）
证明：设直线l，m相交于点O．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】
（1）证明△PAC ≌△PBC 即可解决问题．
（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
（3）连接BD ，BE ，证明△BDE 是等边三角形即可．
【详解】
证明：（1）如图①中，
∵MN ⊥AB ，
∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．
在△PAC 和△PBC 中，
AC BC PCA PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PAC ≌△PBC （SAS ），
∴PA ＝PB ．
（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．
∵直线l 是边AB 的垂直平分线，
∴OA ＝OB ，
又∵直线m 是边BC 的垂直平分线，
∴OB ＝OC ，
∴OA ＝OC ，
∴点O 在边AC 的垂直平分线n 上，
∴直线l 、m 、n 交于点O ．
（3）解：如图③中，连接BD ，BE ．。