高三数学总复习 (回顾+突破+巩固+提升作业) 第二章 第二节 函数的单调性与最值课件 文

（2）f(x)在区间A上是减少（递减）的⇔___________.
第三页，共45页。
2.单调区间、单调性及单调函数
(zēngjiā) 减少
（1）单调区间：如果(rúguǒ)y=f（x）在区的间A上是___(_ji_ǎ_n_s或hǎo)
是的_____ A
___，那么称__为单调区间.
（增2加）单调性：减如少果(rúguǒ)函数y=f（x）在定义域的某个子集
2f(xx∈ R),g
g
x x
x 4, x,x
x＜g gx,
x
,
则f(x)的值域是( )
（A）［ 9 ,0］ 1,
（B）［0, )
4
（C）［9 ,) 4
（D）［ 9 ,0］ (2, ) 4
(2)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)= min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为______.
求M(a)及m(a)的表达式.
【解析(jiě xī)】f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x∈［0,1］.
当a≤0时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.
当 0＜a 1 时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2.
当
1＜a
2 时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2. 1
第二十四页，共45页。
（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三 相等”的条件后用基本不等式求出最值. （5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结 合( jiéhé)端点值，求出最值. 【提醒】在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.
第二十五页，共45页。
【变式训练】（1）函数(hf（ánxs）hù) 1
即f(x1)＞f(x2),此时函数(hánshù)在(-1,1)上是减少的;
当a＜0时,f(x1)-f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2),此时函数(hánshù)在(-1,1)上是增加的.
第十四页，共45页。
方法(fāngfǎ)二(导数法)：
a x2 1 2ax2 a x2 1
fx
第二节 函数(hánshù)的单调性与最值
第一页，共45页。
第二页，共45页。
1.函数(hánshù)在区间上是增加（递增）的、减少（递减）的
含义
在函数(hánshù)y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于
任意两数x1,x2∈A,且x1<x2，则：
f(x1)<f(x2)
（1）f(x)在区间A上是增加（递增）的⇔_f_(_x_1_)_>f_(_x_2_)_.
第十一页，共45页。
考向 1 确定函数的单调性或单调区间
【典例1】（1）函数f(x)=log2(x2-4)递减的单调区间为_____.
(2)试讨论函数 的(其中a≠0).
f
x
ax在x∈(-1,1)上是增加的还是减少 x2 1
【思路点拨】(1)根据复合(fùhé)函数的单调性求解.
(2)用定义法或导数法求解.
x＜-1或x＞2.因此x≥g(x)=x2-2的解为：-1≤x≤2.
于 当是x＜f-1x或 x＞xx222 时 xx，
f
2, 2,
x
x＜ 1 (x
1或x＞2, x 2, 1)2 7＞2．
当-1≤x≤2时，
f
x
(x
1)2
2
9，4
24
且f(-1)=f(2)=0，
∴ 9 f x 0．
由以上4 可得f(x)的值域是
第二十页，共45页。
【思路点拨】(1)明确自变量的取值范围(fànwéi),先求每一部分的函数 值范围(fànwéi),再取并集求值域. (2)明确f(x)的意义,数形结合求f(x)的最大值.
第二十一页，共45页。
【规范解答( jiědá)】 (1)选D.解x＜g(x)=x2-2得x2-x-2＞0，则
【解析】由题意(tí yì)知2k+1＜k0＜,∴ 1 . 2
答案：(, 1) 2
第十页，共45页。
4.f(x)=x2-2x,x∈［-2,3］递增的单调区间为______, f(x)max=_______. 【解析(jiě xī)】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)递增的单调区间为 ［1,3］,f(x)max=f(-2)=8. 答案：［1,3］ 8
第十六页，共45页。
【拓展提升】
1.函数单调(dāndiào)性的四种判断方法
(1)定义法.(2)图像法.(3)利用已知函数的单调(dāndiào)性.(4)
导数法.
2.复合函数单调(dāndiào)性的判断方法
复合函数y=f（g(x)）的单调(dāndiào)性应根据外层函数
y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调(dāndiào)性判断,遵循“同增
当a＞2 1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.
综上知,
Ma
1 2a,a
0,
a＞1
.
1 2
,
ma
2 第二十七页，共45页。
0,a 0, a2,0＜a 1, 1 2a,a＞1.
考向 3 函数单调性的应用
【典例3】(1)（2013·宿州模拟）已知y=f(x)在定义域(-1,1)上
_f_(_x_)_≤__M_
①存在x0∈D,使得 _f_(_x_0)_=_M_ ②对于任意的x∈D, 都有_f_(_x_)_≥__M_
M是f(x)的_最__大__值, 结论
记作ymax=f(x0)
M是f(x)的_最__小__值, 记作ymin=f(x0)
第五页，共45页。
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）函数 y 1 的单调(dāndiào)区间是(-
x 1
的最大
1,
3
值是1,最小值是 则a+b=______.
【∴解ff析ab】 易113,知,即f(x)ab在1111［a113,,b. ］上是减少的,
a 2, b 4,
∴
∴a+b=6.
第二十六页，共45页。
在区间［a,b］上
(2)设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a),最小值为m(a),试
第十三页，共45页。
(2)方法一(定义法):设任意x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,
则 f (x1) f (x2 )
∵-1＜x1＜x2＜1,
ax1 x12 1
ax 2
x
2 2
1
a x2 x1 x1x2 1 .
x12 1
x
2 2
1
∴
∴因此(xx当22xa12＞xx11＞10)时0xx,,1xf22x(12x2111)1＜-f＞0(x,0x2.22)＞10＜，0, 1＜x1x2＜1, x1x2 1＞0,
x2 1 2
（x2 1）2 ,
当a＞0时,f′(x)<0;
当a＜0时,f′(x)>0.
∴当a＞0时,f(x)在(-1,1)上是减少的;
当a＜0时,f(x)在(-1,1)上是增加的.
第十五页，共45页。
【互动探究】若将本例题（1）中的函数(hánshù)改为
“
f
x
log1 (x
”,试求函数(hánshù)f(x)递减的单调区间. 1)
第十二页，共45页。
【规范解答】(1)由x2-4＞0得x＞2或x＜-2,即函数f(x)的定义域为(∞,-2)∪(2,+∞).令t=x2-4,因为y=log2t在t∈(0,+∞)上是增加的, t=x2-4在x∈(-∞,-2)上是减少的, 所以函数f(x)=log2(x2-4)递减的单调(dāndiào)区间为(-∞,-2). 答案：(-∞,-2)
【解析】函数2(hánshù)f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,则t＞0.
因为
y log1 t
2 在t∈(0,+∞)上是减函数(hánshù),t=x+1在x∈(-1,+∞)上
是
f x log1 (x 1)
2
增函数(hánshù),所以函数(hánshù)
递减的单调区
间为(-1,+∞).
上是
_____的或是_____的，那么就称函数y=f（x）在这个子增集加上具
有单调减性少.
（3）单调函数：如果(rúguǒ)函数y=f（x）在整个定义域内是
第四页，共45页。
3．函数(hánshù)的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在M∈R
①存在x0∈D, 满足 使得_f_(_x_0)_=_M_ 条件 ②对于任意的x∈D,都有
1
x1 x2 x1 x2 .
x12 1
x
2 2
1
第十八页，共45页。
∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,
x1-x2＜0,
x12 1＞0,
x
2 2
1
0,
x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数(hánshù)在(-∞,
-1］上是减少的.
当x1,x2∈［1,+∞)时,
［
9
,
故选D.
0］ 2,
.
4
第二十二页，共45页。
(2)由题意知函数f(x)是三个函数 y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的较小者， 作出三个函数在同一(tóngyī)直角坐标系下的 图像（如图实线部分为f(x)的图像）， 可知A（4，6）为函数f(x)图像的最 高点，则f(x)max=6. 答案：6
第二十三页，共方法 （1）单调性法：先确定函数是增加的，还是减少的,再求最值. （2）图像(tú xiànɡ)法：先作出函数的图像(tú xiànɡ)，再 观察其最高点、最低点，求出最值. （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函 数，再用相应的方法求最值．
x
∞,0)∪(0,+∞).( ) (2)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D且(x1-x2）［f(x1)-f(x2)］ ＞0,则函数f(x)在D上是增加的.( ) （3）函数y=|x|是R上的增函数.( ) （4）若函数满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在［2,3］上是增加 的.( )
第六页，共45页。
是减少的，且f(1-a)＜f(2a-1),则a的取值范围是( )
(A) (1, 2)
(B) ( 2 ,1)
3
3
(C) (0, 2)
(D)(0,1)
（2）(23013·中山(zhōnɡ 满足对任意x1≠x2,都有 f
(sxh1ā) nf)f模(xx拟2)＞)已a0成2x，知立xa，x1那，1么，ax的＜1取，值范
x1-x2＜0,
x1+x2＞0,则xf12(x11)-f(0x, 2)x<220,1即＞f0(x, 1)＜f(x2),故函数(hánshù)在
［1,+∞）上是增加的.
第十九页，共45页。
考向 2 求函数(hánshù)的值域或最值
【典例2】(1)(2013·天津模拟)设函数(hánshù)g(x)=x2-
时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
（A）f x＝1
x
（C）f(x)＝ex
（B）f(x)＝(x-1)2 （D）f(x)＝ln(x＋1)
【解析】选A.由题意知要求(yāoqiú)函数f(x)在(0，＋∞)上
是减少的.
第九页，共45页。
3.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是______.
异减”的原则.
第十七页，共45页。
【变式备选(bèi xuǎn)】用定义法y 判 断x函2 数1 的单调
在定义域上
性.
【解析】由x2-1≥0得x≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］
∪f (［x11) ,+f∞x)2.设 x1x＜12 x12,则x
2 2
1
x12
x
2 2
x12 1
x
2 2
围是________.
x1 x2
第二十八页，共45页。
【思路点拨】(1)根据单调性列不等式组求解,注意定义域. (2)寻找(xúnzhǎo)f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.
第七页，共45页。
1.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减少
的,则( )
（A）a=-2 （B）a=2 （C）a≤-2 （D）a≥2
【解析(jiě xī)】选C.二次函数的对x称轴是a 1,
3
a
1
解得a≤-2. 1,
3
由题意知
第八页，共45页。
2.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2
【解析】（1）错误.当x1=-1,x2=1时,x1＜x2,但f(x1)＜f(x2), 因此(-∞,0)∪(0,+∞)不是函数(hánshù)的单调区间. （或（23） ）fx(1正错x1)确误x2＜..f(函x(0因x,1数2此-)(x＜h函20á),数［ns(fhh(xùá1)ny)s-=hf|(ùxx)|2f在()x］()-在＞∞D,00⇒上)上是是增减f加x(少1x的1的)x.2,＞在f (0［x, 20)＞,+0∞)上 是 增加的. （4）错误.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义 域和相应区间就谈不上单调性. 答案：（1）×（2）√（3）×（4）×