实际问题与一元二次方程-第三课时_课件

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探究二：勾股定理中的一元二次方程
当EC= 20 10 时，
（20 10）2 （20t）2 （100 40t）2
整理得出：t2-4t+3=0 解得：t1=1，t2=3， ∵求最初遇台风时间，
北
AC
东
E B
∴t=1。
答：点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积。 （2）请列出关于x的方程。
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探究一：面积体积问题
问题：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为_（__x_+_2_）__m，
进而得到容积为__x_（__x_+_2_）___m3。 （2）等量关系是：____容__积__是__1_5_m_3____。 如何列方程？
解：设x小时后两船相距150千米，则AC=30x，AB=40x， 列方程得（30x）2+（40x）2=1502。
【思路点拨】画出相应图形后，易得两船相距的路程，甲航线路程， 乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形，利用勾股定 理求解即可。
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探究四：几何问题训练
活动3 探究型例题
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探究三：动点问题
问题：当Q在AD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底 和高。若以BP为底，则需要做什么辅助线？
过Q点作QG⊥BC于G
此时，BP=___1_4_-_t ___，QG=____8____。
如何列方程求解？
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探究三：动点问题
解：当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t
台风的时间是行驶1小时。
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探究三：动点问题
活动1 三角形背景下的三角形面积
例 ： 已 知 ： 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ B=90° ， AB=5cm ， BC=7cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。 （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长 度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？ 说明理由。
如何列方程求解？
解：设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4， 根据题意得：（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2； 化为一般形式为：x2-2x-3=0。故x1=3，x2=-1（舍） 所以三边长为 6，8，10。
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探究二：勾股定理中的一元二次方程
活动2 航行问题中的勾股定理
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探究一：面积体积问题
活动2
体积问题
如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形 铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部 分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方 体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长 方体的底面宽为x米：

1（14﹣t）8 =56-4t。
2
当Q运动到A点时所需要的时间 t CD AD 8 2 6 4 3 2
22
22
2
∴ S=56-4t (4 t 4 3 2 )
2
当S=24时，56-4t=24 解得：t 8＞4 3 2 ，舍去
2
综上① ② ，当t=2时，S=24。
22 22
∴S=14t-t2（0＜t≤4），
当S=24时，14t-t2=24，解得：t1=2，t2=12（舍）。
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探究三：动点问题
②如图，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC， 垂足为点G。
则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
∴
S△BPQ=
1 BP QG 2
例：如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向 东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速 度由南向北移动，台风中心20 10海里的圆形区域（包括边 界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位 于点A正南方向B处，且AB=100海里。若这艘轮船自A处按 原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮 船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。
积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ B ）
A．21cm2 C．24cm2
B．16cm2 D．9cm2
解 ： 设 AB=xcm ， AD= （ 10-x ） cm ， 则 正 方 形 ABEF 的 面 积 为 x2cm2，正方形ADGH的面积为（10-x）2cm2。 根据题意得 x2+（10-x）2=68， 整理得 x2-10x+16=0。 解之得 x1=2，x2=8， 所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm， 综上可求矩形ABCD的面积是16cm2。
①如图，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂
足为点G，则QC= 2 2t 。
又∵DH=HC，DH⊥BC， ∴∠C=45°。
∴ 在Rt△QCG中，由勾股定理可得QG=2t。
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴
S△BPQ=
1 2
BP QG

1（14﹣t） 2t 2
=14t-t2。
当Q运动到D点时所需要的时间 t CD 8 2 4
例：等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线 AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P 点运动时间为t，△PCQ的面积为S。 （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段 DE的长度是否改变？ 证明你的结论。
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探究四：几何问题训练
活动2 提升型例题
例：已知△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，△ABC的面积为 3 1， 2
若AC=m，则m的值为（ B ）
A．1 B．2
C． 2 D． 3
解：如图：作CD⊥AB于点D，
∵∠A=30°，∠B=45°，AC=m，
∴
AC CD=BD= 2
解：（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m。 容积为x（x+2）×1=x2+2x。 （2）x2+2x=15。
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探究二：勾股定理中的一元二次方程
活动1 勾股定理的应用
例：直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长。 问题： （1）设最短边为2x，另外两边长为:___2_x+__2__，___2_x_+_4___。 （2）等量关系是：_直__角__三__角_形__两__直__角__边_的__平__方__和__=_斜_边__的__平__方__。
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
1 2
×（5-x）×2x=8
整理得：x2-5x+8=0
25 32 7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2。
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探究三：动点问题
活动2 四边形背景下的三角形面积
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm， AB=8cm，BC=14cm。动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方 向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点 到达终点时，另一点也随之停止运动。若点P以1cm/s速度运动，点 Q以 2 2 cm/s的速度运动，连接BQ、PQ。当时间t为_______秒时， △BQP的面积为24cm2。
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探究四：几何问题训练
活动1 基础型例题
例：在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道 路，余下部分作为耕地。若耕地面积需要551米2，则修建的路宽 应为多少？（只列方程）
解：设修建的路宽为x米。
余下的面积表示为：20×30-（30x+20x-x2）米2，
根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积=耕地面积，
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探究三：动点问题
问题：整个运动过程中有几种情况？
分两种情况讨论： ①点Q在CD上；②点Q在DA上。
两种情况的时间的分界点是多少？
4s。
问题：当Q在CD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和 高。若以BP为底，则需要做什么辅助线？
过Q点作QG⊥BC于G
此时，BP=___1_4_-_t ___，QG=____2_t ____。
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探究一：面积体积问题
如何列方程？
解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm； 所以（80+2x）（50+2x）=5400， 即4x2+160x+4000+100x=5400， 所以4x2+260x-1400=0。 即x2+65x-350=0。
【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长×宽=5400， 列方程进行化简即可。

m 2
∴ 由勾股定理得：AD 3 m
2
∴ AB=AD+BD= 3 1 m
2
1 AB • CD 3 1
2
2
1 3 1m• m 3 1
22
22
解得：m=2或m=-2（舍去），∴m=2。Leabharlann 知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：几何问题训练
练习：甲、乙两船同时从A港出航，甲船以30千米/时的速度正 北航行，乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行，几小时后两 船相距150千米？可列方程________________________。
依此列出等量关系：余下的面积表示为 20×30-（30x+20x-x2）米2， 则根据题意得： 20×30-（30x+20x-x2）=551。
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探究四：几何问题训练
练习：如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向 外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面
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探究三：动点问题
问题： （1）设经过x秒钟，BQ=___2_x___，BP=__5_-_x____。 （2）等量关系是：_____B_P_2_+_B_Q__2=_P__Q_2_______。
如何列方程求解？
解：（1）设：经过x秒以后△PBQ面积为6，
1 2
×（5-x）×2x=6
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探究一：面积体积问题
活动1 面积问题
例：如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的 四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图 的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程。
（1）挂图长为_（__8_0_+_2_x_）__cm，宽为_（__5_0_+_2_x_）__cm。 （2）等量关系是：_挂__图__面__积__为__5_4_0_0_c_m__2 _。
实际问题与一元二次方程
第三课时
知识回顾 问题探究 课堂小结
（1）列方程解应用题的一般步骤：审，找，设，列，解， 检验，答。 （2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而 建立方程求解。 （3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及面 积计算公式；长方体，正方体的体积及表面积计算公式。
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探究三：动点问题
【思路点拨】 由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以
分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上。针对每一种情况，都 可以过Q点作QG⊥BC于G。
由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG 的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的 取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍。
整理得：x2-5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2。
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探究三：动点问题
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2， ∴（5-x）2+（2x）2=52， 5x2-10x=0， ∴ x（5x-10）=0， x1=0，x2=2， ∴ 当x=0或2时，PQ的长度等于5cm。
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北
AC
东
E B
问题：（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC=____2_0_t___； 台风中心运动到E点，此时AE=__1_0_0_-_4_0_t_； （2）等量关系是：_____E_C__2_=_A_C_2_+_A__E_2____。
如何列方程求解？
解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风。 设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示： 则可知AC=20t，AE=100-40t， 根据勾股定理得：EC2=AC2+AE2。