福建省福州市建联高级职业中学2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析

福建省福州市建联高级职业中学2019-2020学年高三数
学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
2. 如右图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
3. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．
【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，
∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，
∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．
故选D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．
4. 某新建的信号发射塔的高度为AB，且设计要求为：29米＜AB＜29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得
，，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE=1米，则发射塔高AB=（）
A．米B．米
C．米D．米
参考答案：
A
5. 下列函数中, 在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 过椭圆左焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆于两点，若||=2||，则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 若实数x，y满足且的最小值为4，则实数b的值为
( )
A．0 B．2 C．
D．3
参考答案：
D
8. 已知0<a<1,0<x≤y<1，且log a x·log a y＝1，那么xy的取值范围是()[学
A．(0，a2] B．(0，a] C. D.
参考答案：
A
略
9. 方程在内
A．有且仅有2个根 B．有且仅有4个根C．有且仅有6个根 D．有无穷多个根
参考答案：
C
10. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )
A. 性别与喜欢理科无关
B.女姓中喜欢理科的比例为80%
C.男生比女生喜欢理科的可能性大
D.男生中不喜欢理科的比例为60%
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则
=________．
参考答案：
12. 若函数的图象经过点，且相邻两条对称
轴间的距离为.则的值为______．
参考答案：
【分析】
根据函数f（x）的图象与性质求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，求出f（）的值．
【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，所以，，
所以，因为函数图象经过点，所以，，，所以，所以.
故答案为.
【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．
13. 已知函数，点O为坐标原点，点，向量
是向量与的夹角，则的值为__________.
参考答案：
14. 函数f（x）=e x?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．
参考答案：
y=x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵f（x）=e x?sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）
f′（0）=1，f（0）=0，
∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为
y﹣0=1×（x﹣0），
即y=x（4分）．
故答案为：y=x．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
15. 若复数，其中是虚数单位，则；
．
参考答案：
5，
16. 在中，内角所对的边分别为,已知，且
，则面积的最大值为．
参考答案：
由已知有，，由于，
又，则，
当且仅当时等号成立.故面积的最大值为.
17. 已知f(x)是R上的减函数，A(3，-1)，B(0，1)是其图象上两个点，则不等式
的解集是__________
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标
分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
参考答案：
（Ⅰ）由已知得：．
∵为锐角
∴．
∴．
∴．--------------------6分（Ⅱ）∵
∴．
为锐角，
∴，
∴． -----------13分
19. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为3，求a的值．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．
（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．
【解答】解：（Ⅰ）∵．
∴==，
即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，
∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，t anA=±1，
当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，
∴tanA=1，A=．
（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∴tanB=2，tanC=3，
∴sinB=，sinC=，
∴cosB=，cosC=
sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=
∵=，
∴b==a，
∵S△ABC=absinC=a??a×==3，
∴a2=5，a=．
20. 设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．
参考答案：
【考点】R4：绝对值三角不等式；5B：分段函数的应用．
【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；
（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．
【解答】解：（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1≥2；
﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；
x≥0时，f（x）=x+1≥1
∴f（x）的最小值为1，即a=1；
（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2
=（p+q+r）2=32=9，
即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．
21. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面
，于点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值.
参考答案：
22. （本小题满分14分）已知函数的图象过点．
求的解析式；
若（为实数）恒成立，求的取值范围；
当时，讨论在区间上极值点的个数．参考答案：
函数的图象过定点（1，0）………………………1分
把点（1，0）代入得
………………………………………………………………2分
恒成立，即恒成立，得
………………………………………………………………3分令…………………………………………………4分
当时，，所以在为减函数…………………………5分
当时，，所以在为增函数……………………6分的最小值为
故……………………7分
由知：
又，由得，，……………………9分
当时，得，，在（0，2）为增函数，无极值点…10分
当且时，得且
根据的变化情况检验，可知有个极值点…………………12分
当或时，得或
根据的变化情况检验，可知有个极值点…………………13分
综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点．……………………14分。