【福建省厦门】2016届双十、南安一中、厦门海沧实验中学年高三学年综合复习卷数学年(理科)试题

17．（Ⅰ）因为AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2
BAC BAD BAD ∠=+∠=∠， 所以cos BAD ∠． 3分
在ABD △中，由余弦定理可知，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠ 即28150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =， 由于AB AD >，所以3
AD =．
6分 （Ⅱ）在ABD △中，由cos 3
BAD ∠=
可知1sin 3BAD ∠=
7分
由正弦定理可知，sin sin BD AB
BAD ADB
=∠∠,
所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠=
=
9分
因为π2ADB DAC C C ∠=∠+∠=+∠，即cos C =
12分
18．【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为0.4，
所以网购金额在2000元以上的人数为1000.440⨯= 所以3040y +=，所以10y =，
1分
15x =， 2分 所以0.15,0.1p q ==
4分
（Ⅱ）由题设列联表如下
7分
所以22
2
()100(3520405) 5.56()()()()75254060
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯
9分
因为5.56 5.024>
10分 所以据此列联表判断，有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．
12分
19．由底面ABCD 为菱形且60ABC ∠=︒，∴ABC △，ADC △是等边三角形， 取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，
∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角，∴90POA ∠=︒．
分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则A
，P ，(0,1,0)D -
，B ，(0,1,0)C ．
3分
（Ⅰ）由M 为PB
中点，M
∴3(DM =，
(3,0,PA =，0PA DM ∴=，
∴PA DM ⊥
6分
（Ⅱ）由(0,2,0)DC =，0PA DC =，∴PA ⊥DC ， ∴平面DCM
的法向量可取(3,0,PA =
9分
(0,1,PC =，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，
则6
sin |cos ,||
|||||62
PC PA PC PA PC PA θ=<>===．
即直线PC 与平面DCM
12分
20．（Ⅰ）
(3,0)F 在圆22:(16M x y +
=内，∴圆N 内切于圆.M
4NM NF FM +=>，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且24,1a c b === ∴轨迹E 的方程为2
2 1.4
x y +=
4分 （Ⅱ）①当AB 为长轴（或短轴）时，此时1
22
ABC S OC AB =
⨯⨯=△.
5分
②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 方程为y kx =，
联立方程22
14x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222
22
44,,1414A A k x y k k ==++222224(1).14A A k OA x y k +∴=+=+ 将上式中的k 替换为
1k -
，得22
24(1).4k OC k +=+
24(121AOC
ABC S S OA OC ∆====△
9分
2222
(14)(4)5(1)8
(14,225
ABC k k k k S +++++=≥△，
当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积最小值是
8
5
. 8
2,5
ABC >∴△面积最小值是85，此时直线AB 的方程为y x =或.y x =-
12分
21．（Ⅰ）令e e
()()2ln 2F x g x x x x
=-+=-+，221e e ()x F x x x x -'∴=-=
由()0e F x x '>⇒>∴()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增， ∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+
=∴()0F x ≥即e
()2g x x
≥-成立． 5分
（Ⅱ）记()()()x x h x f x f x ax e e ax -=---=--，∴()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，
()e x x h x e a -'=+-，∵()()e 00x x h x e x -''=-≥≥，
∴()h x '在[0,)+∞递增，又(0)2h a '=-，
7分
∴①当2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增，
则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； 9分
②当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，
即(0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤．
12分 22．（Ⅰ）因为BE 是O 的切线，所以EBD BAD ∠=∠ 2分 又因为,CBD CAD BAD CAD ∠=∠∠=∠
4分 所以EBD CBD ∠=∠，即BD 平分EBC ∠．
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EBD BAD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，
BDE ABE △∽△,所以
BE BD
AE AB
=, 7分
又因为BCD BAE DBE DBC ∠=∠=∠=∠， 所以BCD DBC ∠=∠，BD CD =． 8分 所以
BE BD CD
AE AB AB
==， 9分 所以AE DC AB BE =．
10分
23．（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程是222x y +=， 曲线2C 的普通方程是11
1(2)22
x t y t =+
≤≤+ 5分
（Ⅱ）对于曲线221:2C x y +=，令1x =，则有1y =±．
故当且仅当00
11
12122t t t t >>⎧⎧⎪⎪
⎨⎨+>+<-⎪⎪⎩⎩
或时，1C ，2C 没有公共点， 解得1
2
t >
． 10分
24．（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+
由题意得2042a a -≤⎧⎨≤+⎩
，故22a ≤≤，所以2a =
5分
（Ⅱ）
03a ≤≤，∴112a -≤-≤，|1|2a ∴
-≤， 222()()|||||||||()()||||1|2f ax af x ax a a x a ax a ax a ax a ax a a a a a a -=---=---≤---=-=-≤ ()()|2||||(2)||2|2f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
()()()()f x a f x a f ax af x ∴-++≥-．
10分
福建省厦门市2016届双十、南安一中、厦门海沧实验中学
高三年综合复习卷数学（理科）试卷
解 析
1．【解析】
[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫
=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
,(],1U =-∞,故选C ．
2．【解析】
＝＝＋i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝.故选C. 3．【解析】
对选项A ，因为p q ∨为真命题，所以,p q 中至少有一个真命题，若一真一假，则p q ∧为假命题，故选项A 错误；对于选项B ，2b
a
a b
+
≥的充分必要条件是,a b 同号，故选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故选项C 错误；故选D ． 4．【解析】
P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝，P (90≤X ≤110)＝1－＝，P (100≤X ≤110)＝，1000×＝400. 故选A. 5．【解析】
将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数sin 2sin 284[()]()y x x ππϕϕ=++=++的图象，可得42
ππ
ϕ+=，求得ϕ的最小值为 4π，故选B ．
6．【解析】
5人可以分为1,1,3
和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 7．【解析】
该程序框图计算的是数列前n 项和，其中数列通项为()()
1
2121n a n n =
-+
()()
11
1
1111335
2121221n S n n n ⎡⎤∴=
+++
=
-⎢⎥⨯⨯-++⎣⎦
9
0.452
n S n n >∴>∴最小值为5时满足0.45n S >，
由程序框图可得k 值是6． 故选D ． 8．【解析】
由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
22422()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
9．【解析】
依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d
，则L =解得2165d ≤。

又因为d ，所以
2116,15k ≤+解得2
14
k ≥。

于是222
2222
11c c e a b c k ===++，所以2
40,5e <≤
解得0e <≤故选B ． 10．【解析】
因为1010
1019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，
即为22
10
C x ，系数为21045.C =故选C ． 11．【解析】
根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于1
22322383
⨯⨯-⨯⨯⨯= 12．【解析】
22212
'()x f x x x x
-=-
+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217
()24x x
-+
=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又1
1
()210g e e
e
=+-
>，2222()20g e e e =+-<，所以()
g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x x
h x x x x
==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k
>时，2k x <，即
()f x k x <，()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数
草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +> 二、填空题 13．【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

14：【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11:6n a ==；
()()()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故2
2:n n n a n
+≥= 15：【解析】
如图所示，∵222AB AC BC +=，∴C A B ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则球心O 在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==
16．【解析】
由题意，得2p =，(1,0)F ，准线为1x =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，代入
抛物线方程消去y ，得2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=，所以2122
24k x x k
++=，121x x =．又设00(,)P x y
，则
01212112
()[(1)(1)]22y y y k x k x k
=+=-+-=，所以021x k =，所以212(,)P k k ．
因为0213
||112
PF x k =+=+=，解得22k =，所以M 点的横坐标为2．
三．解答题
17．略． 18．略． 19．略． 20．略． 21．略． 22．略． 23．略． 24．略．。