2013年河北省高中数学竞赛试卷(高二年级组)

2013年河北省高中数学竞赛试卷（高二年级组）
（时间：9月15日上午8：30~11：30）
一、填空题（将每小题的答案填在题后的横线上内，本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
1．若任意x A ∈，则1A x ∈，就称A 是“和谐”集合，则在集合11{,1,2,0,1,2,3,,4,5}23P =---的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个。

2．数列{}n a 满足条件：11a =，1232()(1)(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=+=，则123n a a a a ++++=
_______________。

3．O 是△ABC 所在平面上一点，满足2AB OA OB OC =++，则△OAB 的面积与△ABC 的面积的比值为__________。

4．有一个正四棱锥，它的底面边厂与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为_______。

5．不等式2()x a x y +≤+对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________。

6．已知直线:60l x y +-=和22:2220M x y x y +---=，
点A 在直线l 上，若直线AC 与M 至少有一个公共点C ，且30MAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是__________。

7．计算2tan 70sin804cos 20︒︒-︒=____________。

8．已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12
[,]23上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是
____________。

二、解答题（本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各14分，13、14小题各15分，共86分）
9．一条直线型街道的两端A 、B 的距离为180米，为方便群众，想在中间安排两个报亭C 、D ，顺序为A 、C 、D 、B 。

（1）若由甲乙两人各选择一个，在随机选择的情况下，求甲、乙至少一人选择报亭C 的概率；
（2）求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于60米的概率。

10．在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c ，满足：2cos cos a C c A b +=。

（1）求C ∠的大小；（2）求sin sin A B +的最大值。

11．已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB =3，DC =1
，PD BC ==A 为PB 边上一点，且P A =1，将△P AD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD （如图2）
（1）证明：平面PAD PCD ⊥；
（2）设点M 为棱PB 的中点，求二面角M -AC -P 的余弦值；
（3）在M 满足（2）的情况下，求点B 到平面ACM 的距离。

图2图1
P B
12．已知整数列{}n a 满足371,4a a =-=，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=。

13．已知定点(0,2),(0,2),(2,0)M N Q -，动点P 满足2||0()m PQ MP NP m R -⋅=∈。

（1）求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当m =0时，求|2|MP NP +的取值范围。

14．设函数2()f x ax bx c =++，且(1)2a f =-，322a c b >>。

求证：（1）0a >且334
b a -<<-； （2）函数()f x 在区间(0,2)内至少有一个零点；
（3）设12,x x 是函数()f x 12||x x ≤-<。