高一下学期期中考试数学试卷

盐城市—下学期期中考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置．．．．
上． 1.化简的结果是 .
2.在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,1,2)A -，点(2,1,3)B ，则线段AB 长为 .
3.过点A （-2，0）与B （-5，3）的直线的倾斜角为 .
4.圆心为(1,-1),半径为2的圆的标准方程是 .
5.直线l
过点，且与圆()1122
=+-y x 相切，则直线l 的方程为____ ________.
6.已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则AC BC 与的夹角的大小为 .
7.两圆0481662
2=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线有 条.
8.圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°， 则实数c 的值是 . 9. 圆C
：1)6()2(2
2
=-++y x 关于直线02=--y x 对称的圆的方程
是 . 10.已知实数y x ,满足22x x y -=
，则
1
+x y
的取值范围是__________． 11.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值为 ．
12.不论k 为何实数，直线与曲线恒有公共点，
则实数a 的取值范围是 .
13. 已知实数x 、y 满足方程()()22
111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则点F 1(0,)2
-到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为 .
①AB BC CA ++=0；
②在ABC ∆中，若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形；
③圆4)1()2(2
2
=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；
)]24()82(2
1
[31--+1+=kx y 04222
22=--+-+a a ax y x
④过圆2
22r y x =+内部一定点．．),(b a M 作动弦AB ，过A 、B 分别作圆的切线，若两条切线的交点为P ，则点P 恒在一条定直线上运动.
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量=（6，2），=（－3，k ），当k 为何值时，有
（1）∥ ? （2）⊥ ? （3）与所成角θ是钝角 ？
16. 已知两平行直线1l 、2l 分别过)0,2(1P 与
)32
,0(2P 。

（1）若1l 与2l 的距离为2，求直线1l 、2l 的方程； （2）设1l 与2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围。

a
17. 在平面斜坐标系xoy 中，︒=∠135xoy ，斜坐标定义：如果21e y e x OP +=（其中21,e e 分别是与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量），则),(y
x 叫做P 的斜坐标. （1）若P 的斜坐标是（1，2
（2）在（1）的条件下，若OQ 与OP 的夹角为45︒，且||2OQ =，求点Q 的斜坐标； （3）若,,A B C 三点的斜坐标分别为(3,4),(6,7),(5,)m ，若,,A B C 三点构成三角形，求实数m 的取值范围.
18. 如图，在矩形ABCD 中，1AB BC =
=，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E
（圆弧DE 为圆在矩形内的部分）
（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DE 都相切，试确定M 的位置， 使圆M 为矩形内部面积最大的圆．
19. 已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且
1m n ⋅=
（1）求角A ； （2）若22
1sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B
20.（本小题满分16分）
已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切． (1)求直线l 1的方程；
(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．
盐城市—学年度下学期期中考试
高一数学试题参考答案
1.2a b -+
2.
3.135︒
4.22
(1)(1)4x y -++= 5.0x =或1y x =+ 6.90︒
7.2 8.3- 9.2
2
(8)(4)1x y -++= 10.[0,
3 11.
4 12.[1,3]- 13.2
14.④ 15.（1）1k =-；（2）9k = （3）(,1)
(1,9)k ∈-∞--
16.12(1):2,:0l x l x ==或12:20,:60l x l x -=-= （2）(0,4]d ∈ 17.（1）||1OP =
（2）设Q 点的斜坐标为(,)x y ,则12OQ xe ye =+
所以2
224OQ x y =+=①
12122(2)()
OP OQ e e xe ye y ⋅=+⋅+=
又因为12
cos 45OP OQ ⋅=⨯⨯︒=
2
y =②
由①②可得2
x y ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩0
2x y =⎧⎨=⎩
所以Q 点的斜坐标为2)或(0,2)
（3）6m ≠
18. 解（Ⅰ）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．
设00(,)P x y ，B ，(0,1)D ， 圆弧DE 的方程2
2
1(0,0)x y x y +=≥≥
切线l 的方程：100=+y y x x （可以推导：设直线l 的斜率为k ， 由直线l 与圆弧DE 相切知：l AP ⊥，所以0
y x k -=， 从而有直线l 的方程为()00
0x x y x y y --
=-，化简即得100=+y y x x ）． 设l 与AB 、CD 交于F 、G 可求F （0
1
,0x
），G （001
,1y x -），l 平分矩形ABCD 面积，
∴0000
1120y FB GN y x x -==+-= ……
①
又22
01x y +=……② 解①、②得：0011
,)22
x y P ==∴．
（Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l 20y +-=，
当满足题意的圆M 面积最大时必与边BC 相切，设圆M 与直线l 、DC BC 、分别切于T Q
R 、、，则r MQ MT MR ===（r 为圆M 的半径）．
∴M ,1)
r r --
，
由
1),r r r
=⇒=>=
舍． ∴M 点坐标为． 19.（1）3
A π
=
（2）tan 2B =
20. （1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：2
2
1x y +=相切，
设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=，
则圆心(0,0)O 到直线1l
的距离为1d ==，解得4
2±
=k ， ∴直线1l
的方程为3)y x =-
，即3)y x =-． （2）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -． 又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，
∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1
++=
x s t
y 解方程组3,
(1)1x t
y x s =⎧⎪
⎨=+⎪+⎩
,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)1
2)(14()3)(3(=--+-+--s t
y s t y x x ， 又122=+t s ，∴整理得22
62(61)
0s x y x
y
t ，
若圆C '经过定点，只需令0
y
，从而有2610x x ，解得3
x =±
∴圆C '总经过定点坐标为(3±．。