高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.2指数函数第1课时指数函数bb高一数学

第三章 基本初等函数(Ⅰ)
3．1．2 指数函数
第1课时 指数函数
12/13/2021
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解指数 函数的概念及单调性． 3．掌握定义域、值域的求法及比较 大小问题．
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1．指数函数的定义 函数___y_＝__a_x(_a_>_0_且__a_≠__1_，__x_∈__R__) _________叫做指数函数，其 中 x 是自变量，a 为常数．
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1．函数 y＝ax－1＋2 017(a>0 且 a≠1)中，无论 a 取何值恒经 过一个定点，则这个定点的坐标为________． 答案：(1，2 018)
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2．指数函数 y＝ax 与 y＝(1a)x 的图象关于________对称． 解析：关于 y 轴对称． 答案：y 轴
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指数函数的定义 下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax； ④y＝(2a－1)xa>12，且a≠1；⑤y＝2×3x．
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【解】 ①中底数－8<0， 所以不是指数函数． ②中指数不是自变量 x，而是 x 的函数， 所以不是指数函数． ③中底数 a，只有规定 a>0 且 a≠1 时，才是指数函数； ④因为 a＞12且 a≠1，
解析：选 A．要使函数有意义，则 1－2x≥0，
即 2x≤20，可知 x≤0．
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3．若 aπ＜a3．1，则 a 的取值范围是________． 答案：0＜a＜1 4．求函数 y＝12x(x≤0)的值域． 解：因为 x≤0，12<1， 所以 y＝12x≥120＝1， 即函数的值域为[1，＋∞)．
求函数的值域时一定要考虑定义域，否则易出错.
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1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
C．y＝3x
D．y＝2x＋1
答案：C
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2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
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(2)定义域为 R． 因为|x|≥0， 所以 y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}．
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函数 y＝af(x)的定义域与值域的求法 (1)形如 y＝af(x)的函数的定义域就是 f(x)的定义域． (2)形如 y＝af(x)的值域，应先求出 f(x)的值域，再由函数的单 调性求出 af(x)的值域．若 a 的取值范围不确定，则需对 a 进 行分类讨论． (3)形如 y＝f(ax)的值域，要先求出 u＝ax 的值域，再结合 y＝ f(u)确定出 y＝f(ax)的值域．
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(3)因为 1．90．4>1．90＝1，0．92．4<0．90＝1， 所以 1．90．4>0．92．4． (4)因为（（19450））2121＝(89)12<(89)0＝1， 所以(45)12<(190)21，
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因为 y＝(190)x 在 R 上为减函数，又12>13， 所以(190)12<(190)31， 所以(45)12<(190)31．
比较大小： (1)1．82．2，1．83； (3)1．90．4，0．92．4；
指数函数性质的应用
(2)0．7－0．3，0．7－0．4； (4)(45)12，(190)31．
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【解】 (1)因为 1．82．2，1．83 可看作函数 y＝1．8x 的两个 函数值，因为 1．8>1， 所以 y＝1．8x 在 R 上为增函数，所以 1．82．2<1．83． (2)因为 y＝0．7x 在 R 上为减函数， 又因为－0．3>－0．4， 所以 0．7－0．3<0．7－0．4．
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1．若函数 y＝a2(2－a)x 是指数函数，则( )
A．a＝1 或－1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＞0 且 a≠1
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解析：选 C．因为函数 y＝a2(2－a)x 是指数函数， a2＝1
所以2－a＞0， 2－a≠1
即 a＝－1．
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2．已知函数 f(x)是指数函数，且 f－32＝255，则 f(3)＝________． 解析：设 f(x)＝ax，
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2．指数函数的图象和性质 a>1
图象
0<a<1
12/13/2021a>1源自0<a<1定义域
R
性 值域
(0，＋∞)
质 过定点 过点__(_0_，__1_)_____，即 x＝__0_ 时，y＝_1__
单调性 是 R 上的__增__函__数__ 是 R 上的_减__函__数___
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求下列函数的定义域、值域： (1)y＝5 1－x； (2)y＝ 1－（12）x．
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解：(1)因为 1－x≥0， 所以 x≤1． 令 t＝ 1－x， 所以 t≥0． 由 y＝5t 的图象知，y≥1． 所以 y＝5 1－x的定义域为{x|x≤1}． 值域为{y|y≥1}．
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(2)因为 1－(12)x≥0， 所以(12)x≤1＝(12)0． 又因为 y＝(12)x 在 (－∞，＋∞)上是减函数， 所以 x≥0． 所以函数的定义域为{x|x≥0}． 又因为 0≤1－(12)x<1， 所以 0≤y＝ 1－（12）x<1，函数的值域为[0，1)．
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比较幂值大小的三种类型及处理方法
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比较大小：
(1)1．72．5，1．73；
(2)0．8－0．1，1．250．2；
(3)1．70．3，0．93．1;
(4)0．30．2，0．20．3．
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解：(1)因为函数 y＝1．7x 在 R 上是增函数， 又因为 2．5＜3，所以 1．72．5＜1．73． (2)因为 0．8－0．1＝(01.8)0．1＝1．250．1， 又因为 1．250．1＜1．250．2，所以(0．8)－0．1＜1．250．2． (3)因为 1．70．3＞1．70＝1，0．93．1＜0．90＝1， 所以 1．70．3＞0．93．1．
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(4)00..2300..22＝(00..32)0．2＝(32)0．2＞1， 所以 0．30．2＞0．20．2， 又因为 0．20．2＞0．20．3，所以 0．30．2＞0．20．3．
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1．指数函数的结构特征 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析是否符合 y＝ ax(a>0，a≠1，x∈R)这一结构形式．指数函数具有以下特征： (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数，不含有自变量 x； (2)指数位置是自变量 x，且 x 的系数是 1； (3)ax 的系数是 1．
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所以 2a－1＞0 且 2a－1≠1， 所以 y＝(2a－1)xa＞12，且a≠1为指数函数． ⑤中 3x 前的系数是 2，而不是 1， 所以不是指数函数．
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判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax 前的系数是否为 1； (3)指数是否符合要求．
3．指出下列函数中，哪些是指数函数． (1)y＝(－4)x； (2)y＝x4； (3)y＝(a2＋2)－x； (4)y＝2·3x＋a(a≠0); (5)y＝4x2．
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解：(1)y＝(－4)x，底数－4<0，故它不是指数函数； (2)y＝x4，指数为 4 而不是 x，故它不是指数函数； (3)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12， 前面系数为 1，指数为自变量 x， 故它是指数函数； (4)y＝2·3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函数； (5)y＝4x2，底数是自变量，且前面系数为 4，故它不是指数函 数．
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2．在指数函数 y＝ax 中规定 a＞0 且 a≠1 的原因 如果 a＝0，当 x＞0 时，ax 恒等于 0；当 x≤0 时，ax 无意义． 如果 a＜0，如 y＝(－4)x，当 x 取14，12等数时，在实数范围内 函数值不存在． 如果 a＝1，那么对于任何 x∈R，y＝1x＝1 是一个常数，对 它就没有研究的必要．
由 f－32＝255得
3
a－2＝
255＝55212＝5－32，
所以 a＝5，
即 f(x)＝5x，
所以 f(3)＝53＝125．
答案：125
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指数函数的定义域和值域 求下列函数的定义域、值域： (1)y＝2x－1 4；(2)y＝(23)－|x|． 【解】 (1)由 x－4≠0，得 x≠4． 所以定义域为{x|x∈R，且 x≠4}． 因为x－1 4≠0， 所以 2x－1 4≠1， 所以 y＝2x－1 4的值域为{y|y>0，且 y≠1}．