多项式的综合除法

a4 +)
b3
a3 k × b3 b2
a2 k × b2 b1
a1 k × b1 b0
a0 k × b0 r
附注
当除式为(ax − b) 时，综合除法仍可使用。
1. 先以x − b 为除数，原被除数P (x)，得商Q(x) 和余数r； a
2.
是以P (x) = (x −
b ) × Q(x) + r
a
3. 故P (x) = (ax − b) ×
1 Q(x)
+ r；
a
4. 故当P (x) (x)
、余数仍是r。
a
2
综合除法的另一应用
若给定一元多项式P (x)，综合除法亦可用来计算P (a) 的值。 先进行综合除法，计算P (x) 被x − a 除，得商式Q(x) 及余数R，P (a) = R。
13 51 156 52 159
3
1
解
1. 现仅以一个4 次的一元多项式P (x) 作例； 2. 设P (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0； 3. 若P (x) 被(x − k) 除，命商式为Q(x)、余式为R(x)； 4. 因(x − k) 为1 次，商式的次数比被除式的次数小1，故为3 次； 5. 而余式的次数必须比除式小，余式的次数只能是0，故余式是一个常数r； 6. 命Q(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0； 7. 由除法，P (x) = (x − k) × Q(x) + r； 8. a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (x − k) × (b3x3 + b2x2 + b1x + b0) + r
例：若P (x) = 2x4 − x3 + 2x2 + x + 3，求P (3)。 由综合除法，余数为159，P (3) = 159。 验算：
P (3) = 2 × 34 − 33 + 2 × 32 + 3 + 3 = 162 − 27 + 18 + 3 + 3 = 159
a=3 2 +) 2
−1 2 6 15 5 17
6. 将第3 行的第2 位数字乘a 置于第2 行的第3 位；
7. 将第2 行的第3 位数字加第1 行的第3 位数字得第3 行的第3 位；
8. 重复以上动作至得到第3 行最后一 位为止；
9. 第3 行的最后一个数字为余数，前 面的数字可得商式。
例：
求(4x4 + 2x2 − 3x + 5) ÷ (x + 2) 的商式及余数
= b3x4 + (b2 − kb3)x3 + (b1 − kb2)x2 + (b0 − kb1)x + (r − kb0) 9. 比较两边系数，a4 = b3、a3 = b2 − kb3、a2 = b1 − kb2、a1 = b0 − kb1、a0 = r − kb0 10. 若将P (x) 的系数写在第1 行、Q(x) 的系数和r 写在第3 行如下：
(−2 × 4)
+)
−8
4 −8
(−8 + 0)
4.
a = −2 4 +)
0 2 −3 5
(−2) × 18
−8 16 −36
4 −8 18 −39
(−36) + (−3)
当(4x4 + 2x2 − 3x + 5) ÷ (x + 2)，
商式： 4x3 − 8x2 + 18x − 39、 余数： 83。
除式可如下进行：
1. 把被除式(dividend)按降幂排列；
2. 将被除式的系数置于第一行，若有 缺项，补0；
3. 将第1 行的第1 位数字置于第3 行的 第1 位；
4. 将第3 行的第1 位数字乘a 置于第2 行的第2 位；
5. 将第2 行的第2 位数字加第1 行的第2 位数字得第3 行的第2 位；
a4
a3
a2
a1
a0
b3
b2
b1
b0
r
11. 因a4 = b3，将b3 写成a4 便可； 12. 因a3 = b2 − kb3，即b2 = a3 + kb3，将kb3 记下，加a3 便可得b2； 13. 同理，将kb2 记下，加a2 可得b1、将kb1 记下，加a1 可得b0、将kb0 记下，加a0 可得r；
1. a = −2 4 0 2 −3 5
4 3.
a = −2 4 0 2 −3 5
(−2) × (−8)
+)
−8 16
4 −8 18
(16 + 2)
5.
a = −2 4 +)
0 2 −3 5
(−2) × (−39)
−8 16 −36 78
4 −8 18 −39 83
(78 + 5)
2.
a = −2 4 0 2 −3 5
一元多项式：综合除法(Synthetic Division)
综合除法(Synthetic Division)是一个求一元多项式的被除式(dividend) 除以(x − a) 的除 式(divisor) 之商式(quotient) 和余式(remainder) 的方法，其中只须进行乘和加，比使用长 除法来得简易。