例1 一项工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10天之欧阳学创编

例1 一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的112，乙队每天完成工程的110，甲乙合做每天完成工程的1160，工程“1”里包含几个1160，就是两队合做完成这个工程的天数.
【解法1】两队合做1天完成的工程？
1 12＋
1
10=
11
60
两队合做多少天完成这项工程？
1÷11
60=
5
5
11（天）
综合算式： 1÷（
1
12+
1
10）
=1÷11
60=
5
5
11（天）.
【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.
【解法2】假设这项工程总工作量为60.
60÷（60÷12+60÷10）
=60÷（5+6）=60÷11=
5
5
11（天）.
【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需
要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.
【解法3】 10÷（1+10÷12）
=10÷（1+）=10÷=（天）.
【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。

那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）.
【解法4】 12÷（1+12÷10）
=12÷（1+）
=12÷=（天）.
答：两队合做天就可以完成.
【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。

解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.
例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。

已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？
（湖南省长沙市东区）【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的，货车1小时可行全程的，即.那么客车1小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个，就是客车行全程需要多少小时.
【解法1】 1÷（-）
=1÷=（小时）.
【分析2】货车行全程需9+6=15（小时），9和15的最小公倍数是45，所以两站全程可假设为45，那么两车同时行1小时可行45÷9=5，货车1小时可行45÷15=3，所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2，就是客车行全程需要多少小时.
【解法2】假设甲乙两站全程为45.
45÷[45÷9-45÷（9+6）]
=45÷[45÷9-45÷15]
=45÷[5-3]=（小时）.
【分析3】两车9小时行完的路程，货车要用9+6=15（小时）行完.而客车9小时行完的路程，货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程，客车需要9÷6=1.5（小时）.所以货车15小时的行程，客车需要1.5×15=22.5（小时）.
【解法3】 9÷6×（9+6）
=9÷6×15=1.5×15=22.5（小时）.
【分析4】两车同时行全程需9小时，货车行全程需要9+6=15（小时），那么客车行9小时恰好行完全程的×6=，所以客车每小时行全程的÷9=.由此可求客车行全程的时间.
【解法4】 1÷（×6÷9）
=1÷（÷9）
=1÷=（小时）.
【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15（小时），而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同，由此可求出客车9小时行全程的×6=，即9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.
【解法5】 9÷（×6）
=9÷（×6）=9÷=（小时）.
答：客车行完全程需要小时.
【评注】比较以上五种解法，解法1是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法5是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.
例3 一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天？
（河南省南阳地区）【分析1】乙每天完成这件工作的，那么乙3天完成了这件工作的，再求出甲乙合做的工作
量1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.
【解法1】[1-（）×3]÷+3
=[1-×3]÷+3
=[1-]÷+3
=÷+3=10（天）。

【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方
程，先求乙先做了几天，再加上3天即得乙共做了
多少天.
【解法2】设甲乙合做了x天.
+=1
=1-
x=7
7+3=10
【分析3】假设总工作量为24，那么甲乙效率和是24÷8=3，甲的效率是24÷12=2，所以乙的效
率是3-2=1，它3天完成了1×3=3.因此，甲乙合做
（24-3）÷3=7（天），即乙先做了7天，再加上3
天即得乙共做的天数.
【解法3】假设工作总量为24.
[24-（24÷8-24÷12）×3]÷（24÷8）+3
=[24-（3-2）×3）÷3+3
=[24-3]÷3+3
=21÷3+3=10（天）.
【分析4】假设甲乙合做了5天，那么比实际少完成1-×5-（-）×3=，甲乙继续合做还要用÷=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10天.
【解法4】假设甲乙合做了5天.
[1-×5-（-）×3]÷+5+3
=[1-×5-×3]÷+5+3
=÷+5+3=10（天）.
答：乙一共做了10天.
【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到.
例4 如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算：甲、乙两队合做4天后，剩下的工程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务？
（广东省深圳市）【分析1】先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程，再除以丙队每天的工作量，即得丙队还要做的天数.
【解法1】甲、乙合做4天完成的工程？
剩下的工程有多少？
1-=
丙队还要几天完成？
（天）
综合算式： [1-]÷
=[1-÷4]÷
=[1-]÷
=（天）.
【分析2】先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天，再用丙独做全工程用的15天减去这个天数，即得丙队还要做的天数.
【解法2】甲、乙合做4天完成多少？
=
甲、乙合做的工程由丙独做需几天？
÷=11（天）
剩下的工程丙队还要几天完成？
15-11=4（天）
综合算式： 15-÷
=15-×4÷
=15-÷
=15-11=4（天）.
【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程，即丙队还要做天数的对应分率，最后求出剩下工程丙队还需几天完.
【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几？
还剩下全工程的几分之几？
1-=
丙队完成剩下的工程还需几天？
15×=4（天）
综合算式： 15×[1-]
=15×[1-]
=15×=4（天）.
【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解.
【解法4】设丙队还要x天完成.
=1-
=1-
x=÷
x=4
答：丙队还要做4天才能完成任务.
【评注】比较以上四种解法，解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法，容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法，比解法1的思路更直接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下.
例5 一项工程，甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4∶5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（福建省福州市）
【分析1】甲乙两队的工作效率和是，又知甲乙工作效率的比是4∶5，由此运用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数.
【解法1】甲队每天完成多少工程？
乙队每天完成多少工程？
甲队独做全工程需几天？
1÷=45（天）
乙队独做全工程需几天？
1÷=36（天）
综合算式：甲队：1÷（）=1÷=45（天）
乙队：1÷（）=1÷=36（天）.
【分析2】因为“工作量÷工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4∶5，所以甲20天完成了全工程的，乙队20天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.
【解法2】甲队独做全工程需要多少天？
20÷=20×=45（天）
乙队独做全工程需要多少天？
20÷=20×=36（天）
【分析3】由分析2可知，甲乙完成工作量的比是4∶5.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队的独做时间.
【解法3】设甲队独做需x天完.
20∶4=x∶（4+5）
4x=20×9
x=20×9÷4
x=45
设乙队独做全工程需要y天.
20∶5=y∶（4+5）
5y=20×9
y=20×9÷5
y=36
答：略.
【评注】解法1是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相同的.
例6 修一段公路，甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后，剩下的由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？
（黑龙江省哈尔滨市南岗区）
【分析1】乙队先后共修了4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.
【解法1】乙队共修了全长的几分之几？
1-×4=
乙队先后共修了几小时？
4+=（小时）
乙队每小时修全长的几分之几？
乙队独修全长需几小时？
1÷=14（小时）
综合算式：1÷[（1-×4）÷（4+）]
=1÷[（1-）÷]
=1÷[]
=1÷=14（小时）.
【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知，乙队先后共修了小时，修
了全长的，根据分数除法的意义求出乙队独修全长
需要几小时.
【解法2】（4+）÷（1-×4）
=÷=14（小时）.
【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”
这一等量关系列方程解.
【解法3】设乙队独修需x小时完.
×4+×（4+）=1
×=1-
x=1÷
x=14
答：这段公路由乙队独修需14小时完工.
【评注】比较以上三种解法，解法2的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.
例7 一项工程甲队单独做要15天才能完成，乙队单独做12天才能完成，如果甲队先做3天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成？
（四川省成都市）【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完.
【解法1】甲队先做了多少？
×3=
剩余的工作有多少？
1-=
两队合做还要多少天完？
÷（）=（天）
综合算式：（1-×3）÷（）
=（1-）÷
=÷=（天）.
【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成.
【解法2】甲乙合做全工程需要几天？
1÷（）=（天）
两队要合做全工程的几分之几？
1-×3=
两队还要多少天可以完成？
×=（天）
综合算式： 1÷（）×（1-×3）
=1÷×
=×=（天）.
【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.
【解法3】设两队还要x天完成.
×3+（）x=1
x=（1-）÷
x=
【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.
【解法4】设两队合做还要x天完.
×（15-3）=（）x
×12=x
x=
x=
答：剩余的工作两队还要天可以完成.
【评注】以上四种解法各有特点.解法1是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法2是分数应用题的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法，但等量关系不同.读者可灵活选用.
例8 仓库有45吨化肥，甲汽车单独运10小时完成，乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？
（江苏省江都县）【分析1】先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间.
【解法1】甲车每小时运多少吨？
45÷10=4.5（吨）
乙车每小时运多少吨？
45÷15=3（吨）
两车每小时运多少吨？
4.5+3=7.5（吨）
两车同时运需几小时运完？
45÷7.5=6（小时）
综合算式： 45+（45÷10+45÷15）
=45÷（4.5+3）
=45÷7.5=6（小时）。

【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几？再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时.
【解法2】两车每小时运货的几分之几？
两车每小时运货多少吨？
45×=7.5（吨）
两车合运几小时完成？
45÷7.5=6（小时）
综合算式： 45÷[45×（）]
=45÷[45÷]
=45÷7.5=6（小时）.
【分析3】甲车每小时运化肥的，乙车每小时运化肥的，两车每小时运化肥的（）=.把化肥总吨数看作“1”，“1”里包含几个，就是两车同运几小时完成.
【解法3】1÷（）=1÷=6（小时）.
【分析4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.
【解法4】设两车同运x小时完.
x+x=1
（）x=1
x=1÷
x=6
或（）x=1
x=1÷（）
x=6
答：两车同时运6小时可以完成.
【评注】比较以上四种解法，解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.
例9 甲乙两地相距630千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行.客车行完全程需14小时，货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米？
（上海市徐汇区）【分析1】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米.
【解法1】客车每小时行多少千米？
630÷14=45（千米）
货车每小时行多少千米？
630÷21=30（千米）
两车几小时相遇？
630÷（45+30）=（小时）
相遇时客车行多少千米？
45×=378（千米）
相遇时货车行多少千米？
30×=252（千米）
综合算式：
客车： 630÷14×[630÷（630÷14+630÷21）] =45×[630÷（45+30）]
=45×=378（千米）
货车： 630-378=252（千米）
【分析2】先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.
【解法2】客车每小时行多少千米？
630÷14=45（千米）
两车几小时相遇？
1÷()=（小时）
客车行了多少千米？
45×=378（千米）
货车行多少千米？
630-378=252（千米）
综合算式：
客车：（630÷14）×[1÷（）]
=45×[1÷]=45×=378（千米）
货车：630-378=252（千米）
【分析3】因为“路程÷速度=时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即∶
=3∶2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.
【解法3】客车与货车所行路程的比？
∶=3∶2
客车行了多少千米？
630×=378（千米）
货车行了多少千米？
630×=252（千米）
综合算式：客车：630×=378（千米）
货车：630×=252（千米）.
答：略.
【评注】比较以上三种解法，解法1最繁，但其思维难度小，也最容易想到.解法3的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法.如果由分析3继
续分析，运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.
例10 一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做30天完成，二人合做若干天后，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用27天.求乙单独工作了多少天？
（黑龙江省哈尔滨市）【分析1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程，再求出甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数，即得乙单独做了多少天.
【解法1】乙共完成工程的几分之几？
×27=
甲完成了工程的几分之几？
1-=
甲乙合做了多少天？
÷=4（天）
乙单独做了多少天？
27-4=23（天）
综合算式： 27-（1-×27）÷
=27-÷
=27-4=23（天）.
【分析2】假设甲没有被调走，那么甲乙合做27天要超过全工程的（）×27-1=.这部分工程就是甲留下完成的，因此求出甲完成工程的需要几天，就是乙单独又做了几天.
【解法2】甲乙的效率和是多少？
=
甲乙合做27天完成工程的几分之几？
×27=
超过全工程的几分之几？
-1=
乙单独工作了多少天？
÷=23（天）
综合算式： [（）×27-1]÷
=[×27-1]÷
=[-1]÷
=÷=23（天）.
【分析3】根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.
【解法 3】设乙单独工作了x天.
（）×（27-x）+x=1
×27-x+x=1
（-）x=×27-1
x=23
【分析4】甲乙合做全工程需要1÷（）=（天），那么实际多用27-=（天）.这是因为甲应完成的工作由乙天完成，由此可求若甲不调走，甲还应做（天），所以乙独做的时间为+=23（天）.
【解法4】甲乙合做全工程需几天？
1÷（）=（天）
全工程延长了几天？
27-=（天）
乙天的工作量甲需几天完？
（天）
乙单独做了几天？
+=23（天）.
【分析5】假设乙独做27天完成全工程，那么比它实际每天多做全工程的.这是因为把甲完成的工作量平均分了27等份，每份恰是.因此把每份工作量乘以27即得甲完成的工作量，再除以甲的工作效率，即得甲乙合做天数，由此可求乙独做了多少天.
【解法5】 27-（）×27÷
=27-×27×40
=27-4=23（天）.
答：乙单独工作了23天.
【评注】比较以上五种解法，解法1、解法2、解法5各有特点，是本题的较好解法.读者可根据实际情况，选择合适的方法.。