02-第1讲：命题及其符号化

厦门大学数学科学学院
命题及其符号化第1讲
推理是由一系列的“命题”构成的。

推理“命题”
“命题”“命题”前提结论
能够判断真假（更确切地说，具有真假意义的）的陈述句。

即命题的判断结果。

真值只取两个值:
真（用1表示）
假（用0表示）
真命题
真值为真的命题。

假命题真值为假的命题。

命题命题的真值
罗纳尔多是球星。

简单命题
不能被分解成更简单的命题的陈述句。

简单命题的符号化
用小写英文字母p,q,r,…或带有下标的小写英文字母p 1,p 2,p 3，…来表示。

例1.1
复合命题
由简单命题通过联结词联结而成的陈述句。

该假命题包含了两个简单命题，“如果…,则…”是联结词。

如果“3>2”,则“3=2”。

例1. 2
定义1.1
设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⎤p，符号⎤称为否定联结词。

规定⎤p为真当且仅当p为假。

运算规则属于单目运算符p p 10 01
定义1.2
设p,q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q，符号∧称为合取联结词。

规定p∧q为真当且仅当p和q 均为真。

p
q p ∧q 0000
101
00111类似求最小运算规则
属于双目运算符
定义1.3
设p,q为二命题，复合命题“p或q”称为p与q的析取式，记作p∨q，符号∨称为析取联结词。

规定p∨q为假当且仅当p和q均为假。

运算规则属于双目运算符
类似求最大
p q p ∨q
000
011
101
111
注意
自然语言中的“或”“相容或”“排斥或”p ∨q
(p ∨q )∧⎤( p ∧q )
符号化为符号化为(p ∧⎤q) ∨(⎤p ∧q)
定义1.4
设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p为蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，符号→称为蕴涵联结词。

规定p→q为假当且仅当p为真q为假。

运算规则属于双目运算符
p q p q 001 011 100 111
难点
为什么规定前件为假时，不论后件真假与否，蕴含式都为真呢？
其实我们平时也采用这种思维方式，譬如，
说“如果太阳从西边出来，我就不姓张。

”
注意
1p→q表示的逻辑关系是：q是p的必要条件，p是q的充分条件。

2自然语言中可用p→q蕴涵式表述的命题格式有：
“只要p，就q” “因为p，所以q” “如果p，才q”
“If p，then q” “q当p”“q if p”
“p仅当q”“p only if q”“只有q才p”
“除非q才p” “除非q，否则非p”等等
注意
3与自然语言的不同:数理逻辑蕴涵式的前件与后件可以没有任何内在联系！4在数学中: 如果p,则q表达的仅仅是p为真，q也为真的推理关系!
定义1.5
设p,q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称为p与q的等价式，记作p↔q，符号↔称为等价联结词。

规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。

运算规则属于双目运算符
p q p q 001 010 100 111
注意
等价运算p↔q表示的逻辑关系是：
p与q互为充分条件或者p与q互为必要条件。

即p↔q相当于(p→q)∧(q→p)
注意
练习:
任给p,q真值，p ↔q 与(p →q) ∧(q →p)的真值都相同。

例子
将下面的命题符号化：
例1. 3
“3≤π＜4”
解：设
p：π＞3
q：π＝3
r：π＜4
则该命题可符号化为（p∨ q）∧r
由于p，q，r的真值分别为1,0,1。

所以该命题是真命题。

谢谢观看。