人教版九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 同步练习

22.1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质
1．抛物线y ＝x 2
＋1的图象大致是( )
2．将二次函数y ＝x 2
－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 ．
3．在同一个直角坐标系中，作出y ＝12x 2，y ＝12
x 2
－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝12x 2－1与抛物线y ＝12x 2
有什么关系？
4．对于二次函数y ＝3x 2＋2，下列说法错误的是( )
A ．最小值为2
B ．其图象与y 轴没有公共点
C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
D ．其图象的对称轴是y 轴
5．与抛物线y ＝－45x 2
－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数
解析式是( )
A ．y ＝－54x 2
－1
B ．y ＝45x 2
－1
C ．y ＝－45
x 2
＋1
D ．y ＝45
x 2
＋1
6．抛物线y ＝2x 2
－1在y 轴右侧的部分是 (填“上升”或“下降”)的． 7．抛物线y ＝ax 2
－1(a ＞0)上有两点A(1，y 1)，B(3，y 2)，则y 1 y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)
8．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2
－1上，下列说法中正确的是( )
A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2
B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2
C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2
D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2
9．已知y ＝ax 2
＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是( )
A ．a>0
B ．a<0
C ．a ≥0
D ．a ≤0
10．一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，b ≠0)的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2
＋a 的大致图象是( )
11．将抛物线y ＝ax 2
＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2
－1，则a ＝ ，c ＝ ．
12．若抛物线y ＝ax 2
＋k(a ≠0)与y ＝－2x 2
＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝ ． 13．直接写出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2
－1的函数关系式：
(1)通过点(－3，2)；
(2)与y ＝12x 2
的图象顶点相同，开口大小相同，但方向相反；
(3)当x 的值由0增加到2时，函数值减少4.
14．把y ＝－12
x 2
的图象向上平移2个单位长度．
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．
15．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m ，宽是2 m ，抛物线可以用y ＝－14
x 2
＋4表示．一辆货运卡车高4 m ，宽2 m ，它能通过该隧道吗？
第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质
1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12
(x －2)2
的图象可能是( )
2．抛物线y ＝－3(x ＋1)2
不经过的象限是( )
A ．第一、二象限
B ．第二、四象限
C ．第三、四象限
D ．第二、三象限
3．将抛物线y ＝x 2
平移得到抛物线y ＝(x ＋3)2
，则这个平移过程正确的是( )
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向上平移3个单位长度
D ．向下平移3个单位长度
4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2
，y ＝(x ＋2)2
，y ＝(x －2)2
的图象，并写出对称轴及顶点坐标．
5．抛物线y ＝－2(x －1)2
的顶点坐标和对称轴分别是( )
A ．(－1，0)，直线x ＝－1
B ．(1，0)，直线x ＝1
C ．(0，1)，直线x ＝－1
D ．(0，1)，直线x ＝1
6．函数y ＝－3(x ＋1)2
，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当
时，函数取
得最 值，最 值y ＝ ． 7．完成表格：
8.已知抛物线y ＝2x 2
和y ＝2(x －1)2
，请至少写出两条它们的共同特征．
9．已知二次函数y ＝2(x －h)2
的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足 ．
10．对于函数y ＝－2(x －m)2的图象，下列说法不正确的是( )
A ．开口向下
B ．对称轴是x ＝m
C ．最大值为0
D ．与y 轴不相交
11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y ＝12x 2
的图象相同的抛物线所对应的函数解
析式是( )
A ．y ＝12(x －6)2
B ．y ＝12(x ＋6)2
C ．y ＝－12(x －6)2
D ．y ＝－12(x ＋6)2
12．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2
的图象大致为( )
13．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．
14．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为．
15．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．
16．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)将上面的抛物线向右平移4个单位长度会得到怎样的抛物线解析式？
(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式．
17．如图，直线y1＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求当y 1≥y 2时，x 的取值范围．
第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质
1．二次函数y ＝(x ＋2)2
－1的图象大致为( )
2．将抛物线y ＝－5x 2
＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A ．y ＝－5(x ＋1)2－1
B ．y ＝－5(x －1)2
－1 C ．y ＝－5(x ＋1)2＋3
D ．y ＝－5(x －1)2
＋3
3．画出函数y ＝(x －1)2－1的图象．
4．抛物线y ＝3(x －2)2
＋5的顶点坐标是( )
A ．(－2，5)
B ．(－2，－5)
C ．(2，5)
D ．(2，－5) 5．对于抛物线y ＝－(x ＋1)2
＋3，下列结论不正确的是( )
A ．抛物线的开口向下
B ．对称轴为直线x ＝1
C ．顶点坐标为(－1，3)
D ．此抛物线是由y ＝－x 2
＋3向左平移1个单位长度得到的
6．已知二次函数y ＝2(x －3)2－8.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？ (3)当x 取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值．
7．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2
不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 ．
8．若抛物线y ＝(x －h)2
＋(h ＋1)的顶点在第二象限，则h 的取值范围是( )
A. h ＞1 B ．h ＞0 C ．h ＞－1
D ．－1＜h ＜0
9．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2
＋1上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
10．如图，把抛物线y ＝x 2
沿直线y ＝x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是( )
A ．y ＝(x ＋1)2
－1 B ．y ＝(x ＋1)2
＋1 C ．y ＝(x －1)2
＋1 D ．y ＝(x －1)2
－1 11．已知抛物线y ＝34
(x －1)2
－3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴；
(2)函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值；
(3)设抛物线与y 轴的交点为P ，与x 轴的交点为Q ，求直线PQ 的函数解析式．
12．已知抛物线y ＝－(x －m)2
＋1与x 轴的交点为A ，B(B 在A 的右边)，与y 轴的交点为C.
(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
22.1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质
1．C
2．y ＝x 2
＋2． 3．解：(1)如图所示：
y ＝12x 2
开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，0)； y ＝12
x 2
－1开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，－1)． (2)抛物线y ＝12x 2－1可由抛物线y ＝12x 2
向下平移1个单位长度得到．
4．B 5．B 6．上升 7．＜ 8．D 9．A 10．C 11．－2，2． 12．2，－4．
13．解：(1)y ＝13
x 2
－1.
(2)y ＝－12
x 2
－1.
(3)y ＝－x 2
－1.
14．解：(1)y ＝－12
x 2
＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．
(2)略．
(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2. 15．解：把y ＝4－2＝2代入y ＝－14
x 2
＋4得
2＝－14x 2
＋4，
解得x ＝±2 2.
∴此时可通过物体的宽度为22－(－22)＝42＞2. ∴能通过．
第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质
1．D 2．A 3．A 4．
解：图象如图：
抛物线y ＝x 2
的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．
抛物线y ＝(x ＋2)2
的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)． 5．B
6．x ＞－1，＝－1，大，大, 0．
7．
9．h≤3．
10．D
11．D
12．B
13．y3<y1<y2．
14．1或6．
15．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.
又∵此抛物线过(1，－3)，
∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.
∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.
当x＞2时，y随x的增大而减小．16．解：(1)y＝3(x＋2)2.
(2)y ＝3(x －2)2
. (3)y ＝－3(x －2)2
.
17．解：(1)∵直线y 1＝－x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，
∴点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(0，－2)． ∵抛物线y 2＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A ， 设抛物线为y 2＝a (x ＋2)2
， ∵抛物线过点B (0，－2)， ∴－2＝4a ，a ＝－1
2
.
∴y 2＝－12(x ＋2)2
＝－12x 2－2x －2.
(2)x ≤－2或x ≥0.
第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质
1．D 2．A
3．解：列表：
4．C 5．B
6．解：(1)抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是(3，－8)．
(2)当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小． (3)当x ＝3时，y 有最小值，最小值是－8. 7．y ＝3(x ＋1)2
－1． 8．D 9．A 10．C
11．解：(1)抛物线y ＝34
(x －1)2
－3，
∵a ＝3
4
＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝1. (2)∵a ＝3
4
＞0，
∴函数y 有最小值，最小值为－3. (3)令x ＝0，则y ＝34(0－1)2
－3＝－94，
∴点P 的坐标为(0，－9
4)．
令y ＝0，则34(x －1)2
－3＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝3.
∴点Q 的坐标为(－1，0)或(3，0)．
当P (0，－9
4)，Q (－1，0)时，设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ，
则⎩⎪⎨
⎪⎧b ＝－94，－k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－9
4，b ＝－94.
∴直线PQ 的解析式为y ＝－94x －9
4
.
当P (0，－9
4)，Q (3，0)时，设直线PQ 的解析式为y ＝mx ＋n ，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－94，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3
4，n ＝－94
.
∴直线PQ 的解析式为y ＝34x －9
4
.
综上所述，直线PQ 的解析式为y ＝－94x －94或y ＝34x －9
4
.
12．解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为直
线x ＝1；④函数有最大值1；⑤当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；⑥当x ＞1时，y 随x 的增大而减小等．
(2)由题意，若△BOC 为等腰三角形，则只能OB ＝OC. 由－(x －m )2
＋1＝0，解得x ＝m ＋1或x ＝m －1. ∵B 在A 的右边，
∴B 点的横坐标为x ＝m ＋1＞0，OB ＝m ＋1. 又∵当x ＝0时，y ＝1－m 2
＜0，
由m ＋1＝m 2
－1，解得m ＝2或m ＝－1(舍去)． ∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝2.。