福建省莆田市高二数学上学期期末考试试题理(2021学年)

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莆田一中20１7—2０18学年度上学期期末考试试卷
高二数学理科
必修5 选修2－1 2-２ 选讲４－5
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
１.已知集合{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤-=≤-=02,01x x x Q x x P ,则()Q P C R ⋂= ( ）
A ．()1,0 B.(]2,0 Ｃ.(]2,1 D ．[]2,1
2.已知m 为实数，i 为虚数单位，若0)1(2>-+i m m ，则=-+i
m i
m ( ） A ． 1- Ｂ。

1ﻩ ﻩＣ。

i -ﻩ D. i
3. “0<x ”是“0)1ln(<+x ”的 ( )
A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若n m ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ )
则
A.若βα⊥，β⊥m ，则α//m B 。

若α//m ，m n ⊥,α⊥n
Ｃ.若α//m ,α//n ,β⊂m ，β⊂n ，则βα// D.若
β//m ,α⊂m ,n =⋂βα,则n m //
５.若函数2(2)()m x
f x x m
-=+的图象如图所示，则m 的范围为 ( ）
A ．(,1)-∞-
B.(1,2)-ﻩ
C.(0,2)ﻩ
D.(1,2)
6。

设1F 、2F 是双曲线14
2
2
=-y x 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=⋅+P F OF OP （O 为原点）且21PF PF λ=,则λ的值为（ ）
A.2ﻩ Ｂ．2
1ﻩ C ．3ﻩ D ．3
1
7.1F ,2F 分别是双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >)的左右焦点，
过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点B ,A ，若2ABF ∆ 为 等边三角形,则双曲线的离心率为 （ ) A ．7 B ．4ﻩ C ．
23
ﻩ D.3 ８.当[]1,2-∈x 时,不等式03423≥++-x x ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5--
B ．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--89,6 C.[]2,6-- D ．[]3,4--
9。

已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB E =，为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为 ( ) A ．
10
10 Ｂ．51 C.53 Ｄ.
1010
3 1０。

在正三棱柱111C B A ABC -中,若41==AA AB ，点D 是1AA 的中点,则点A 到平面1DBC 的距离
是
( )
Ａ．1 B.2 Ｃ．3 Ｄ.2
11．设函数x x f ln )(=,x
b ax x g +=)(,它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线,则当x 〉1时，
)(x f 与)(x g 的大小关系是 ( )
Ａ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f < C.)()(x g x f = D.不确定
12。

已知函数)()(b x e x f x -=)(R b ∈。

若存在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,21x ,使得0)()(>'+x f x x f ,则b 的范围是
（ ）
A.⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∞-38, B 。

⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∞-65, Ｃ。

⎪⎭
⎫
⎝⎛-65,23 D 。

⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,3
8 二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上）
1３． 命题“若0=a ，则0=ab "的逆否命题是_＿＿_＿_＿＿＿__＿___＿__. 14.=-++⎰-dx x x x 1
122)4( ．
15.椭圆22
1164
x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它的右焦点，若AF BF ⊥,则AFB
∆的面积是 。

16。

当实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围___＿____。

17. 已知函数x x x x f ln 432
1)(2+--=在()1,+t t 上不单调,则实数t 的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共５小题，共６5分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 1８.(12分）已知()211f x x x =--+ (1)求()f x x >的解集;
(2)若不等式m x x x f +-≥2)(在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,1上解集非空，求m 的取值范围．
19。

（１2分）如图，三棱柱111C B A ABC -中,⊥1AA 平面ABC ,AC BC ⊥，2==AC BC ,31=AA ，
D 为AC 的中点。

20.(1３分）已知函数4)(23-+-=ax x x f 。

(1) 若)(x f 在3
4
=
x 处取得极值，求实数a 的值； (2) 在(１)的条件下，若关于x 的方程m x f =)(在[]1,1-上恰有两个不同的实数根,求实数m 的取
值范围；
(3) 若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立,求实数a 的取值范围。

21.(14分)如图，点)0,3(B 是圆()
163:22
=++y x A 内的一个定点，点P 是圆A 上的任意一点,线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ,当点P 在圆A 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C 。

(1)求曲线C 的方程；
(２)点)0,2(E ,)1,0(F ，直线QE 与y 轴交于点M ，直线QF 与x 轴交于点N ,求FM EN ⋅的值．
22。

（ 14 分）已知常数0>a ，函数2
2)1ln()(+-
+=x x
ax x f 。

（Ⅰ）讨论)(x f 在区间()+∞,0上的单调性；
(Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点1x ,2x ,且0)()(21>+x f x f ,求实数a 的取值范围.
莆田一中20172018学年度上学期期末考试试卷参考答案
高二数学理科数学必修5 选修２—１２—２
1—５CＤBＤD 6-10AACDB 11-1２BA
13.若,则．. 14。

15.4 １6． 1７。

18.解:,
当时，有,得；当时,有，得;
当时,有，得.
综上所述:原不等式的解集为.
（2）由题,，设
所以,当时,;当时,；当时,即
１９。

2０
21.解(1）因为点在的垂直平分线上,所以，∴,
从而点的轨迹是以为焦点的椭圆,这时,,，∴,所以曲线的方程为.
（２)由题设知,直线的斜率存在。

设直线的方程为,，，
由,得，
因为，,所以，
所以,因为点,,共线,，
所以,即，
又直线与轴的交点纵坐标为,
所以，,
所以。

22。

（Ⅰ)f ′(x ）＝1＋ax a －（x ＋2）22（x ＋2）－2x ＝（1＋ax ）（x ＋2）2ax2＋4（a －1）
. （*)
当ａ≥1时,f ′（x ）>０,此时,f(x ）在区间（0，＋∞）上单调递增.
当0〈a<1时,由ｆ′(x)=0得x 1＝2a 1－a （x 2＝－2a 1－a 舍去)． 当ｘ∈(0，x 1)时,ｆ′(x ）〈０;当ｘ∈(ｘ1，＋∞)时,f ′(ｘ)＞0.
故f （x)在区间（0，x 1)上单调递减,在区间（x １，+∞）上单调递增.
综上所述，当a ≥1时,ｆ（x ）在区间（0，＋∞）上单调递增；
当0＜a ＜1时,ｆ(x)在区间a 1－a 上单调递减,在区间，＋∞1－a
上单调递增。

（Ⅱ)由(*)式知,当ａ≥1时,f ′（x)≥0,此时f （x)不存在极值点,因而要使得ｆ(x)有两个极值点,必有0<a 〈1。

又ｆ（x)的极值点只可能是x 1=２a 1－a 和x 2=-2a 1－a ,且由f （x)的定义可知, x>－a 1且x ≠－２，
所以－2a 1－a 〉-a 1，-2a 1－a ≠-2,解得ａ≠21。

此时,由（*）式易知,x １,x 2分别是ｆ (x)的极小值点和极大值点.
而f （x 1)＋f(ｘ2)＝ｌn(1＋ax 1)-x1＋22x1＋ln(1+ax ２）-x2＋22x2
=ln[１+ａ（x １+x 2)＋a ２x 1x ２］－x1x2＋2（x1＋x2）＋44x1x2＋4（x1＋x2） ＝ln(２a-1）2
－2a －14（a －1）＝ｌn （2a －1)2＋2a －12－2. 令2a-１=t ． 由０＜ａ〈1且a ≠21知,当0〈 a 〈 21 时，－１< t <０;当21< ａ 〈1时,
0〈 t<１. 记g(t)＝ｌn t ２
＋t 2-２. （ｉ）当－1〈t 〈0时，g(t ）=2ln(-t)+t 2-2,所以ｇ′(x ）＝t 2－t22＝t22t －2< 0，
因此，g (ｔ)在区间(-１,0)上单调递减，从而g （ｔ)〈g(－1）＝－4〈0.
故当0〈ａ〈21时，f （x 1)＋f(x 2）<０。

（ii)当0〈t 〈1时,ｇ（ｔ）=2ln t ＋t 2-２，所以g ′(t)＝t 2-t22＝t22t －2< 0,
因此，ｇ(t)在区间(0,１）上单调递减,从而g(t ）>g(１）＝0．
故当21＜a<１时,f(x 1)＋ｆ(ｘ2）＞０．综上所述，满足条件的ａ的取值范围为，11.
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