2018年高考数学 破解命题陷阱 专题16 数列求和的方法规律

专题16 数列求和的方法规律
一．高考命题类型 1.倒序求合法 2.裂项求和法 3.错位相减求和 4.分组求和 5.分奇偶数讨论求和 6.利用数列周期性求和 7.含有绝对值的数列求和
二．命题陷阱及命题陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 设()
f x =
，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________．
【答案】
【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。

等差数列中主要利用等差数列性质：若(
)*
,,,,m n p q m n p q N
+=+∈，则m
n p q a
a a a +=+；函数中主要利用对称
中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=；组合中中主要利用组合数性质：
n m n m m C C -=
练习1.已知()11sin 22f x x ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则2017a =__________． 【答案】1009
【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称， ()1122f x sin x ⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移
1
2
个单位，
故答案为1009. 练习 2.已知函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数， ()()1g x f x =+，若2017n n a g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则数列{}n a 的前2016项
和为( )
【解析】∵函数12f x ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
为奇函数图象关于原点对称， ∴函数()f x 的图象关于点(1
2
,0)对称， ∴函数()()1g x f x =+的图象关于点(1
2
,1)对称，
∴()()12g x g x +-=， ∵2017n n a g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
12320152016201620172017201720172017g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++⋯++=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
练习3. 已知函数()3
2331
248f x x x x =-++，则2016
1
2017k k f
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑的值为 _____．
2.裂项求和
例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()
1
1n a n n =
+，则5S 等于（ ）
16
56
130
【解析】
()111
11
n a n n n n =
=-++
51111111115
12233445566
S ∴=-+
-+-+-+-=
练习1.数列
）
1
【解析】
n n
=
=+
故数列
的前10
项的和为10
...1S =
练习2.在等差数列{}n a 中， 357116,8a a a a ++==，则数列341·
n n a a ++⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）
21
n
n +
练习3. 已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >， 2*
63,n n n S a a n N =+∈，
()()
122
121
n
n
n a n a a b +=
--，若*
,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是
( )
1
7
8441
【答案】B
【解析】当1n =时， 2
11163a a a =+，解得13a =或10a =. 由0n a >得13a =.由263n n n S a a =+，得2
11163n n n S a a +++=+. 两式相减得22
111633n n n n n a a a a a +++=-+-.
所以11()(3)0n n n n a a a a +++--=.
因为0n a >，所以110,3n n n n a a a a +++>-=.
即数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=. 所以()(
)()()
1
11
281117818181812
121
n
n
n a n n n n n n a a b +++⎛⎫
=
==- ⎪------⎝⎭. 所以223
11
11111
111111
781818181
8181778149
n n n n T ++⎛⎫⎛
⎫=
-+-++
-=-< ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭. 要使*
,n n N k T ∀∈>恒成立，只需149
k ≥
.
练习4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则
1223
20172018
111
b b b b b b +++
的值是（ ）
4033
2017
1223
20172018111111
1114033
112223
2016201720172017
b b b b b b +++
=+-+-+
+
-=-=. 故选B. 练习5.定义
12n
n
p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为
1
21n +，又14n n a b +=，则
1223
20152016
111
b b b b b b +
++
=（ ）
练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122017
111···a a a +++等于（ ）
20162017
4032
2017
2017
2018
4034
2018
【答案】D
【解析】由题意可得： 11n n a a n +-=+，则：
1213211,2,23,
,n n a a a a a a n -=-=-=-=，
以上各式相加可得： ()12
n n n a +=
，则：
11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， 12
201711
11111
1403421223201720182018
a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=⨯-+-+
+-=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 练习7.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122
n n n a a a ++-+=，若[]
x 表示不超过x 的最大整数，则1
2201720172017
2017a a
a ⎡⎤
+++
=⎢
⎥⎣⎦
( )
解得(1)n a n n =+， ∴
1111
n a n n =-+， ∴
121111111111122311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， ∴
12
2017
20172017
a a a ++
+ 则1
2201720172017
2017a a a ⎡+++
⎢
⎥⎣
120162018+
练习8. 已知幂函数()a
f x x =的图象过点()4,2，令()()
1
1n a f n f n =
++（*n N ∈）
，记数列{}n a 的前
n 项和为n S ，则2018S =（ ）
1
1
11-
【解析】函数()a
f x x =的图象过点()4,2，
可得42a
=,解得12
a =
，
()1
2f x x
=，
则()(
)11n a f n f n =
==++，
则2018120191S =+
.
练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且()2
1122n n a a a n --=+≥，若1
11
2n n n b a a +=
++，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________
． 【答案】
2119101
n -- 练习10.设数列{}n
a n S ，点,n S n n
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
， ()
*
n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。

（2）设1
3
n n n b a a +=
⋅， n T 为数列{}n
b .
【答案】（1）*65n a n n N =-∈（2）n 3T 61
n
n =
+ 【解析】（1）∵点,
n S n n
⎛⎫
⎪
⎝
⎭
232,32n
n S n S n n n
∴
=-=-即 ∴111a S ==
当()
()()2
2
12,32312165n n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=-----=-⎣⎦
时
*65
n a n n N ∴=-∈
（2）()()133111656126561n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
123n n T b b b b =++++
11111111
121771313196561n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
111261n ⎛⎫=
- ⎪
+⎝⎭361n
n =+
练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1*n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 22
2
352,4128
n n n n
b n n T n n +=+=++ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a
,公差为d ， 66515a s s =-=，所以6151515{ 51045
a a d S a d =+==+=，
解得15,2,23n a d a n ===+。

练习12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1*n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 22
2
352,4128
n n n n
b n n T n n +=+=++
3.错位相减求和
例3.已知数列{}n a 的首项12
3
a =
， 121n n n a a a +=+， 1,2,3,n =…．
（1）证明：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （2）数列n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
2
n n +. 【解析】（1）
121n n n a a a +=
+， ∴
111
111222n n n n
a a a a ++==+⋅， ∴
1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又12
3a =， ∴ 11112a -=，
∴数列11n a ⎧⎫-⎨
⎬⎩⎭
是以为12首项，1
2为公比的等比数列．
（2）由（1）知
1111111222n n n a -+-=⋅=，即11
12
n n a =+， ∴
2n n n n n a =+．设23123222n T =+++ (2)
n n
+， ①
则23112222n T =
++ (1122)
n
n n n
+-++，② 由①-②得2111111111112211222
2222212
n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭
=
+++-=-=---，
∴ 1
1222
n n n
n
T -=-
-．又123+++…()12n n n ++=． ∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和 ()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+
==． 练习1.已知数列{}n a ， {}n b ， n S 为数列{}n a 的前n 项和， 214a b =， 22n n S a =-，
()211n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （3）若数列{}n c 的通项公式为,2{ 4
n n
n n n
a b n c a b n -
=为奇数
，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T . 【答案】（1）2n
n a =（2）见解析（3）27127•499
n
n n T -=
+
（3）令212n n n p c c -=+
()()()()2
2
21
222121?22?241?241?42
4
n n
n n n n n n ----=-
+
=-=-
()()()0122123123474114414{ 43474114454414n n n n n T n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①②
①-②，得()0
1
2
1233?44?44?44?441?4n n n T n --=+++
+--
()2164?43341?414n n n T n --=+---
27127•499
n n n T -=
+ 练习2.已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11•n n a a +⎧
⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和为21n
n +. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()12n a
n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n -；（2）
()1
43149
n n ++-⋅
.
（2）由（1）知24
22
4,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以()2
3
1
41424 (144)
,n
n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅
两式相减，得121
344......44n n n T n +-=+++-⋅
(
)1
1414134
4
4,14
33
n n n n n ++--=
-⋅=
⨯-- 所以()1
14314
3144.999
n n n n n T +++-⋅-=⨯+= 练习3. 已知等差数列{}n a 中， 2465,22a a a =+=，数列{}n b 中， ()113,212n n b b b n -==+≥. （1）分别求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）定义[]()x x x =+， []
x 是x 的整数部分， ()x 是x 的小数部分，且()01x ≤<.记数列{}n c 满足
1n n n a c b ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，求数列{}n c 的前n 项和.
【答案】(1) 21,n a n =+ 1
21n n b +=-;(2) 152522
n n n S ++=
-
. 解析：（1）121,21n n n a n b b -=+=+， ()1121n n b b -+=+，∴{}1n b +是首项为4 ，公比为2的等比数列，
∴112n n b ++=，∴1
21n n b +=-.
（2）依题意，当1n ≥时， ()()
()1
01
221122121n
n n n C C n n +=+≥+=+>+，∴1
21
2n n n c ++=
， 所以2341
35721
2222n n n S ++=
++++
， 令345213572122222
n n n S ++=++++， 两式相减，得34512
2113357
221321215252422222442222
n n n n n n n n n S +++++++=++++
+
-=+--=- 故1525
22
n n n S ++=-.
4.分组求和
例4. 已知数列{}n a 满足0n a ≠， 11a =， ()122n n n n a a a +-=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列35n a n n ⎧⎫
+-⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 【答案】(Ⅰ) 1
2n n a n -=⋅；(Ⅱ) 237212
n
n n n
S -=+
-. 【解析】试题分析：
(Ⅰ)结合递推关系可得n n a b n
=
是以1为首项，公比为2的等比数列，据此可得通项公式为1
2n n a n -=⋅. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有1
35235n n a n n n
-+-=+-，分钟求和可得237212n n n n S -=+
-. 试题解析：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
135235n n
a n n n
-+-=+-， 故()()()
1123152325235n n n S n -=+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅++⨯-
()
()0112223125n n n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+- 237212
n
n n -=+-.
练习1.数列1111
4,8,16,32
24816
，……的前n 项和为（ ）
121n n +---
2223n n +---
1221n n +-+-
1121n n +----
【解析】分组求和：
(
)
1211
14121222,2231212
12
n
n n n n n n n a S ++-⎛⎫-
⎪
-⎝⎭=+
=+
=---- 。

.
练习2.数列1
11123248
，，，的前n 项和为n S =（ ）
1
12
n +
12
n n
-
．
练习3. 已知数列{a n }的通项公式是2
21sin π2n n a n +⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
，则1232018a a a a +++
+＝( )
A.
201720182⨯ B. 201920182⨯ C. 201720172⨯ D. 20182018
2
⨯
【答案】B 【解析】
1232018a a a a ++++=223222123420172018123420172018-+-++
-+=++++
++
()
20181201820182019
2
2
+⨯=
=
,选B.
5.分奇偶数讨论求和
【中】6.已知函数()22,{ ,n n f n n n =-为奇数
为偶数
，且()()1n a f n f n =++，则1238a a a a +++⋯+= ( )
20172018
()2
2121n a n n n =-+=--，所以
()135737111536a a a a +++=-+++=-，
()2
2121n a n n n =-++=+
246859131744a a a a +++=+++=，
所以1288a a a ++
+=.
练习1. 已知在各项为正的数列{}n a 中， 11a =， 22a =， ()
*212log log n n a a n n N ++=∈，则
10101220172a a a ++
-=__________．
【解析】因为212log log n n a a n ++=,所以1
1122222n n n n n n n n a a a a a a +++++=⇒=⇒= ,即数列{}n a 隔项成
等比,所以()
1008
10091010
1010122017212122
231212
a a a --++-=+-=---
练习 2. 已知函数()22,{ ,n n f n n n =-为奇数
为偶数
，且()()1n a f n f n =++，则1232017a a a a +++
+等于
（ ）
A. -2014
B. 2014
C. 2019
D. -2019 【答案】D
【解析】若n 是奇数，则22
1121n a f n f n n n n =++=-+=--（）（）（），构成等差数列，
则
1337a a =-=-，，公
差
73
73d =---=-+=-（）， 则奇数项
的和
()
100
9
1
008
10
093
410092019
2
S ⨯=-⨯+⨯-=-⨯，
若n 是偶数，则22
1121n a f n f n n n n =++=-++=+（）（）（）， 则2459a a ==，，公差954d =-=， 则
前1008个偶数项和10081007
100854100820192
S ⨯=⨯+
⨯=⨯，
则123201710092019100820192019a a a a +++⋯+-⨯+⨯=-═ ， 故选D ．
练习3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n N ∈），若()1
21
1n
n n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.
【答案】()111
n
n --++或2
,1
{ ,1
n n n n n n +-
+-+为奇数，
为偶数
当n 为偶数时， 111n T n =-+
+ ，当n 为奇数时， 111
n T n =--+ ，综上所述()111
n
n
T n -=-+
+ ,故填
()111
n
n --+
+或2
,1
{ ,1
n n n n n n +-
+-+为奇数，
为偶数. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误
练习4. 设数列{}n a 满足：①11a =；②所有项*
N n a ∈；③ 1211n n a a a a +=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅．
设集合{}
*|,N m n A n a m m =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说， m b 是 数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的
伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）若数列{}n a 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列{}n a ；
（2）设1
3n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100之和；
（3）若数列{}n a 的前n 项和231
22
n S n n c =
-+（其中c 常数）
，试求数列{}n a 的伴随数列{}n b 前m 项和m T ．
【答案】（1）1,4,7（2） 见解析（3）()()
()
()()
*
*
123231,6
{
33,6
m m m m t m t t N T m m m t t N ++=-=-∈=+=∈或
试题解析：（1）1,4,7．
（2）由1
3n n a m -=≤，得()
*31log n m m N ≤+∈
∴ 当*
12,m m N ≤≤∈时， 121b b == 当*
38,m m N ≤≤∈时， 3482b b b ==⋅⋅⋅== 当*
926,m m N ≤≤∈时， 910263b b b ==⋅⋅⋅== 当*
2780,m m N ≤≤∈时， 2728804b b b ==⋅⋅⋅== 当*
81100,m m N ≤≤∈时， 81821005b b b ==⋅⋅⋅==
∴121001226318454520384b b b ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = 当2n ≥时， 132n n n a S S n -=-=- ∴ ()
*32n a n n N =-∈
由32n a n m =-≤得： ()
*2
3
m n m N +≤
∈ ∵使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，
∴()*
123456323131,2,,t t t b b b b b b b b b t t N --======⋅⋅⋅===∈
当(
)*
32m t t N
=-∈时： ()()()()21131
31122
26
m
t t t T
t t m m +--=⋅
⋅-+==++
当(
)*
31m t t N
=-∈时： ()()()()21131
312122
26
m
t t t T
t t m m +-+=⋅
⋅-+==++
当()*3m t t N =∈时： ()
()2
311
33226
m t t t T t m m ++=⋅⋅==+
∴()()
()
()()
*
*
123231,6
{
33,6
m m m m t m t t N T m m m t t N ++=-=-∈=+=∈或
练习5. 已知数列{}n a 满足： 10a =，
)
2
111n a +=- ()
*n N ∈.
（1）求n a ； （2）若()
()
*21
11
n
n n n b n N a n +=-∈++，记12n n S b b b =++⋅⋅⋅+.求2n S .
【答案】（1）2
1n a n =-（2）2n S =
221
n
n -+
试题解析： （1
）)
2
111n a +=
- 11n a +⇒+
)
2
1=
1=
∴
是公差为1的等差数列
=
()11n n -⨯=
21n a n ∴=-.
（2）由（1）知()
()2111n
n n b n n +=-+ ()1
111n n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭
21111111111
12233445221n S n n ∴=--++--++⋅⋅⋅++
+， 11212121
n
n n -=-+=
++. 6.利用数列周期性求和
例1.数列{}n a 的通项2
2cos sin 44n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，其前n 项和为n S ，则40S 为
1015
7.含有绝对值的数列求和
例1.已知数列{}n a 中，148,2a a ==，且满足2120n n n a a a ++-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设123n n S a a a a =+++
+，求n S .
【答案】(1) sin sin A C ⋅最大为3
4. (2) 229,5{ 940,5
n n n n S n n n -+≤=++>
【解析】（1）∵22n n n a a a ++=， ∴数列{}n a 是等差数列 由148,2a a ==知2d =- ∴()821210n a n n =--=-+
（2）由（1）可得数列{}n a 的前n 项和为()
2n 821092
n n T n n -+==-+。

当5n ≤时， 0n a ≥ 123n n S a a a a =+++
+
12n a a a =+++=
29n n =-+。

当5n >时， 0n a <
()()1212567n n n S a a a a a a a a a =+++=+++-+++
()()125122n a a a a a a =++
+-++
+
5n 2T T =- 2940n n =++。

综上229,5
{ 940,5
n n n n S n n n -+≤=++>。

三．真题演练
1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .
【答案】(I)1
2.n n x -=（II ）(21)21
.2
n n n T -⨯+=
（II ）过123,,,P P P ……1n P
+向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=
记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以
123n T b b b =+++……+n b
=101
325272-⨯+⨯+⨯+……+3
2(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①
又012
2325272n T =⨯+⨯+⨯+……+2
1(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②
①-②得
1211
32(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯
=1132(12)
(21)2.212n n n ---+
-+⨯- 所以(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 2.【2017
北京，理
20】设
{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，
其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，
所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,
,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-，即证
明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明. 试题解析：解：（Ⅰ）
111110,
c b a =-=-=
21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，
3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.
当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，
所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,
,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.
所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.
（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则
12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.
所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨
-≤⎩当时，当时，
①当10d >时，取正整数2
1
d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,
m m m c c c ++是等差数列.
②当10d =时，对任意1n ≥，
1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--
此时，123,,,
,,
n c c c c 是等差数列
.
【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.
【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.
3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *
∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且
公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N .
【答案】 （1）32n a n =-.2n
n b =.（2）1328
433
n n n T +-=
⨯+. 【解析】
试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.
（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，
由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n
n n a b n -=-⨯，
故23
245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯，
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上述两式相减，得23
1324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
1
112(14)4(31)414
(32)48.
n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328
433
n n n T +-=
⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为
1328
433
n n +-⨯+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*
∈N n ）．
证明：当*
∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤1
2n n x x +； （Ⅲ）
1
12
n +≤x n ≤2
12
n +．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】
试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0>n x 当n =1时，x 1=1>0
假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若01≤+k x ，则0)1ln(011≤++=<++k k k x x x ，矛盾，故01>+k x ．
因此)(0*
∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<<N n x x n n
（Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2
111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++
记函数2
()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥
函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，
因此2
111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，1
12(N )2
n n n n x x x x n *++-≤
∈ （Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，所以11
2n n x -≥
得
1122
n n n n x x x x ++≥-， 111112()022n n x x +-≥-〉，1211111111
2()2()2222
n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅-=， 故2
12n n x -≤
，
1211
(N )22
n n n x n *--≤≤∈ 【考点】不等式证明
【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2
()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明． 5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++
++
2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析
（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①
当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④
将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,
a a a 是等差数列，设其公差为d'.
在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列
{}
n a 是等差数列.
【考点】等差数列定义及通项公式
【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数；
(4)前n 项和法：2
n S An Bn =+
6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=1
28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．
（Ⅰ）求111101b b b ，，；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．
【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =
111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======
（Ⅱ）因为0,
110,
1,10100,
2,1001000,
3,
1000.
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪
=⎨
≤<⎪⎪=⎩
所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算
.
考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。

【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n ,对于数列{a n }给出n d 这样一个新的定义，首先要理解定义，题目的第一步1n =，前一项的最大值为2，第一项后面的项的最小值为1，即112,1A B ==，则111d A B =-1=，同理求出234,,d d d ，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难.。