存在刚体模态的杆、梁连续系统某些振荡性质的补充证明

存在刚体模态的杆、梁连续系统某些振荡性质的补充证明
王其申;王大钧
【摘要】Using the idea and properties of the conjugated systems, we prove the following oscillation properties for the contin-uous systems of rod and beam having rigid modes in the present paper: Let ui(x) =(i =1,2,…) are the i-th displacement modes of continuous systems of rod or beams having rigid mode.Then,for any set of real numbers ci(i =p,p +1,…,q;2≤p≤q) that does not vanish simultaneously, the function u(x) =cpup(x)
+cp+1up+1(x) +… +cquq(x) has at least p-1 nodes and no more than q -1 zeroes in the interval [0,l] .%针对存在刚体运动形态的杆和Euler梁，借助共轭系统的概念和性质，本文证明了它们都具有如下定性性质：设ui（x）是存在刚体运动形态的杆或Euler梁的连续系统的第i（i ＝1，2，…）阶位移振型，则对任意的2≤p≤q和不全为零的实常数ci（i ＝p，p ＋1，…，q），函数u（x）＝cpup （x）＋cp＋1up＋1（x）＋…＋cquq（x），0＜x ＜l在区间（0，l）内的节点
不少于p -1个，而其零点不多于q -1个。

【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)001
【总页数】5页(P1-5)
【关键词】杆;梁连续系统;刚体模态;振荡性质;补充证明
【作者】王其申;王大钧
【作者单位】安庆师范学院物理与电气工程学院，安徽安庆 246133;北京大学湍流与复杂系统国家重点实验室，工学院力学与空天技术系，北京100871
【正文语种】中文
【中图分类】O327;O241.3;O151.21
对于具有振荡核的积分方程
它的特征值和特征函数具有如下四条定性性质［1-3］：
（a）特征值是正的和单的，它们可按递增次序排列为：λ1＜λ2＜… ＜λn＜…；（b）相应于λi的特征函数 ui（x）（i=1，2，…）恰有i-1个节点；
（c）对任意的1≤p≤q和实常数ci（i=p，p+1，…，q），函数
在区间［0，l］内的节点不少于p-1个，而其零点不多于q-1个；
（d）两个相邻的特征函数 ui（x）与 ui+1（x）（i=2，3，…，n-1）的节点彼此交错。

因为一个连续函数 u（x）在区间［0，l］内的零点只有两类：节点和零腹点。

按
照函数变号数的概念，零腹点的数量不计入函数的最小变号数，而把一个零腹点当做两个单零点计入函数的最大变号数，因此函数在区间［0，l］内的节点数等于其最小变号数，而函数的所有零点数，包括区间端点处的零点个数，等于其最大变号数。

因此，上述性质（c）也可以改写成
对于静定和超静定的杆和Euler梁的连续系统的固有振动问题，可以证明它们的Green函数是振荡核［3，4］，因而它们的固有频率和位移振型也就具有和以上
四条完全相似的性质，本文将其称为系统具有振荡性质。

对于存在刚体运动形态的杆和Euler梁的固有振动问题，尽管它们的Green函数
不是振荡核，不过，借助共轭系统的概念，我们已经证明过它们的固有频率和位移振型具有以上四条性质中的两条，即除性质（a）略有改变，需将“特征值是正的”
改为“特征值是非负的”外，它们的位移振型具有性质（b）［4，5］。

对以上性质（c），从物理直觉上看，它对存在刚体运动形态的杆和Euler梁也应该成立，但是一直未见有人给予过严格的证明。

鉴于这条性质有其重要的应用价值［6］，本文仍然借助共轭系统的概念，以及共轭系统所具有的定性性质，证明性质（c）对存在刚体运动形态的杆和Euler梁同样是成立的，继而可以推论性质（d）对存在刚体运动形态的杆和Euler梁同样成立。

为了完成本文的讨论，先给出以下两个引理。

引理1 设函数φ（x）在区间［0，l］上可微且有n个节点而无别的零点，则φ′（x）在［0，l］上的变号数不少于n-1。

如果
则φ′（x）的变号数至少各增加1。

证明设ξr（r=1，2，…，n）是φ（x）在区间［0，l］上的n个节点，
它们将区间［0，l］分为n+1个子区间［ξr，ξr+1］（r=0，1，…，n；ξ0=0，ξn+1=l）。

由Rolle定理，φ′（x）在子区间［ξr，ξr+1］（r=1，2，…，n-1）内至少有一个零点，从而
如果φ（0）φ′（0）＞ 0，连续函数φ（x）在［0，ξ1］上或者先从正数单调上升至极大值再下降至零，或者先从负数单调下降至极小值再上升至零，从而至少有一个极值点，即φ′（x）在此区间上的变号数至少增加1。

同理φ（l）φ′（l）＜0也使φ′（x）在相应子区间上的变号数至少增加1。

引理2 设φ′（x）在区间［0，l］上连续且以ξi（i=1，2，…，n）为其自左至右顺序排列的零点，则φ（x）在子区间［0，ξ1］，［ξ1，ξ2］，…，［ξn，l］内至多各有一个零点，从而φ（x）在［0，l］内最多共有n+1个零点。

如果
则当上述不等式之一或二者同时成立时，φ（x）在［0，l］内的零点个数将减少1或2。

证明利用反证法来证明引理2的前半部分。

假设在某个子区间［ξr-1，ξr］内φ
（x）存在两个零点c与d，则由Rolle定理，必有某一点ξ，使φ′（ξ）=0，这与引理2的条件矛盾。

至于引理2的后半部分，当φ（0）φ′（0）＞0时，由φ′（x）的连续性，在子区间［0，ξ1）上，φ（0）φ′（x）＞0，否则将与ξ1是φ′（x）的第一个零点矛盾，再由微分中值定理，对于任意的x∈ ［0，ξ1］，存在一点x0∈（0，x），使得
即φ（x）在子区间［0，ξ1）内没有零点。

完全类似地可以证明，当φ（l）φ′（l）＜0时，φ（x）在子区间［ξn，l］内没有零点。

不难看到，以上两个引理的后半部分对于φ（0） =0或φ（l） =0仍然成立。

长为l，抗拉刚度为p（x），线密度为ρ（x）的杆的纵振动的模态方程和最一般的边界条件是
为使讨论更清晰，称 u（x）为位移振型，而称u′（x）为应变振型，σ（x）为应力振型。

在变换（3）下，方程（1）改写为：
这仍然是“杆”的振动模态方程。

称以
为截面参数的“杆”为原杆的共轭杆。

另一方面，在变换（3）下，两端自由杆（h=0=H）的边条件变为：
即其共轭杆是两端固定的。

于是不难发现：
第一，鉴于式（4）系由式（1）经简单运算所得到，共轭系统的特征值λ*全是原系统的特征值，只不过失去了原系统的零特征值，因此同样按照递增次序排列时，存在关系：= λi+1（i=1， 2，…），这就意味着，作为式（4）的特征函数σi （x），它们所对应的原系统的位移振型应该是ui+1（x）（i=1，2，…）。

第二，作为共轭系统的“位移”振型σi（x），具有引言中所叙述的性质（b）和（c），即
（1）相应于的应力振型σi（x）（i=1，2，…）恰有i-1个变号数；
（2）对任意的1≤p≤q≤n和不全为零的实常数ci（i=p，p+1，…，q），函数在区间［0，l］内的节点不少于p-1个，而其零点不多于q-1个，或者，等价的写成
现在来证明：
定理1 设ui（x）是两端自由杆的连续系统的第i（i=1，2，…）阶位移振型，则对任意的1≤p≤q和不全为零的实常数ci（i=p，p+1，…，q），函数
在区间［0，l］内的节点不少于p-1个，而其零点不多于q-1个。

证明注意到式（3），上面的性质（2）等价于：对两端自由杆的某些阶应变振型u′i（x）（i= p+1，p+2，…，q+1；1≤p≤q），它们组合而成的函数
在区间［0，l］上的节点不少于p-1个而零点不多于q+1个，这里，u′（x）在区间［0，l］的两个端点上的零点已经被计数。

采用反证法证明定理的结论。

先证第二个结论，即设与式（7）相应的的u（x）零点个数多于q个。

应用引理1，并注意到u′（0）=0=u′（l），式（7）中的u′（x）的零点个数多于q+1个，从而矛盾，所以，与式（7）相应的u（x）的零点个数不多于q个。

再证第一个结论。

如果与式（7）相应的u（x）的节点个数少于p个，考查改写后的两端自由杆的模态方程
说明u（x）与σ′（x）有完全相同的节点。

从σ（x）的节点不少于p-1个出发并注意到σ′（0）和σ′（l）均不为零，应用引理1于σ（x）和σ′（x），则σ′（x）的节点不少于p个。

由此，与式（7）相应的u（x）的节点个数不少于p个。

综合起来就有
注意到与式（7）相应的u（x）具有表达式
从而定理1得证。

以上证明过程同时表明，引言中的性质（c）对两端自由杆的应变振型u′（x）也成立。

有四种存在刚体运动形态的梁，其支承方式分别为滑支 -自由，铰支 -自由，两端自由和滑支 -滑支，原则上可仿照上一节的做法证明以上4种系统的位移振型具有引言中所述的性质（c）。

长为 l，质量线密度为ρ（x），抗弯刚度为EJ（x）的Euler梁的固有频率f和位移振型u（x）满足方程：
式中，λ =（2πf）2是特征值。

引入变换
将模态方程（9）改写为
此方程仍可视为定义在区间［0，l］上具有参数
的某种“梁”的模态方程，称此“梁”为原梁的共轭梁，而称τ（x）为共轭梁的“位移”振型。

下面，分两种情况讨论：
3.1 滑支-自由，铰支 -自由和两端自由梁
对于以上三种梁，文［4］证明了它们的共轭结构分别是滑支 -固定，铰支 -固定和两端固定梁，共轭结构的“位移”振型是原结构的弯矩振型。

由于以上三种梁的共轭系统的Green函数属于振荡核，因而它们的“位移”振型τi（x）的线性组合具有引言中的性质（c），即对任意1≤p≤q和不全为零的实常数ci（i=p，
p+1，…，q），函数
在区间［0，l］内的节点不少于p-1个，而其零点不多于q-1个，或者，等价的写成
定理2 设ui（x）是铰支-自由，滑支-自由和两端自由梁的第i（i=2，3，…）阶位移振型，则对任意的2≤p≤q和不全为零的实常数ci（i=p，p+1，…，q），函数
在区间［0，l］内的节点不少于p-1个，而其零点不多于q-1个。

证明由式（10），式（12）等价于下式：
对于铰支-自由梁，注意到作为共轭系统的振型，τi（x）所对应的原系统的位移振型是ui+1（x），因此，与式（11）中的τ（x）相应的函数u（x）是
从式（13）右端出发，两次应用引理2，注意到u（0）=0，则将分别得到
又由改写的铰支-自由梁的模态方程
函数u（x）与τ″（x）有相同的变号数。

从式（12）的左端出发，分别两次应用
引理1于τ（x）与τ′（x）以及τ′（x）与τ″（x），注意到τ（0）=0= τ（l）和τ′（0）≠0，τ′（l）=0，于是分别得到
综合起来就有
注意到式（14），式（15）就是所要证明的。

对于两端自由梁，它的共轭系统的“位移振型”τi（x）（i=1，2，…），与之相
应的共轭系统的固有频率对应于原系统的固有频率fi+2。

因此，对两端自由梁，
与式（11）中的τ（x）相应的函数u（x）是
可以完全类似地证明定理2对两端自由梁的位移振型成立，只是在应用引理2时，不再有u（0）=0，所以分别得到
又在两次应用引理1时，注意到τ（0）=0=τ（l）和τ′（0）=τ′（l）=0，从而
分别得到
综合起来就有
式（16）和（17）一起就是所要证明的结果。

对于自由 -滑支梁，可以完全类似地证明，具体从略。

3.2 滑支 -滑支梁
对滑支 -滑支梁，可将它的模态方程改为：
［ρ-1（x）（EJ（x）v′（x））″］′=λv（x）（18）这里v（x）=u′（x）。

称由
式（18）所代表的系统为滑支 -滑支梁的转换系统。

这个转换系统的“位移”振型vi（x）（i=1，2，…）是具有振荡核的积分方程的特征函数，因而它们的的线性
组合具有引言中的性质（c），即对任意一组不全为零的实数ci（i=p，p+1，…，q），函数
的节点不少于p-1个而零点不多于q-1个，或者写成：
因为函数v（x）=u′（x），此式等价于下式：
于是，完全类似地有以下定理。

定理3 设ui（x）是滑支-滑支梁的第i（i= 1，2，…）阶位移振型，则对任意的
2≤p≤q和不全为零的实常数ci（i=p，p+1，…，q），函数
在区间［0，l］内的节点不少于p-1个，而其零点不多于q-1个。

证明从式（20）的右端出发，应用引理2于u（x）和u′（x），则将得到
S+u≤q，其中与式（19）中的v（x）相应的函数u（x）是
滑支-滑支梁的模态方程又可以改写为
这里φ（x）=［EJ（x）u″（x）］′。

这是滑支-滑支梁的另一种形式的转换系统。

由于这一新的转换系统与式（18）所代表的转换系统具有同一类型的模态方程和
同一类型的边界条件，因而对新的转换系统的“位移振型”φi（x）（i=1，2，…）同样可以写出下面的不等式：
再由改写的滑支-滑支梁的模态方程
函数u（x）与φ′（x）有相同的变号数。

从式（23）左端出发，注意到φ（0）
=0=φ（l），则由引理1
综合起来就是
这里函数u（x）的表达式仍然是式（21），因此，式（24）就是我们所要证明的。

鉴于文献［1］在证明具有振荡核的积分方程的特征函数具有引言中所述的性质（d），即振型节点的相间性时，仅仅利用了在它之前的性质（b）和（c），以上
已经证明两端自由杆和4种具有刚体运动形态的梁的位移振型和应变振型（对两
端滑支梁是转角振型和剪力振型）均具有引言中的性质（b）和（c），因此，可
以得出结论：
定理4 两端自由杆的位移振型 ui（x）和ui+1（x）（i=2，3，…）的节点相互交错，两端自由杆的应变振型u′i（x）和u′i+1（x）（i=2，3，…）的节点相互交错。

定理5 4种具有刚体运动形态的梁的位移振型ui（x）和ui+1（x）（i=2，3，…）的节点相互交错。

定理6 铰支-自由和滑支-自由梁的弯矩振型τi（x）和τi+1（x）（i=2，3，…）
的节点相互交错，两端自由梁的弯矩振型τi（x）和τi+1（x）（i= 2，3，…）的节点相互交错，两端滑支梁的转角振型u′i（x）和u′i+1（x）（i=2，3，…）的
节点相互交错，两端滑支梁的剪力振型φi（x）和φi+1（x）（i= 2，3，…）的
节点相互交错。

还可以叙述和证明铰支 -自由、两端自由和滑支-自由梁的转角振型和剪力振型以
及两端滑支梁的弯矩振型的节点相互交错，限于篇幅，具体从略。

以上证明了具有振荡核的积分方程的特征函数的振荡性质（c）对存在刚体运动形
态的杆和梁的连续系统位移振型也成立，由此进一步证明了这些结构的位移振型等的节点的相间性。

这一结果对于相关理论的完整性是必须的，同时有着重要的工程意义和应用价值。

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