实验二 信号的自相关函数与功率谱

实验二 信号的自相关函数与功率谱估计 一、自相关函数与功率谱密度简介 自相关函数是信号与延迟后信号之间相似性的一种度量，功率谱是功率谱密度函数的简称，它定义为单位频带内的信号功率。

它表示了信号功率随着频率的变化情况，即信号功率在频域的分布状况。

功率谱表示了信号功率随着频率的变化关系，常用于功率信号的表述与分析，其曲线（即功率谱曲线）一般横坐标为频率，纵坐标为功率。

由于功率没有负值，所以功率谱曲线上的纵坐标也没有负数值，功率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率（能量）。

MATLAB 中信号自相关函数的求解可以通过调用xcorr 函数来实现。

功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。

经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。

直接法先取N 点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N 点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计。

在MA TLAB 中，周期图法可以用函数periodogram 实现，但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。

因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n 个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n 段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。

还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。

这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。

加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。

相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。

welch 法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT 等技术来计算功率谱。

与周期图法比较，welch 法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。

MA TLAB 中，welch 法用函数psd 实现。

现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。

可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。

参数模型谱估计有AR 模型，MA 模型，ARMA 模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC 法等。

二、自相关函数与功率谱估计实例
设信号为12()sin(2)2cos(2)()
1,2,x n f n f n n n N ππω=++=
其中，120.05,0.12f f ==。

()n ω为正态白噪声。

试在N=256和N=1024时分别产生序列x(n)，画出x(n)的波形并估计它的自相关函数和功率谱密度。

求解思路：给定信号由正余弦序列和正态白噪声组成，正态白噪声可以通过rand 函数生成，求解自相关函数通过xcorr 函数可以实现，而求解功率谱可以采用经典谱估计方法中的间接法，利用之前求解的自相关函数来实现。

求解256点信号序列的波形、自相关函数和功率谱密度的程序如下所示：
程序运行结果如下，其中1024点的结果只需将N1替换为N2即可。

图1 256点序列结果
图2 1024点序列结果。