2 电场强度

◆
r
2) 方向：正电荷受力方向 ) 方向：
n n i =1 i =1
点电荷系的电场： E = ∑ Ei = ∑ 点电荷系的电场：
电荷连续分布 连续分布的 ◆ 电荷连续分布的电场**
基本思路： 基本思路：取 dq — 点电荷， 点电荷， dq 1 dq dE = r 3 4πε 0 r 1 dq
qi r 3 i 4πε 0 ri dE r . ？ P E=？ 1
xdy qx y E = ∫ dEx = ∫ = 2 2 3/ 2 −L/ 2 4 πε0L ( y + x ) 4πε0L x2 y2 + x2
+L/ 2
L
q
λ = −L/ 2 4πε0 x (L / 2)2 + x2
L/ 2
y +x L
λ L E= 4πε 0 x ( L / 2) 2 + x 2
整个右棒受到的电场力为积分
F = ∫ dF = ∫ dq′E ( x′) = ∫
2l 2l 3l 3l 3l 2l
λ 1 1 − λdx′ 4πε 0 x′ − l x′
λ2 (ln( x′ − l ) − ln x′) = 4πε 0
3l 2l
4 λ2 λ2 [ln(2l ) − ln l − ln(3l ) + ln(2l )] = ln = 4πε 0 4πε 0 3 END
σ σ σ x x E1 = E无限大 − E圆盘 = − (1 − )= 2ε 0 2ε 0 2ε 0 R 2 + x 2 R2 + x2
x x σ σ E2 = E大盘 − E小盘 = (1 − )− (1 − ) 2 2 2 2 2ε 0 2ε 0 R大 + x R小 + x = 1 1 σx ( − ） 2 2 2 2 2ε 0 R小 + x R大 + x
Ez cos γ = E
电荷密度 体电荷密度
dq ρ= dV
dV
ds
电荷元
面电荷密度
dq σ = ds
线电荷密度
dq λ= dl
dl
ρdV dq = σds λdl
均匀带电直线中垂面上的场强分布。 中垂面上的场强分布 例2 求均匀带电直线中垂面上的场强分布。设直线长 为L，带电量为 q ， q 建坐标系， 任取电荷元 解：建坐标系， 任取电荷元 dq = dy 画dq 场强 dE 方向 Y q dy 1 dq = dq 大小 dE = 2 2 2 4πε0 L y + x 4πε0 r r y x α dEx = dE cos 2π − α） dE （ = P E . 2 2 x y +x O X y dE （ = dE y = dE sin 2π − α） −dE x y 2 + x2 cos α = +L / 2 q y2 + x2 ydy Ey = ∫ dEy = −∫ dEsinα = −∫ =0 y 2 2 3/ 2 −L/ 2 4 sin α = πε0L ( y + x ) 2 2
dq
dE x P X
1 xdq dE = 2 2 3/ 2 4 π ε 0 (r + x ) 场强叠加原理，整个圆盘在 点的 点的场强 由场强叠加原理，整个圆盘在P点的场强 1 R σ x2π rdr σ x E = ∫ dE = ∫0 (r2 + x2 )3/ 2 E = 2ε 0 (1 − R2 + x2 ) 4πε 0
求均匀带电圆盘轴线上的场强分布。 圆盘轴线上的场强分布 例5 求均匀带电圆盘轴线上的场强分布。设圆 盘半径为R，电荷面密度为σ 盘半径为 ，电荷面密度为 解：在圆盘上取一个内半径 在圆盘上取一个内 为r、外半径为 + dr的圆环， r 、 半径为r 的圆环， O 带电量 dq =σ2πr dr 该圆环在P点的场强 该圆环在P
E = ∫ dE = ∫
Q
Q
r Q 矢量积分！ 矢量积分！ 4πε 0 r
3
◆
连续带电体场强计算 连续带电体场强计算 带电体场强
z dq x
1、选坐标系 O x y z 、 2、任取电荷元 ； 、 电荷元dq； 3、确定场强dE的大小和方向； 、确定场强 的大小和方向； 4、★矢量积分化作分量积分：dE 投影 、 矢量积分化作分量积分： 化作分量积分
dx λ l
P
解：建坐标系
o x
dq = λdx
r
dE
x
在x 处取电荷元 dq r =l+a–x 大小
dE = dq 4π ε 0 r
l
场强方向如图 场强方向如图
2
=
4π ε 0 (l + a − x )2
λdx
点的场强方向一致 场强方向一致， ∵ 各电荷元在 P 点的场强方向一致，直接积分
E =
∫ d E = ∫ 4π ε (l + a − x ) = ⋯ 自解
q ＞＞L ⑴ 当 x＞＞ ， E = ＞＞ 2 4πε 0 x
1
q
L
x λ x
点电荷的场强分布 点电荷的场强分布 ⑵ 当 L→∞， ，
λ E= 2πε 0 x
无限长均匀带电直线的 无限长均匀带电直线的场强 均匀带电直线
长为l 均匀带电直线， 例3 长为 的 均匀带电直线，电荷线密度为λ 点的电场强度 求：P 点的电场强度 a
第 2 节
电 场
电场强度
一 电场强度 单位正电荷所受的电场力 单位正电荷 正电荷所受的电场力
受电场力F 试探电荷q0
F E = q0
E = E(r ) 是矢量场； 矢量场；
点电荷系的电场： 点电荷系的电场： （q1、q2、… qn）
F Fi = =∑ E= q 0 i =1 q 0
n
∑E
i =1
n
i
采用场强的迭加原理来解决。 采用场强的迭加原理来解决。 场强 来解决
三 电场力
1. 点电荷受力： = qE 忽略点电荷对电场的影响） 点电荷受力： F （忽略点电荷对电场的影响） 2. 连续带电体受力（力的叠加原理） . 力的叠加原理） dq 3. 电偶极子在均匀电场中受的力和力矩 电偶极子在均匀电场中受的力和 在均匀电场中受的力和力矩
— 场强叠加原理
各个点电荷产生场强的矢量和 点电荷产生场强的 总场强 ＝ 各个点电荷产生场强的矢量和
二 E 的计算
◆
E =? r
点电荷的电场： 点电荷的电场： +q F 1 q E= = r 点电荷 3 q0 4πε 0 r
qq0 受力 F = r 3 4πε 0 r
试验电荷q 试验电荷 0
1
1) 球对称 )
σ R→∞， E = 2ε ，
无限大均匀带电平面的场强 无限大均匀带电平面的场强
0
• 无限大均匀带电平板的中 无限大均匀带电平板的中 挖去一个圆盘后 一个圆盘后， 间挖去一个圆盘后，在其 轴线上任一点的场强； 轴线上任一点的场强；
• 均匀带电薄圆环的轴 均匀带电薄圆环 薄圆环的轴
线上任一点的场强。 线上任一点的场强。
2 0 0
λdx
均匀带电圆环轴线上的场强分布。 轴线上的场强分布 例4 求均匀带电圆环轴线上的场强分布。设圆 环半径为R，带电量为q 环半径为 ，带电量为 dq
解：建坐标系，如图 建坐标系， q 电荷线密度 λ = 2πR 取电荷元 dq =λdl
R O
r E x P X dE 1 λdl α
1 dq dq 在 P 点产生的场强 dE = 点产生的场强 = 2 4πε0 r 4πε0 R2 + x2 1 x λdl x 方向的分量 dEx = dE cosα = 4πε0 R2 + x2 R2 + x2 由对称性得 E ⊥ = ∫ dE ⊥ = 0 2πR λx 1 L 1 qx E = Ex = ∫ d Ex = dl = 2 2 3/ 2 ∫ 0 4πε 0 ( R + x ) 4πε 0 ( R 2 + x 2 )3 / 2 ⑴ x = 0，环心处 E0 = 0 ， 1 q E 远离环心处的场强， ⑵ x >>R ，远离环心处的场强， = 4πε 0 x 2
V ,S ,L V ,S ,L
F=∫
dF = ∫
dF
dqE
力 f+ = qE ， f-= - qE F合 = 0 力矩 M = 2f +(l/2) sinθ = 2qE(l/2) sinθ = PE sinθ M=P×E
pc θ
f−
E f+
力矩总是使电矩转向场强方向 力矩总是使电矩转向场强方向 电矩转向场强
先取水平坐标系OX，在左边棒x处取电荷元 ，该电 ，在左边棒 处取电荷元 处取电荷元dq， 先取水平坐标系 dq 荷元在 x′ 处产生的场强 dE = 1 2
4πε 0 ( x ′ − x)
处产生的场强， 积分可求出左边棒在 x′ 处产生的场强，即 E ( x′) = ∫0 dE
l
E ( x ′) = ∫ dE = ∫
长为l，线电荷密度为λ的两根相同的均匀带电细塑 例6 长为 ，线电荷密度为λ的两根相同的均匀带电细塑 料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为l， 料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为 ，求两棒间 相互作用力。 的静电相互作用力 的静电相互作用力。
先求一个棒产生的电场，然后求另一个棒在所求 解：先求一个棒产生的电场，然后求另一个棒在所求 电场中的受到电场力。 电场中的受到电场力。
0
l
l
0 l 0
l 1 dq λdx =∫ 2 0 4πε ( x ′ − x ) 2 4πε 0 ( x ′ − x) 0
1
λ = 4πε 0
1 x′ − x
λ = 4πε 0
1 1到的电场力为 dF = dq ′E (x ′) 受到的电场力为
dEx = dE cosα， dEy = dE cosβ ， dEz = dE cosγ ，
dE P y
5、积分 Ex = ∫ dEx ， Ey = ∫ dEy ， Ez = ∫ dEz 、
2 场强 E 大小 E = E x2 + E y + E z2
方向
Ex cos α = E
cos β =
Ey E