2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题05 正比例函数与反比例函数(考点讲解)(教师版)

专题05 正比例函数与反比例函数
【考点剖析】 1.函数
定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则
函数()y f x =的定义域：一切实数；
函数1
()
y f x =
的定义域：满足()0f x ≠的实数；
函数y ()0f x ≥的实数.
2.正比例函数与反比例函数
3.函数的表示法：解析法；列表法；图像法等. 【典例分析】 【考点1】函数的概念
例1 （松江2018期末2）函数y =
的定义域是
【答案】32
x ≤
; 【解析】由320x -≥可得32
x ≤
. 例2 （浦东四署2018期末21）已知y 与2x －3成正比例，且当x ＝4时，y ＝10，求y 与x 的函数解析式. 【答案】46y x =-
【解析】设函数解析式为(23)(0)y k x k =-≠，把x ＝4，y ＝10代入得10(83)k =-，解得k ＝2，所以函数解析式为46y x =-.
例3 （长宁2018期末3）已知函数()
f x =
，则(3)f ＝ .
1
【解析】1)
(3)1
2f ===.
【考点2】正、反比例函数的性质
例4 （松江2018期末9）已知反比例函数12k
y x
-=，当0x >时，y 的值随着 x 的增大而减小，则实数k 的取值范围 . 【答案】12
k <
. 【解析】因为y 的值随着 x 的增大而减小，所以1120,2
k k ->∴<
例5 （松江2018期末25）已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数1y k x =与反比例函数2
k y x
=的图像在第一象限 的交点，AB x ⊥轴，垂足为点B ，ABO ∆和面积为2. （1）求m 的值以及这两个函数的解析式；
（2）若点P 在x 轴上，且AOP ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标.
【答案】（1）4
y x
=
，4y x =；（2）P （2，0）
、(P 或 【解析】（1）因为24
2,4,;ABO S k y x
∆=∴=∴=又点A （1，m ）在反比例函数图像上，所以m=4,又点A
在正比例函数图像上，所以1k ＝4，所以4y x =. （2）若AOP ∆为等腰三角形，则①AO ＝OP ，得OP ＝2）B ＝2，所以P （2，0）； ②OA ＝OP ，OA
(P 或，综上所述，点P 的坐标为 P （2，0）
、(P 或
【真题训练】 一、选择题
1.（崇明2018期中5）函数3y x =与函数2
y x
=-
在同一坐标系中的大致图像是（ ）
(D )
(C )(B )(A )
【答案】B
【解析】函数3y x =的图像在第一、三象限，函数2
y x
=-
的图像在第二、四象限，故选B. 2.（普陀2018期末3）已知正比例函数2y x =-的图像上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、，如果12x x <，那么
12y y 与的大小关系是（ ）
A.12y y >；
B. 12y y <；
C. 12=y y ；
D. 不能确定
【答案】A
【解析】因为正比例函数2y x =-中y 随x 的增大而减小，如果12x x <，那么12y y >. 3.（崇明2018期中6）如果点123(2,),(1,),(1,)A y B y C y --在反比例例函数1
y x
=的图像上，那么下列结论正确的是（ ）
A.123y y y >>；
B. 321y y y >>；
C. 312y y y >>；
D. 132y y y >> 【答案】C
【解析】画反比例函数1
y x
=的图像，由图像可知(1)(2)(1)f f f >->-，即312y y y >> 4.（嘉定2017期中2）函数 1
3
y x =图像一定不经过点（ ）
A. (3,1)
B. (3,1)--
C. 1
(1,)3
-- D. (1,3)
【答案】D
【解析】把点的坐标代入函数解析式，如果左右两边相等的，点在函数图像上，否则不在图像上。

因此点（3，1），（－3，－1），1
(1,)
3
--在函数图像上，而（1，3）不满足函数解析式，因此函数图像不经过点（1，3）。

故选D.
5.（浦东四署2018期末5）已知点123(1,),(2,),(2,)A y B y C y -都在反比例函数(0)k
y k x
=>的图像上，则（ ）
A.123y y y >>；
B. 321y y y >>；
C. 231y y y >>；
D. 132y y y >> 【答案】A
【解析】画反比例函数1
y x
=
的图像，由图像可知(1)(2)(2)f f f >>-，即123y y y >>.故选A. 6.（松江2018期末16）下列函数中，当x>0时，函数值y 随x 的增大而减小的是（ ） A.2y x =
； B. 2x y =； C. 22x y +=； D.2y x
=-. 【答案】A.
【解析】A 、当x>0时，函数值y 随x 的增大而减小；B 、当x>0时，函数值y 随x 的增大而增大； C 、当x>0时，函数值y 随x 的增大而增大；D 、当x>0时，函数值y 随x 的增大而增大.故选A. 二、填空题
7.（浦东四署2018期末12）正比例函数(0)y kx k =≠经过点（2，1），那么y 随x 的增大而 .（填
“增大”或“减小”） 【答案】增大
【解析】由已知可得，正比例函数的图像经过第一、三象限，故y 随x 增大而增大.
8.（闸北2018期中15）函数y=的定义域是 ．
【答案】1
2
x >-
． 【解析】由题意得，2x +1＞0，解得12x >-．故答案为：12
x >-．
9.（普陀2018期末9）函数5
2
y x =-的定义域是 . 【答案】2x ≠
【解析】由20x -≠得2x ≠.
10.（松江2018期末6）已知函数1
()1f x x
=+，则f ＝ .
1-
【解析】1
f =
=. 11.（金山2018期中16）正比例函数2
5
y x =-的图像经过第 象限. 【答案】二、四； 【解析】因为205k =-
<,所以正比例函数2
5
y x =-的图像经过第二、四象限.
12.（闸北2018期中16）已知反比例函数y=
的图象如图所示，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】1m >.
【解析】∵由图可知反比例函数的图象在一、三象限，∴m ﹣1＞0，即m ＞1．故答案为：m ＞1． 13.（嘉定2017期中12）若正比例函数25
m m y mx +-=的图像经过第二、四象限，则m ＝ .
【答案】－3；
【解析】依题得2
51
m m m <⎧⎨
+-=⎩解之得0
23
m m m <⎧⎨
==-⎩或故m ＝－3.
14.（金山2018期末13）已知反比例函数x
m y 1
3-=的图像有一支在第二象限，那么常数m 的取值范围是 ． 【答案】13
m <
. 【解析】因为反比例函数31m y x -=
的图像有一支在第二象限，所以1
310,3
m m -<∴<. 15.（浦东四署2018期末18）如图，已知两个反比例函数1211
::3C y C y x x
==和在第一象限内的图像，设
点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点C ，交2C 于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积 为 .
【答案】
2
3
【解析】12
21263
AOC
PCOD S S S ⨯⨯四边形PAOD 四边形＝－＝－＝. 三、解答题
16.（崇明2018期中24）小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如下表：
（1）根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y （度）与镜片焦距 x （cm ）之间的函数关系式； （2）若小惠所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距. 【答案】（1）10000
(0)y x x
=
>；（2）20cm. 【解析】（1）由已知：50×200＝25×400＝12.5×800＝10×1000＝8×1250＝10000，所以得10000xy =，
故得10000
(0)y x x
=
>；
（1）当y=500时，x=20cm. 17.（闸北2018期中25）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P （2，3），点D 是正比例函数图象上的一点，过点D 作y 轴的垂线，垂足分别Q ，DQ 交反比例函数的图象于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，AB 交正比例函数的图于点E ． （1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式． （2）当点D 的纵坐标为9时，求：点E 的坐标．
【答案】E （
2
3
，1）．
【解析】解：（1）设正比例函数解析式为y=mx ，反比例函数解析式y=（m ≠0，k ≠0）， 把P （2，3）代入y=mx 得3=2m ，解得m=
32，∴正比例函数解析式为y=3
2
x ，
把P （2，3）代入y=得，3=，解得k=6，∴反比例函数解析式为y=；
（2）把y=9代入y=，得9=，解得x=
23，∴A （2
3
，9）， 把x=23代入y=32x ，得y=32×23=1，∴E （2
3
，1）．
18.（金山2018期中26）已知正比例函数图像经过点(.
（1）若点(,)A a B b -的图像上，求a 、b 的值. （2）过图像上一点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，15
4
OPQ S ∆=，求Q 的坐标.
【答案】（1）,2
a b =
=（2）(0,(0,Q 或.
【解析】（1）设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，把点(代入得(2k k =∴=-，
所以正比例函数解析式为2y x =-.把点(,)A a B b -代入2y x =-得，
2a b -=-=-a b =
=（2）设点P （x ，－2x ），因为PQ y ⊥轴，所以Q （0，－2x ） ，所以||,|2|PQ x OQ x ==，
1115
|||2|224
OPQ S PQ OQ x x ∆=
==，解得215,42x x =∴=±
，
点(P 或，点(0,(0,Q 或. 19.（嘉定2017期中27）已知正反比例函数的图像交于A 、B 两点，过第二象限的点A 作AH x ⊥轴，点A 的横坐标为－2，且3AOH S ∆=，点B （m ，n ）在第四象限. （1）求这两个函数解析式； （2）求这两个函数图像的交点坐标；
（3）若点D 在坐标轴上，联结AD 、BD ，写出当6ABD S ∆=时的D 点坐标.
【答案】（1）63
;2
y y x x =-
=-;（2）(2,3),(2,3)A B --；
（3）(2,0),(2,0),(0,3)(0,3)--或. 【解析】（1）设正反比例函数分别为：21k y k x y x ==、，由3AOH S ∆=得，1
32
OH AH =，OH ＝2，
所以AH ＝3，故A （－2，3），点A 代入函数解析式得123
,62
k k =-=-，正反比例函数分别为：
63
;2
y y x x =-=-. （2）A 与B 关于原点对称，A （－2，3）所以B （2，－3）.
（3）当D 在x 轴上时，设D （x ，0），则1
||66,22x x ⨯=∴=±，得D （2，0）或D （－2，0）；
当D 在y 轴上时，设D （0，y ），则1
||46,32
y y ⨯=∴=±，得D （0，3）或D （0，－3），综上，得D 点
坐标为(2,0),(2,0),(0,3)(0,3)--或
20.（普陀2018期末21）已知12y y y =-，1y 与x －１成正比例，2y 与x 成反比例. 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－2时，y ＝－8，求y 关于x 的函数解析式. 【答案】2
3(1)y x x
=--
. 【解析】由1y 与x －１成正比例，可设111(1)(0)y k x k =-≠；由2y 与x 成反比例，设2
22(0)k y k x
=≠ 因为12y y y =-，所以2
1(1)k y k x x
=--
，把x ＝2，y ＝2；x ＝－2时，y ＝－8分别代入，得
2121
22
382
k k k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解之得1232k k =⎧⎨
=⎩. 故，y 关于x 的函数解析式是23(1)y x x =--. 21.（松江2018期末23）已知12y y y =+，1y 与x －１成反比例，2y 与x 成正比例. 当x ＝2时，14y =，y ＝2，求y 关于x 的函数解析式. 【答案】4
1
y x x =
--. 【解析】由1y 与x －１成反比例，可设1
11(0)(1)
k y k x =
≠-；由2y 与x 成正比例，设222(0)y k x k =≠
因为12y y y =+，所以1
2(1)
k y k x x =
+-，把x ＝2时，14y =，y ＝2，分别代入，得 112422k k k =⎧⎨
+=⎩解之得12
41k k =⎧⎨=-⎩. 故，y 关于x 的函数解析式是4
1y x x =--.
22.（浦东四署2018期末23）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书. 她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y （米）与时间x （分钟）的关系如图，请结合图像，解答下列问题： （1）图书馆到小燕家的距离是 米；
（2）a ＝ ，b ＝ ，m ＝ ；
（3）妈妈行驶的路程y （米）关于时间x （分钟）的函数解析式是 ； 定义域是
.
【答案】（1）3000米；（2）10、15、200；（3）120(025)y x x =≤≤.
【解析】（1）观察图像可知，图书馆到小燕家的距离为3000米；（2）OA 段，小燕的速度为150米/分，所以
1500150a =，解得a ＝10（分钟），b ＝10+5＝15（分钟），30001500
20022.515
m -==-米/分钟；
（3）因为妈妈的速度始终是120米/分钟，且3000/120=25, 故120(025)y x x =≤≤.
23.（长宁2018期末24）如图，在平面直角坐标系xOy 内，点A 在直线y=3x 上（点A 在第一象限），OA
＝（1）求点A 的坐标；
（2）过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点B ，如果点E 和点A 都在反比例函数(0)k
y k x
=
≠图像上（点E 在第一象限），过点E 作EF y ⊥轴，垂足为点F ，如果AEF AOB S S ∆∆=，求点E 的坐标.
【答案】（1）A （2，6）；（2）E （4，3）.
【解析】（1）因为点A 在直线y ＝3x 上（点A 在第一象限），所以设A （x ，3x ），其中x>0. 因为OA ＝
所以222
9x x +=，解得x ＝2，故点A （2，6）； （2）因为点A 在反比例函数(0)k
y k x
=
≠图像上（点E 在第一象限），所以k ＝12，得反比例函数解析式12
y x
=，由题意得点B （2，0），6A
O B S ∆∴= 因为AEF AOB S S ∆∆=，设点12(,)E a a ，可得12(0,)F a ；①点E 在A 的上方，由112
(6)62AEF S a a
∆=-=得a
＝0（舍去），点E 坐标不存在；②点E 在点A 下方，由112
(6)62AEF S a a
∆=-=，解得a ＝4，故
点E （4，3），综上所述：满足条件的点E （4，3）.。