2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则实用课件北师大版选修1_1
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cos x sin x
cos x′sin x－cos xsin x′ ′ ＝－ 2 . sin2x sin x
2．求下列函数的导数． x＋3 (1)y＝4cos x－3sin x；(2)y＝ 2 ；(3)y＝xnex. x ＋3
fx gx′＝
f′xgx－fxg′x g2x .
(2)[kf(x)]′＝ kf′(x) ．
1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≠f′(x)g′(x)，避免与 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆． 2．若 c 为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)．
1 (3)y′＝(2x ＋log3x)′＝(2x )′＋(log3x)′＝6x ＋ . xln 3
3 3 2
x x 1 (4)y＝x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2 1 1 ∴y′＝(x－ sin x)′＝1－ cos x. 2 2
[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选 择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导， 以减少运算量．
fx 3 ． 类 比 [f(x)g(x)]′ ＝ f′(x)g(x) ＋ f(x)g′(x) 记 忆 ′＝ g x
f′xgx－fxg′x . [gx]2
导数公式及运算法则
[例 1] 求下列函数的导数：
x－1 (1)f(x)＝xln x；(2)y＝ ； x＋1 x x (3)y＝2x ＋log3x；(4)y＝x－sin cos . 2 2
利用导数解决参数问题
[例 2] 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a，b，c 的值．
[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因 此，要通过解方程组来确定 a，b，c 的值．
2 x
导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的 和(差) ，即 [f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) ， [f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x) ．
导数的乘法与除法法则
已知函数 f(x)＝x3，g(x)＝x2，则 f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x. 问题 1：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？
提示：因为[f(x)· g(x)]′＝(x5)′＝5x4， f′(x)g′(x)＝3x2· 2x＝6x3，所以上式不成立．
问题 2：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题
fx f′x 3： ′＝g′x成立吗？ g x
解：(1)y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－ 4sin x－3cos x. x＋3 x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ (2)y′ ＝ ( 2 )′ ＝ ＝ x ＋3 x2＋32 x2＋3－2x2－6x －x2－6x＋3 ＝ . 2 2 2 2 x ＋3 x ＋3 (3)y′＝(xnex)′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝(nxn－1＋xn)ex.
3
[思路点拨] 观察函数的结构特征， 可先对函数式进行合理 变形，然后利用导数公式及运算法则求解．
1 [精解详析] (1)f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x· x＝ln x＋1. x－1 x＋1－x－1 2 (2)法一：y′＝( )′＝ ＝ . x＋1 x＋12 x＋12 x＋1－2 2 法二：y＝ ＝1－ ， x＋1 x＋ 1 2 2 ∴y′＝(1－ )′＝(－ )′ x＋1 x＋1 2′x＋1－2x＋1′ 2 ＝－ ＝ . x＋12 x＋12
1．用导数的运算法则推导： 1 (1)(tan x)′＝ 2 ； cos x 1 (2)(cot x)′＝－ 2 . sin x
解 ： (1)(tan
sin x sinx′cos x)′ ＝ cos x ′ ＝
x－sin xcos x′ ＝ cos2x
cos2x＋sin2x 1 ＝ 2 . cos2x cos x (2)(cot x)′ ＝
§ 4 导 数 的 四 则 运 算 法 则
理解教材 新知
知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三
第 三 章
把握热点 考向
应用创新 演练
§ 4
导数的四则运算法则
导数的加法与减法法则
1 1 已知函数 f(x)＝x，g(x)＝x，那么 f′(x)＝－ 2，g′(x)＝1. x 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
问题 2：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题 3：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题 4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tan x－ex)′吗？
1 提示：可以，(3x ＋tan x－e )′＝6x＋ 2 －ex. cos x
1 1 提示：用定义，由 h(x)＝ ＋x，得 h(x＋Δx)－h(x)＝ ＋x x x＋Δx 1 Δx ＋Δx－ －x＝Δx－ . x xx＋Δx
1 hx＋Δx－hx 1 则 f′(x)＝ lim ＝ lim 1－xx＋Δx＝1－ 2. Δ x x Δx→0 Δx→0
提示：不成立．
问题
fx f′xgx－fxg′x 4： 成立吗？ 2 ′＝ g x [gx]
提示：成立．
导数的乘法与除法法则 (1)若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cos x′sin x－cos xsin x′ ′ ＝－ 2 . sin2x sin x
2．求下列函数的导数． x＋3 (1)y＝4cos x－3sin x；(2)y＝ 2 ；(3)y＝xnex. x ＋3
fx gx′＝
f′xgx－fxg′x g2x .
(2)[kf(x)]′＝ kf′(x) ．
1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≠f′(x)g′(x)，避免与 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆． 2．若 c 为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)．
1 (3)y′＝(2x ＋log3x)′＝(2x )′＋(log3x)′＝6x ＋ . xln 3
3 3 2
x x 1 (4)y＝x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2 1 1 ∴y′＝(x－ sin x)′＝1－ cos x. 2 2
[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选 择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导， 以减少运算量．
fx 3 ． 类 比 [f(x)g(x)]′ ＝ f′(x)g(x) ＋ f(x)g′(x) 记 忆 ′＝ g x
f′xgx－fxg′x . [gx]2
导数公式及运算法则
[例 1] 求下列函数的导数：
x－1 (1)f(x)＝xln x；(2)y＝ ； x＋1 x x (3)y＝2x ＋log3x；(4)y＝x－sin cos . 2 2
利用导数解决参数问题
[例 2] 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a，b，c 的值．
[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因 此，要通过解方程组来确定 a，b，c 的值．
2 x
导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的 和(差) ，即 [f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) ， [f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x) ．
导数的乘法与除法法则
已知函数 f(x)＝x3，g(x)＝x2，则 f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x. 问题 1：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？
提示：因为[f(x)· g(x)]′＝(x5)′＝5x4， f′(x)g′(x)＝3x2· 2x＝6x3，所以上式不成立．
问题 2：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题
fx f′x 3： ′＝g′x成立吗？ g x
解：(1)y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－ 4sin x－3cos x. x＋3 x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ (2)y′ ＝ ( 2 )′ ＝ ＝ x ＋3 x2＋32 x2＋3－2x2－6x －x2－6x＋3 ＝ . 2 2 2 2 x ＋3 x ＋3 (3)y′＝(xnex)′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝(nxn－1＋xn)ex.
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[思路点拨] 观察函数的结构特征， 可先对函数式进行合理 变形，然后利用导数公式及运算法则求解．
1 [精解详析] (1)f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x· x＝ln x＋1. x－1 x＋1－x－1 2 (2)法一：y′＝( )′＝ ＝ . x＋1 x＋12 x＋12 x＋1－2 2 法二：y＝ ＝1－ ， x＋1 x＋ 1 2 2 ∴y′＝(1－ )′＝(－ )′ x＋1 x＋1 2′x＋1－2x＋1′ 2 ＝－ ＝ . x＋12 x＋12
1．用导数的运算法则推导： 1 (1)(tan x)′＝ 2 ； cos x 1 (2)(cot x)′＝－ 2 . sin x
解 ： (1)(tan
sin x sinx′cos x)′ ＝ cos x ′ ＝
x－sin xcos x′ ＝ cos2x
cos2x＋sin2x 1 ＝ 2 . cos2x cos x (2)(cot x)′ ＝
§ 4 导 数 的 四 则 运 算 法 则
理解教材 新知
知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三
第 三 章
把握热点 考向
应用创新 演练
§ 4
导数的四则运算法则
导数的加法与减法法则
1 1 已知函数 f(x)＝x，g(x)＝x，那么 f′(x)＝－ 2，g′(x)＝1. x 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
问题 2：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题 3：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题 4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tan x－ex)′吗？
1 提示：可以，(3x ＋tan x－e )′＝6x＋ 2 －ex. cos x
1 1 提示：用定义，由 h(x)＝ ＋x，得 h(x＋Δx)－h(x)＝ ＋x x x＋Δx 1 Δx ＋Δx－ －x＝Δx－ . x xx＋Δx
1 hx＋Δx－hx 1 则 f′(x)＝ lim ＝ lim 1－xx＋Δx＝1－ 2. Δ x x Δx→0 Δx→0
提示：不成立．
问题
fx f′xgx－fxg′x 4： 成立吗？ 2 ′＝ g x [gx]
提示：成立．
导数的乘法与除法法则 (1)若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)