高中数学(教案)立体图形的直观图

立体图形的直观图
教学重难点教学目标核心素养
平面图形的直观图
会用斜二测画法画水平放置的平
面图形的直观图
直观想象
简单几何体的直观
图
会用斜二测画法画常见的柱、
锥、台以及简单组合体的直观图
直观想象
直观图的还原与计
算
会根据斜二测画法规则进行相关
运算
直观想象、数学运
算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
二、新知探究
画水平放置的平面图形的直观图
例1：画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【解】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x
轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①
所示．
（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝
1
2OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
[归纳反思]
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．
（2）画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．
画简单几何体的直观图
例2：已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【解】（1）画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
（2）画下底面．以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF ＝6，在y 轴上取线段GH ，使得GH ＝3，再过G ，H 分别作AB 綊EF ，CD 綊EF ，且使得AB 的中点为G ，CD 的中点为H ，连接AD ，BC ，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．
（3）画上底面．在z 轴上截取线段OO 1＝4，过O 1作O 1x ′∥Ox ，O 1y ′∥Oy ，使∠x ′O 1y ′＝45°，建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中仿照（2）的步骤画出上底面A 1B 1C 1D 1的直观图．
（4）连接AA 1、BB 1、CC 1、DD 1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（如图②）．
[规律方法]
画空间图形的直观图的原则
（1）用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．
（2）平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段
长度变为原来的12.
直观图的还原与计算
例3：如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥
O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝2
3C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图
形的面积．
【解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝
O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过
点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得
到了原图形（如图）．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝2＋3
2×2＝5.
[规律方法]
（1）直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
（2）直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝
2
4S或S＝
22S S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
【课堂总结】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使45
x O y
∠'''︒
＝（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
（2）直观图中平面x O y
'''表示水平平面，平面y O z
'''和x O z
'''表示竖直平面．（3）已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
[名师点拨]
（1）画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．（2）用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°（或135°）．
【课堂检测】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
答案：B
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）
解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C.
3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（）
A．2S
B.2S
C．22S
D.3S
解析：选C.法一：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′（图略），
则C′D′＝
2
2h.由题意知
1
2C′D′（C′B′＋O′A′）＝S，即
2
4h（C′B′＋O′A′）＝S.
又原直角梯形面积为
S′＝1
2·2h（CB＋OA）＝h（C′B′＋O′A′）＝
4S
2
＝22S.
所以梯形OABC的面积为22S.故选C.
法二：由S
直观图＝
2
4S原图，
可得S
梯形OABC ＝
4S
2
＝22S，故选C.
4．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成（）
A．平行于z′轴且大小为10cm
B．平行于z′轴且大小为5cm
C．与z′轴成45°且大小为10cm
D．与z′轴成45°且大小为5cm
解析：选A.平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
5．画一个正四棱锥（底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形）的直观图（尺寸自定）．
解：步骤：
（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．
（4）画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线（坐标轴），得到正四棱锥S­ABCD的直观图，如图②所示．
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气
审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范
第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正
确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。