2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)
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a＝4， 解得 b＝3.
若本例已知条件不变，结论改为“求反射点Q的坐 标”． 解：由例题解析知，反射光线所在直线方程为y＝3.
y＝3， 由方程组 8x＋6y＝25，
7 x＝ ， 8 解得 y＝3.
7 ∴反射点Q的坐标为( ，3)． 8
[悟一法] 光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，
c＋m n m n 可得 D( ， )，E( ， )， 2 2 2 2 c＋m m c 所以|DE|＝| － |＝ ， 2 2 2 1 所以|DE|＝ |AB|， 2 即三角形中位线的长度等于底边长度的一半.
[研一题] 一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直
[例4]
线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线 所在直线的方程．
x－22＋y2，
∴P点坐标为(0,1)．
法二：设 P(x，y)，两点 A(1，－1)，B(2,0) 连线所得线段的中垂线方程为 x＋y－1＝0.① 又 3x－y＋1＝0，②
3x－y＋1＝0， 解由①、②组成的方程组 x＋y－1＝0， x＝0， 得 y＝1.
所以所求的点为 P(0,1)．
提示：仍然适用． ①当 A＝0 时，B≠0，直线 l 的方程为 By＋C＝0， C C |By0＋C| 即 y＝－B，d＝|y0＋B|＝ ，适合公式； |B| |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
②当 B＝0 时，A≠0，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0， C C |Ax0＋C| x＝－A，d＝|x0＋A|＝ ，适合公式； |A| ③当 P 点在直线 l 上时，有 Ax0＋By0＋C＝0， |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
a＝5， 得 b＝1，
∴M1 的坐标(5,1)，
同理可得M关于y轴对称点M2(－3,5)， 由两点式可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0， 设M1M2与l和y轴交点分别为P、Q，
则由平面几何知识可知， 此时 P， 即为满足条件的点， Q 7 7 方程 x＋2y－7＝0 中，令 x＝0，得 y＝ ，∴Q(0， )， 2 2
2
[研一题] [例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
[自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， |1－2－3| 由点到直线的距离公式得d1＝ 2 2＝2 2. 1 ＋－1
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 |2＋1| d2＝ 2 2＝3. 0 ＋1 法二：如图，∵y＝－1 平行于 x 轴， ∴d2＝|－1－2|＝3.
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)， 3x0＋y0－5＝0， 由题意得|x0－y0－1| ＝ 2， 2 解得 x0＝2，y0＝－1 或 x0＝1，y0＝2. 所以点 P 的坐标为(2，－1)或(1,2)．
[研一题]
[例 3] 已知△ABC 是直角三角形， 斜边 BC 的中点
1 为 M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝ |BC|. 2
[自主解答]以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M， 0＋b 0＋c b c 所以点M的坐标为( ， )，即( ， )． 2 2 2 2 由两点间距离公式得 |BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2， |AM|＝ b c 1 0－ 2＋0－ 2＝ 2 2 2 b2＋c2，
使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于
直线对称的问题，而解决这类问题的方法是设对称 点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．
[通一类] 4．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各
找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：设 M 关于 l 的对称点 M1(a，b)， b－5 1 × ＝－1， a－3 2 则由 b＋5 a＋3 2 －2× 2 ＋2＝0，
[小问题·大思维] 1．当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离 公式是否适用？
提示：适用．当 P1P2⊥x 轴时，x1＝x2， 故|P1P2|＝ y2－y1
2
＝|y2－y1|；
当 P1P2⊥y 轴时，y1＝y2， 故|P1P2|＝ x2－x1
2
＝|x2－x1|.
2．点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直 线l上的特殊情况是否还适用？
[例1]
[研一题] 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P
到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
[自主解答] 法一：设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
3x－y＋1＝0， x－12＋y＋12＝ x＝0， 解得 y＝1，
[错因]
本题出错的根本原因在于思维不严密，当
用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在 的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误． [正解] ①当直线过点A(线的距离等于1，所以满足 题意．
②当直线过点 A(1,2)且与 x 轴不垂直时， 由题意可设直 线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0， 又由原点到此直线距离等于 1， |－k＋2| 3 所以 2 ＝1，解得 k＝ ， 4 k ＋1 3 所以直线方程为 y－2＝ (x－1)， 4 即 3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
[读教材·填要点]
1．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公 式|AB|＝
x2－x1
2
＋
y2－y1
2
.
2．点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d，
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 则d＝
.
3．两条平行线间的距离 两平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝ |C1－C2| 0(A、B 不同时为 0，C1≠C2)间的距离为 2 2. A ＋B
(3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式得 |1＋0＋0| d3 ＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0
法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
[悟一法]
求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先
将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形 结合的思想方法求解．
[通一类]
2．P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，求 P 点的坐标．
x＋2y－7＝0， 由方程组 x－2y＋2＝0，
x＝5， 2 得 9 y＝4.
5 9 ∴P( ， )， 2 4 5 9 7 ∴当 P( ， )，Q(0， )时，△MPQ 周长最小. 2 4 2
求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程．
[错解] ∵所求直线过点 A(1,2)， ∴可设直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0. ∵原点到此直线的距离为 1， |－k＋2| 3 ∴ 2 ＝1，解得 k＝ ， 4 k ＋1 3 ∴所求直线方程为 y－2＝ (x－1)， 4 即 3x－4y＋5＝0.
3．建系原则 (1)使尽可能多的点在坐标轴上； (2)充分利用图形的对称性．
[通一类] 3．证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半． 证明：如图所示，△ABC中，D，E分别为边AC
和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m， n)，则|AB|＝c.
1 所以|AM|＝ |BC|. 2
[悟一法] 1．坐标法又称为解析法，它就是通过建立直角坐标系，
用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面
图形的几何性质的方法． 2．坐标法解决几何问题的步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[自主解答]
设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，
b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b 4 a·－3＝－1， a b 8× ＋6× ＝25， 2 2 ∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为 y＝3.
[悟一法]
使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的
先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
[通一类]
1．已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，
(1)试判断△ABC的形状； (2)求AB边上的中线CM的长．
解：(1)|AB|＝ （1－5）2＋（4－5）2＝ 17， |AC|＝ （4－5）2＋（1－5）2＝ 17， |BC|＝ （4－1）2＋（1－4）2＝ 18， ∵|AB|＝|AC|≠|BC|，∴△ABC为等腰三角形． 9 (2)M(3， )，|CM|＝ 2 9 2 53 （4－3） ＋（1－ ） ＝ . 2 2
若本例已知条件不变，结论改为“求反射点Q的坐 标”． 解：由例题解析知，反射光线所在直线方程为y＝3.
y＝3， 由方程组 8x＋6y＝25，
7 x＝ ， 8 解得 y＝3.
7 ∴反射点Q的坐标为( ，3)． 8
[悟一法] 光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，
c＋m n m n 可得 D( ， )，E( ， )， 2 2 2 2 c＋m m c 所以|DE|＝| － |＝ ， 2 2 2 1 所以|DE|＝ |AB|， 2 即三角形中位线的长度等于底边长度的一半.
[研一题] 一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直
[例4]
线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线 所在直线的方程．
x－22＋y2，
∴P点坐标为(0,1)．
法二：设 P(x，y)，两点 A(1，－1)，B(2,0) 连线所得线段的中垂线方程为 x＋y－1＝0.① 又 3x－y＋1＝0，②
3x－y＋1＝0， 解由①、②组成的方程组 x＋y－1＝0， x＝0， 得 y＝1.
所以所求的点为 P(0,1)．
提示：仍然适用． ①当 A＝0 时，B≠0，直线 l 的方程为 By＋C＝0， C C |By0＋C| 即 y＝－B，d＝|y0＋B|＝ ，适合公式； |B| |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
②当 B＝0 时，A≠0，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0， C C |Ax0＋C| x＝－A，d＝|x0＋A|＝ ，适合公式； |A| ③当 P 点在直线 l 上时，有 Ax0＋By0＋C＝0， |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
a＝5， 得 b＝1，
∴M1 的坐标(5,1)，
同理可得M关于y轴对称点M2(－3,5)， 由两点式可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0， 设M1M2与l和y轴交点分别为P、Q，
则由平面几何知识可知， 此时 P， 即为满足条件的点， Q 7 7 方程 x＋2y－7＝0 中，令 x＝0，得 y＝ ，∴Q(0， )， 2 2
2
[研一题] [例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
[自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， |1－2－3| 由点到直线的距离公式得d1＝ 2 2＝2 2. 1 ＋－1
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 |2＋1| d2＝ 2 2＝3. 0 ＋1 法二：如图，∵y＝－1 平行于 x 轴， ∴d2＝|－1－2|＝3.
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)， 3x0＋y0－5＝0， 由题意得|x0－y0－1| ＝ 2， 2 解得 x0＝2，y0＝－1 或 x0＝1，y0＝2. 所以点 P 的坐标为(2，－1)或(1,2)．
[研一题]
[例 3] 已知△ABC 是直角三角形， 斜边 BC 的中点
1 为 M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝ |BC|. 2
[自主解答]以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M， 0＋b 0＋c b c 所以点M的坐标为( ， )，即( ， )． 2 2 2 2 由两点间距离公式得 |BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2， |AM|＝ b c 1 0－ 2＋0－ 2＝ 2 2 2 b2＋c2，
使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于
直线对称的问题，而解决这类问题的方法是设对称 点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．
[通一类] 4．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各
找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：设 M 关于 l 的对称点 M1(a，b)， b－5 1 × ＝－1， a－3 2 则由 b＋5 a＋3 2 －2× 2 ＋2＝0，
[小问题·大思维] 1．当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离 公式是否适用？
提示：适用．当 P1P2⊥x 轴时，x1＝x2， 故|P1P2|＝ y2－y1
2
＝|y2－y1|；
当 P1P2⊥y 轴时，y1＝y2， 故|P1P2|＝ x2－x1
2
＝|x2－x1|.
2．点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直 线l上的特殊情况是否还适用？
[例1]
[研一题] 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P
到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
[自主解答] 法一：设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
3x－y＋1＝0， x－12＋y＋12＝ x＝0， 解得 y＝1，
[错因]
本题出错的根本原因在于思维不严密，当
用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在 的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误． [正解] ①当直线过点A(线的距离等于1，所以满足 题意．
②当直线过点 A(1,2)且与 x 轴不垂直时， 由题意可设直 线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0， 又由原点到此直线距离等于 1， |－k＋2| 3 所以 2 ＝1，解得 k＝ ， 4 k ＋1 3 所以直线方程为 y－2＝ (x－1)， 4 即 3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
[读教材·填要点]
1．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公 式|AB|＝
x2－x1
2
＋
y2－y1
2
.
2．点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d，
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 则d＝
.
3．两条平行线间的距离 两平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝ |C1－C2| 0(A、B 不同时为 0，C1≠C2)间的距离为 2 2. A ＋B
(3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式得 |1＋0＋0| d3 ＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0
法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
[悟一法]
求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先
将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形 结合的思想方法求解．
[通一类]
2．P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，求 P 点的坐标．
x＋2y－7＝0， 由方程组 x－2y＋2＝0，
x＝5， 2 得 9 y＝4.
5 9 ∴P( ， )， 2 4 5 9 7 ∴当 P( ， )，Q(0， )时，△MPQ 周长最小. 2 4 2
求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程．
[错解] ∵所求直线过点 A(1,2)， ∴可设直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0. ∵原点到此直线的距离为 1， |－k＋2| 3 ∴ 2 ＝1，解得 k＝ ， 4 k ＋1 3 ∴所求直线方程为 y－2＝ (x－1)， 4 即 3x－4y＋5＝0.
3．建系原则 (1)使尽可能多的点在坐标轴上； (2)充分利用图形的对称性．
[通一类] 3．证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半． 证明：如图所示，△ABC中，D，E分别为边AC
和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m， n)，则|AB|＝c.
1 所以|AM|＝ |BC|. 2
[悟一法] 1．坐标法又称为解析法，它就是通过建立直角坐标系，
用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面
图形的几何性质的方法． 2．坐标法解决几何问题的步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[自主解答]
设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，
b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b 4 a·－3＝－1， a b 8× ＋6× ＝25， 2 2 ∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为 y＝3.
[悟一法]
使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的
先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
[通一类]
1．已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，
(1)试判断△ABC的形状； (2)求AB边上的中线CM的长．
解：(1)|AB|＝ （1－5）2＋（4－5）2＝ 17， |AC|＝ （4－5）2＋（1－5）2＝ 17， |BC|＝ （4－1）2＋（1－4）2＝ 18， ∵|AB|＝|AC|≠|BC|，∴△ABC为等腰三角形． 9 (2)M(3， )，|CM|＝ 2 9 2 53 （4－3） ＋（1－ ） ＝ . 2 2