人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 本章 总结提升 (2)

)为同一个常数.

(2)中项公式法:
①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列.
②若 2 =an-1·an+1(n∈N*,n≥2且an≠0),则{an}为等比数列.
(3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)⇔{an}是等差数列;an=c·qn(c,q为非零
常数)⇔{an}是等比数列.
,并说明 f
1
2
<2.
(+1)
f(1)=a1+a2+…+an=Sn= 2 ,
则 n≥2 时,有
(+1)
(-1)
an=Sn-Sn-1= 2 − 2 =n,
当n=1时,a1=S1=1满足an=n,
所以an=n(n∈N*).
n
2
(2)由(1)知 f(x)=x+2x +…+nx ,所以 f
1
1
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数
列;Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比
数列.
变式训练 2 已知数列{an}满足
(1)求证:数列
1

1
a1= ,且当
5
n>1,n∈N*时,有 an-1-an=4an-1an.
(1)错位相减法:适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积
组成的数列.把Sn=a1+a2+…+an两边同乘相应等比数列的公比q,得到
qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减即可求出Sn.
(2)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过
累加抵消中间若干项的方法.
(3)拆项分组法:把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或

2
2
=
所以 f
=
1
1
1
1
+2×22 +3×23 +…+n×2 ,①
2
1
1
1
1
1
+2×
+3×
+…+(n-1)
+n×
,②
2
3
4


+1
2
2
2
2
2
1
由①-②得2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
= +
1
1
1
1
+…+2 -n×2 +1 =1-2
22

=2- -1 − 2 <2.
2

− 2 +1 ,
规律方法 数列求和的常用类型
为等差数列.
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理
由.
(1)证明当 n≥2 时,由 an-1-an=4an-1an,两边同除以
列
1

1
是首项 =5,公差
1
d=4 的等差数列.
1
an-1an,得

−
1
-1
=4.所以数
(2)解
1
由(1)得

=
1
5
q= .又
3
专题二
等差、等比数列的判定
1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容,经常在解答题中出现,对给定
条件进行变形是解题的关键所在,经常利用此类方法构造等差或等比数列.
2.通过等差、等比数列的判定与证明,培养逻辑推理、数学运算等核心素
养.
【例 2】 已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设
多个)简单的数列,最后分别求和.
(4)并项求和法:与拆项分组相反,并项求和是把数列的两项(或多项)组合在
一起,重新构成一个数列再求和,一般适用于正负相间排列的数列求和,注
意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论.
变式训练 3 正项数列{an}满足:2 -(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式 an;
+(n-1)d=4n+1,所以
1
1
a1a2 是数列{an}中的第 t 项,则 at=4+1
中的第 11 项.
=
1
an=4+1,所以
1
a1a2=5
1
9
× =
1
,假设
45
1
*
,解得
t=11∈N
,所以
a
1a2 是数列{an}
45
专题三
数列求和
1.数列求和一直是高考考查的热点,并且多以与不等式的证明或求解相结
又 m∈N*,∴m=3.
m=3 或 m=0,
规律方法
等差数列或等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn,共涉及五
个量——a1,d,an,Sn,n或a1,q,an,Sn,n,其中a1,d,n或a1,q,n为基本量,“知三求二”
是指将已知条件转换成关于a1,d或q,an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出
1
bn=2(+1)
1

1

− + −
=
1 1
(
2
1
− +1),
1
1
1

)= (1- )=
.
+1 2
+1 2(+1)

bn= .

(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求数列{an}的通项公式.
解 (1)由条件可得an+1=
2( + 1)
an.将n=1代入得,a2=4a1,又a1=1,所以a2=4.

将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.所以b1=1,b2=2,b3=4.
(2)令
1
bn=(+1) ,求数列{bn}的前

n 项和 Tn.
解 (1)由 2 -(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以
an=2n,n∈N*.
(2)由
1
an=2n,bn=(+1) ,得

1
1
Tn= (12
2
1
2
+ −
1
1
+…+
3
-1
∴当n≥2时,2Sn-1=3an-3.②
①-②得,2an=3an+1-3an,即
2S1=3a2-3,即
+1 5
3an+1=5an,∴
= =q,∴等比数列{an}的公比
3
5
5 n-1 5 n-1
2a1=3×a1× -3,解得 a1=1.故 an=1×( ) =( ) .
3
3
3
3
3 5 n
(2)∵2Sn=3an+1-3,∴Sn=2(an+1-1)=2[(3) -1].
【例1】 设等比数列{an}的公比为q(q≠1),前n项和为Sn.
(1)若
9
a1=1,S6=8S3,求
(2)若
5
q>1,am+am+2= am+1,且
2
a3 的值;
S2m=9Sm,m∈N*,求 m 的值.
解 (1)等比数列{an}的公比为 q(q≠1),前 n 项和为 Sn.
9
9
3
3
∵a1=1,S6= S3,∴S6=S3+q S3=S3(1+q )= S3,解得
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
知识网络·整合构建
重难探究·能力素养全提升
专题突破·素养提升
专题一
等差与等比数列的基本运算
1.数列的基本运算以小题居多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利
用数列的通项公式及求和公式来求数列中的项、公差、公比及前n项和等,
一般试题难度较小.
2.通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
8
8
∴a3=a1q
1
=4.
2
1
q= ,
2
5
(2)∵q>1,am+am+2=2am+1,且
2 5
∴q -2q+1=0,解得
1
q=2或
*
5
=2amq,
2
S2m=9Sm,m∈N ,∴am+amq
q=2,由 q>1,得 q=2.
1 (1-22 )
1 (1-2 )
∵S2m=9Sm,∴ 1-2 =9× 1-2 .∵a1≠0,∴1-22m=9(1-2m),解得
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:
由条件可得
+1 2
=
+1

,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的
等比数列.

(3)由(2)可得 =2n-1,所以

an=n·2n-1,n∈N*.

规律方法 判断和证明数列是等差(比)数列的方法
+1
(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an(或
合的形式出现.一般数列的求和,主要是将其转化为等差数列或等比数列的
求和问题.
2.通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
【例3】 已知数列{an}是n次多项式f(x)=a1x+a2x2+…+anxn的系数,且
(+1)
f(1)= 2 .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求 f
1
2
解 (1)设
需要的量.当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化
繁为简,减少运算量.同时还要注意整体代入思想方法的运用.
变式训练1[2024全国甲,文17]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且
2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的通项公式.
解(1)∵2Sn=3an+1-3,①