第一章质点运动学

第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学
3〜
第一章 质点运动学
一、 教材系统的安排和教学目的 本章从如何描写质点的运动谈起引入描写平动的四个基本物理量：位置矢量、位移、
速度和加速度，进而讨论常见的几种运动情况。

关于直线运动，分别用数学公式和图线加 以表示，着重阐明已知运动方程，可用微分法求出各时间内的位移、各个时刻的位置、速 度和加速度；已知速度（或加速度）与时间的关系和初始条件，可用积分法求出位移公式 和运动方程；以及研究质点运动问题的基本思路和步骤。

关于平面曲线运动，着重阐明对 曲线运动问题的处理方法，主要讲述直角坐标分析法和圆周运动自然坐标分析法。

本章的 教学目的是：使学生明确如何描写物体（质点）的运动，确切理解位置矢量、位移、速度 和加速度概念，掌握匀变速直线运动和圆周运动的规律，以及研究运动学问题的思路和方 法，为学习动力学打下良好的基础。

二、 教学要求
1、 理解描写质点运动的四个基本物理量。

（1） 位置矢量是描写质点在空间中位置的物理量，是描写质点状态的一个参量。

位置 矢量是一个矢
量，它具有矢量性；选取不同的参照系，以及在同一参照系中建立不同的坐 标系，它的数值和方向是不同的，它的描述具有相对性；在质点运动过程中，位置矢量是 随时间改变的，在各个时刻的大小和方向一般是不同的，它具有瞬时性。

（2） 位移是描写质点在给定时间内位置变动的大小和方向的物理量，是个过程量。

要 明确它的矢量
性和相对性，并明确位移与路程的区别。

（3） 速度是描写质点位置变动的快慢和方向的物理量，是个状态量。

要明确速度的瞬 时性、矢量性
和相对性的性质。

（4） 加速度是描写质点运动速度变化快慢的物理量。

要明确它的物理意义及其瞬时性、 矢量
性和相对性。

2、 关于运动的图象（x-t 图，v-t 图）表示，要求学生明确图上每一点和每一条线都表
示什么物理内容，并学会用 x-t 图，v-t 图表示每种直线运动及位移、速度和加速度。

3、 明确运动方程的物理内容，会由运动方程求位移、速度和加速度；由速度（或加速 度）和初始条件求运动方程。

4、 牢固掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式： 用这两
个公式的解题思路和步骤是：
（1） 根据题意，确定研究对象。

同时，要明确研究对象的物理过程
（即做什么运动），
必要时，最好做一个草图；
（2） 选定坐标原点，建立坐标系（如果研究直线运动，就要规定正方向）； （3） 根据运动过程的特征，列方程。

有几个未知量，就是应列几个方程； （4） 求解。

必要时可进行分析、讨论
5、 明确研究质点曲线运动的处理方法，并学会计算抛体运动和圆周运动的有关问题。

平面曲线运动
比直线运动要复杂些。

作曲线运动的质点，不能用一个坐标的数值来描写它 在空间中的位置，必须用两个坐标
x,y 来描写。

也可用另一种方法：从原点向质点所在位P
置引有向线段r ，如图1 — 1所示。

r 叫做位置矢量，简称为矢径。

x,y 分别是位矢r 在x,y
v=V 0+at 和 x-X 0=V 0t+(1/2)at 2。

利
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轴上的投影。

因此,
y
,y=f(t)
从而，研究平面曲线运动的处理方法，往往是把它看做两个相互 垂直的直线运动的合成运动。

例如，把平抛运动看做是水平匀速直线 运动与竖直自由落体运动的合成运动；
把斜上抛运动看做是水平匀速
直线运动与竖直上抛运动的合成运动等。

三、内容提要
1位置矢量：由坐标原点引向质点所在位置的有向线段，它表示了质点在空间中的位 置。

在三维直角
坐标系中，它的矢量表达式为f
f C
p p p p r = Xi + yj + zk
其大小为;
P
r
其方向可由它与X , y , z 三个坐标轴所夹三
个角
2、位移矢量：由运动起点 A 引向运动终点 B 的有向线段，它表示了质点在给定时间 内位置的总变
化。

在二维直角坐标系中，位移矢量可表示为
.P P i r =rB 其大小为:
=J (X B -X A )2 +(y B -y A )2
方向为:
y B 一 y A tg a = 一仏
X B -X A
其中a 角为位移矢量与X 轴正方向所夹的角，应按逆时针算起。

P dr
3、速度矢量：定义为 V =——，即速度矢量定义为位置矢量对时间的一阶导数，在直 P dt
P dx P
线运动中，v=——。

或者，也可将速度理解为元位移 dr 与元时间dt 的比。

dt
在二维直角坐标系中，速度可表示为
P dx .P+dy P
V = 一i 中亠j dt dt
p p XI +yj
运动方程也应写两个分量形式:
X=f(t) =J x 2 + y 2 + z 2 的余弦来表示:
COSa = ,cos P =鸟,cos Y =牟
r r
ppp —r A (X B -X A )i 中 W B —
y A )j
0 ■ ----- X —
图1 — 1
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用自然坐标法表示为:
或者说，法向加速度
dV 一 a
T = ，则表示了质点 T dt P P dV
速度变化大小的快慢程度。

在这里要特别注意， 全加速度a= — ,即全部加速度等于速度
dt
p
矢量对时间的一阶导数，而作为全加速度
a 的一部分的切向加速度
度大小等于速度大小对时间的一阶导数。

还要注意一般情况下
p dV
a =
dt
5、匀变速直线运动的一组公式
V
式中i, 速度大小：
虬V
dt
方向：0 =tg/
V y （见图1 — 2）
V x
速度矢量表示了质点位置变动的快慢和方向。

4、加速度矢量：加速度矢量被定义为速度对时间的一阶导数, 阶导数：
或位置矢量对时间的二
P P dV a =一 dt 一 P d Vx P dV y P 在二维直角坐标系中， a =— i +— j 或a = dt d 2x _
2 = a
dt 2
dV y dt dt 人2卩 _ d r
-dt 2
P d 2
x P —i
dt 2
上式中芽f ， 加速度大小和方向可分别表示为:
=ay ； d 2
y dt 2 =a y =J a i +ay
= tg^ —
a x
加速度的物理意义是：它表示了质点速度变化的快慢与方向, 2
a n =二，表示了质点运动方向变化的快慢程度，而切向加速度 n P
dV
a ^ =——，即切向加速
dt
寸
O
dt
X
图1 — 2
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=Vo +at
=x0+七at2
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V 2 —v 。

=2a （x —x 。

）
6、抛体运动公式 矢量式：^ = V 0^1gt 2 2
'\ = V 0 co^ t 分量式： $ |y = V 0sin a t -- I
—::
匀速直线运动
9
gt =匀变速直线运动 2
2 x ，
tg a 一 一 =为抛物线 2v 0 cos Ct 2v 0 sin a T = --------------- g H _ V Q sin 2a
二 2g R _ V Q Sin2a 「g v 0与x 轴正方向所夹之角。

7、 运动方程:：质点的位置随时间变化的关系 矢量表达式为：
r =r(t) 分量表达式为： x = x(t), y = y(t) 上式也可称做参数方程，时间 t 为参数。

8、 运动轨迹：从运动方程中消去参数 t 而得到的两个坐标间的关系式，即 y=f(x)或 f(x,y)=0 四、典型例题 例题1 一个人在平台边上，以 v o =1O 米/秒的速度，铅直向上抛一小球，求 t 1=1秒及t 2=2.5 秒(学员作)时小球的位置。

解：选取图1 —3所示的坐标，小球抛出处选为坐标原点，向上为 x 轴正方向，则初速度 V o =1O 米/秒，向上为正，重力加速度 g=9.8米/ 秒2
,向下为负。

在t=1秒时，小球的位移为 轨迹方程：y 全部飞行时间: 上升的最大高度: 水平最大射程: 式中a 为初速度 x i
A V0 X 2
1 1 x 1 =v 0t 1 — — gt 2=10 X 1 — — X 9.8 X 12=5.1(米)
2 2 所以，在t 1=1秒时，小球离抛出点的高度，即位移为 5米/秒的速度由地面匀速上升，经过 例题2一气球以 此物自脱落到落回地面所需时间为多少？ 解：以重物脱落处为坐标原点，取向上为正，如图 x o =5 米/秒X 30 秒=150 米，v o =5 米/秒。

重物自脱落到落回到地面所需时间为
t ,而此时位移
5.1 米。

30秒后从气球上自行脱落一重物, 1 — 4所示，则重物脱落时距地面高度为 x= — 150米，H 为重物所能上升的最大
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高度。

注意位移是指从运动起点 0引向运动终点P 的有向线段 OP 。

列出运动方程为: —150=V 0t — — gt 2 7 4.9gt 2 — 5t — 150=0
2 解之t=6.06秒。

例题3质点的运动方程为 x= — 10t+30t 2和y=15t — 20t 2，式中 y 以米计，t 以秒计，试求（1）初速度的大小和方向；（2） 速度的大小和方向。

加 dx , dy 解：Vx = — = —10 +60t （米/秒）; vy =丄=15-40t dt dt 故：v 0 = J v ；
+ v ^y = J （—10）2 +152 =18.03 1 v
0y 1 15 0 a =tg 」=tg （斗=123041 -10
（米 / 秒）。

方向: V ox 同理: 所以: a dv x Gc S x = ----------- = 60
dt
a — J a x + a y dv y
（米/秒 2）; a y = — y dt
=J 602 +（-40）2 =72.11 X
，
加 （米 /
秒）。

-40 （米 /秒 2）。

（米 /秒 2
）
a
y _j -40 0 —=tg （——）
=-33041' a x 60 例题4 一球以30米/秒的速率水平抛出，试求 解：小球作抛体运动它在任一时刻的加速度均为 题的关键就在于找出p 5秒后该点的切向方向与 角，此角也是g 与g n 的夹角。

而夹角 a 可由 度的y 轴分量与x 轴分
量之比求得。

因为：v x =v0x =30 （米 /秒）；
v y = v 0y - gt = 0 -5 X 9.8 = --49 （米/秒）。

方向: .J a =tg 5秒后加速度的切向和法向分量。

g ,此 X 轴的夹
5秒后速 f Y ----------X
P V x
P
L — t -
故：a 1 V y 0
=tg 丄=—58.520 见图 1 — 5 V x p 4 P g n g
图1 — 5
.a
所以: 秒2） g t =g sin a =9.8Xsin58.52° =8.36 （米/ =g cosa = 9.8 X COS58.520 = 5.12 （米 /秒 g n 五、课堂练习题 1、判断题 （1） 有大小，有方向的物理量就可称作矢量（
（2） 只要物体作曲线运动，它的加速度就不可能为零（
2
）
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(3) 斜抛物体上升到最高点时，其速率比初速度沿水平方向上的分量小( (4) 在圆周运动中，质点加速度的方向可以不指向圆心( )
(5) 加速度为恒矢量的曲线运动是不存在的( ) 2、 填空题 (1) 一个作匀加速直线运动物体，通过 A 点的即时速率为V 1,
通过B 点的即时速率为v 2, 那么，它通过 A 、B 连线中点C 的即时速率是 v c = _____________________________
(2) 把自由落体落下的总距离分成长度相等的三段， 则按由上到下的顺序经过这三段长度 所需时间之比是 ________________________________ (3)
物体在一光滑水平面内作半径为 0.6米的匀速率圆周运动，周期 为0.6秒，当物体由圆周上 A 点运动到B 点时，如图1 — 6所示，则它 的平均加速度大小为 a = (4)
一^车车轮直径为 1米，转速为每分钟100转，则轮缘上一点的 线速度v= _______________ ，向心加速度
3、 单重选择题 (1) 在曲线运动中，下列说法哪种正确？ P A v 与也v 一定相等； H0时，A v 可以为零；
a n = △V=0时，A v 不一定为零; D 、以上说法均错。

(2) 一个在X , Y 平面上运动的质点，其运动方程为 x=3t+5 , y=t 2+t — 7;则该质点的运动 轨迹是 A 、直线；B 、 (3) 一物体作圆周运动，当它通过 A 、3 ： 1 ; B 、1 (4)质点沿轨道AB 作曲线运动, 示了质点在C 处的加速度。

双曲线；C 、抛物线；D 、三次曲线。

3/4圆周长时，路程与位移大小比为 :1； C 、 1.5 n ^01 ； D 、 6 込:n 。

其速率逐渐减小，则下列四个图形中的哪一个正确地表 C A C A
B C
A D 六、阅读范围与作业 1、 阅读范围：马文蔚《物理学》上册， 2、 作业：上册，P35, 1-1 , 1-3 , 1-5, 3、 提示：
P1-30 页。

1-6, 1-8, 1-11, 1-19, 1-20 , 1-22, 1-29，1-30，1-33。

p 1-5、位移大小 A r =0，平均速度大小
P .P A r △
v =— △t =0 ；平均速率v =
S I ?，S =2d ，
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d d 加二也^ +加2 =— + —。

V 1 V 2 1-8、见图1-8，任一时刻滑轮到船的绳长为 丨=lo -vt
!.2 x =J |2_h 2 =J(l 0_vt)2-h 2。

所以船速大小为： V , dx 2(l 0-vt)(-V )
V =—=—,
dt 2j (l 0 -vt)2 -h 2
-V
1-11、取地面为原点，向上为 y 轴正方向，则火箭的 运动方程为 y=H+v 0t 0+v 0t — — gt 2
2 火箭返回地面时位移 y=0，解出t=8.6s 。

□込 P d/ dx P dy P 冲 因为：V =——
=——i +——j ，贝y V x dt dt dt V ox =—10m/s ,V 0y =15m/s ，船到岸的距离
1-29、 所以: 所以: dx =——=10 + 60t , V dt
』= 15—40t ,
dt
初速度大小为 v 0 = J v 0x + vj = 18.0m/ s
P v 0与x 轴的夹角为a =tg 竺一56019' V 0x dv x dV y p = ----- ,ay = ------- 可得a 的大小与方向 dt dt 见图1-9，质点在5秒时速度分量分别为: V x = V0 =30m/ s ,V y = -gt = -49m/ s P 由此知5秒时运动方向即V 与x 轴夹角为： 由a
x
1-30、 jV y
a =tg ——
V x
则 a t =gsin a ,a n = gcos^ 1-33、由 ds dv V =— =V0 -ht,a t =一 = -h, dt dt a n g
V 2
所以：a = J a j ，方向日=tg a t。