2019-2020学年人教A版黑龙江省哈尔滨六中高三第一学期期末文科数学试卷(解析版)

2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷（文科）
一、选择题
1．已知复数z＝1﹣，（其中i为虚数单位），则||＝（）
A．1 B．C．2 D．0
2．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，集合B＝{﹣1，0，，1，2}，则集合A∩B的子集个数为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知向量，满足||＝||＝|﹣|＝2，则|+|＝（）
A．2B．2 C．2D．2
4．已知函数f（x）＝（2cos2﹣1）sin x，则函数f（x）的最小正周期和最大值分别为（）A．π和1 B．π和C．2π和1 D．2π和
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A．24里B．48里C．96里D．192里
6．已知函数f（x）＝lnx+x，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x﹣y＝0 D．x﹣2y+1＝0 7．设函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a的值为（）A．9 B．0或9 C．0 D．﹣1或9
8．已知双曲线C：﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C右支上一点，若|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝30°，则|PF1|的长为（）
A．4+2B．2（+）C．2+8 D．2+6
9．若数列{2a n+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝（）A．18 B．C．D．12
10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，棱AA1⊥面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，且AA1＝4，
点M是棱AA1的中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．已知圆O：x2+y2＝1，过直线l：x+y﹣2＝0上第一象限内的一动点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，过A，B两点的直线与坐标轴分别交于P，Q两点，则△OPQ面积的最小值为（）
A．1 B．C．D．
12．已知函数f（x）＝ax+x2+2lnx存在极值，若这些极值的和大于﹣7，则实数a的取值范围为（）
A．B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．D．（﹣∞，﹣4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知x＞0，则的最小值是．
14．某班随机抽查了A，B两组各10名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，试比较A，B两组学生的平均分．（用“＞”或“＜”或“＝”连接）
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，倾斜角为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则△AOB的面积为．
16．水平放置一个底面半径为20cm，高为100cm的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为50cm的水，现将一个高为10cm圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于20cm），圆柱形水桶的水面高度上升了 2.5cm，则圆锥形铁器的侧面积为cm2．
三、解答题
17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b＝2，△ABC的面积为，求a的值．
18．在三棱锥A﹣BCD中，G是△ACD的重心，AB⊥平面BCD，且F在棱AB上，满足，AB＝BC＝BD＝2，CD＝2．
（1）求证：GF∥平面BCD；
（2）求三棱锥G﹣BCD的体积．
19．2020年哈尔滨市第六中学为了响应市政府倡议的“百万青少年上冰雪”活动的号召．开展了丰富的冰上体育兴趣课，为了了解学生对冰球的兴趣，随机从该校高三年级抽取了100名学生进行调查，其中男生和女生中对冰球运动有兴趣的人数比是3：2，男生有15人对冰球没有兴趣，占男生人数的．
（1）从被调查的对冰球有兴趣的学生中抽取男生3人，女生2人，再从中抽取2人，求抽到的都是女生的概率．
（2）完成2×2联表，并回答能否有90%的把握认为“性别与对冰球是否有兴趣有关”？
有兴趣没兴趣合计
男
女
合计
附表：
P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
，其中n＝a+b+c+d
20．已知函数f（x）＝x2+alnx﹣（a+2）x+2，（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣x）lnx在上有两个零点，求a的取值范围．21．在平面直角坐标系中，已知动点M与到定点F（1，0）距离到定直线x＝2的距离比为．（Ⅰ）求动点M轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l交轨迹C于A，B两点，若轨迹C上存在点P，使，求直线l的方程．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C1的极坐标方程，并求出曲线C1与C2公共弦所在直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ＝φ（0＜φ＜）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，且|AB|＝2，求φ的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（2）＞3，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．已知复数z＝1﹣，（其中i为虚数单位），则||＝（）
A．1 B．C．2 D．0
解：，，．
故选：B．
2．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，集合B＝{﹣1，0，，1，2}，则集合A∩B的子集个数为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
集合B＝{﹣1，0，，1，2}，
∴集合A∩B＝{，1}，
∴集合A∩B的子集个数为22＝4．
故选：C．
3．已知向量，满足||＝||＝|﹣|＝2，则|+|＝（）
A．2B．2 C．2D．2
解：∵，
∴＝，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝（2cos2﹣1）sin x，则函数f（x）的最小正周期和最大值分别为（）A．π和1 B．π和C．2π和1 D．2π和
解：∵函数f（x）＝（2cos2﹣1）sin x＝cos x sin x＝sin2x，
故它的最小正周期为＝π；它的最大值为，
故选：B．
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A．24里B．48里C．96里D．192里
解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得＝378，
解得a1＝192，∴第此人二天走192×＝96步
故选：C．
6．已知函数f（x）＝lnx+x，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x﹣y＝0 D．x﹣2y+1＝0 解：根据题意，f（x）＝lnx+x，则f′（x）＝+1，
则f（1）＝ln1+1＝1，f′（1）＝1+1＝2，
则切线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1；
故选：A．
7．设函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a的值为（）A．9 B．0或9 C．0 D．﹣1或9
解：根据题意，函数f（x）＝，若f（a）＝2，
当a＞0时，f（a）＝log3a＝2，解可得a＝9；
当a≤0时，f（a）＝2﹣a+1＝2，解可得a＝0；
则a＝0或9；
故选：B．
8．已知双曲线C：﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C右支上一点，若|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝30°，则|PF1|的长为（）
A．4+2B．2（+）C．2+8 D．2+6
解：双曲线C：﹣＝1的a＝2，
在等腰三角形PF1F2中，|F1F2|＝|PF2|＝2c，∠PF1F2＝30°，
可得|PF1|＝＝2c，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2c﹣2c＝2a＝4，
解得c＝1+，
则|PF1|＝6+2，
故选：D．
9．若数列{2a n+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝（）A．18 B．C．D．12
解：∵数列{2a n+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，
∴2a3+1＝（2a1+1）+2＝11，解得a1＝4，
∴2a10+1＝（2a1+1）+9＝18，
解得a10＝．
故选：B．
10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，棱AA1⊥面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，且AA1＝4，点M是棱AA1的中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，棱AA1⊥面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，且AA1＝4，点M是棱AA1的中点，
以A为x轴，在平面ABC中过点A作AC的垂线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（0，0，2），A（0，0，0），B（，1，0），
＝（0，﹣2，2），＝（，1，0），
设异面直线CM与AB所成角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴异面直线CM与AB所成角的余弦值为．
故选：C．
11．已知圆O：x2+y2＝1，过直线l：x+y﹣2＝0上第一象限内的一动点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，过A，B两点的直线与坐标轴分别交于P，Q两点，则△OPQ面积的最小值为（）
A．1 B．C．D．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由OA⊥AM，
可得切线MA方程：y﹣y1＝﹣（x﹣x1），
又因为x12+y12＝1，
所以切线MA方程：x1x+y1y＝1，
同理可得切线MB方程：x2x+y2y＝1，
而MA，MB交于点M（x0，y0），
即x1x0+y1y0＝1，x2x0+y2y0＝1，
可得AB的直线方程为：xx0+yy0＝1，
即有P（，0），Q（0，），
S△OPQ＝|OP||OQ|＝＝，（0＜x0＜2，0＜y0＜2）
S△OPQ＝＝，（0＜x0＜2，0＜y0＜2）
所以（﹣x02+2x0）max＝1，
S△OPQ最小值为，
故选：B．
12．已知函数f（x）＝ax+x2+2lnx存在极值，若这些极值的和大于﹣7，则实数a的取值范围为（）
A．B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．D．（﹣∞，﹣4）
解：∵f（x）＝ax+x2+2lnx，x∈（0，+∞），
∴f'（x）＝a+2x+，
∵函数f（x）存在极值，∴方程2x2+ax＝2＝0在（0，+∞）上有两个不等的根，设为x1，x2，
∴，解得：a＜﹣4，
∴f（x1），f（x2）是函数f（x）的两个极值，
∴f（x1）+f（x2）＞﹣7，
∴＞﹣7，
∴﹣2x1x2+2ln（x1x2）＞﹣7，
∴﹣﹣2＞﹣7，解得﹣2＜a＜2，
又∵a＜﹣4，
∴﹣2＜a＜﹣4，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知x＞0，则的最小值是 3 ．
解：由于x＞0，
则＝x+＝3，
当且仅当x＝2时取等号，此时取得最小值3．
故答案为：3
14．某班随机抽查了A，B两组各10名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，试比较A，B两组学生的平均分＜．（用“＞”或“＜”或“＝”连接）
解：因为B组的成绩集中在茎叶图的下方，而A组的集中在茎叶图的上方，
故．
故答案为：＜．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，倾斜角为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则△AOB的面积为．
解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y＝（x﹣1），代入y2＝4x 并化简得3x2﹣10x+3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，
x1x2＝1，
|AB|＝|x1﹣x2|＝2＝，O到AB的距离为：d＝，
所以△AOB的面积为：＝．
故答案为：．
16．水平放置一个底面半径为20cm，高为100cm的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高
度为50cm的水，现将一个高为10cm圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于20cm），圆柱形水桶的水面高度上升了 2.5cm，则圆锥形铁器的侧面积为200πcm2．
解：圆锥的体积为V圆锥＝π•r2•10＝π•202•2.5，
化简得r2＝300，解得r＝10；
所以圆锥形铁器的侧面积为
S圆锥侧＝πrl＝π•10•＝200（cm2）．
故答案为：200．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b＝2，△ABC的面积为，求a的值．
解：（1）由正弦定理可得：，
所以2cos A sin B+sin C cos A+sin A cos C＝0，
故2sin B cos A+sin B＝0，
∵B∈（0，π），
∴sin B＞0，
∴cos A＝﹣，
故A＝，
（2）将A＝，，代入可得c＝4，
由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
＝4+16﹣2×＝28，
故．
18．在三棱锥A﹣BCD中，G是△ACD的重心，AB⊥平面BCD，且F在棱AB上，满足，AB＝BC＝BD＝2，CD＝2．
（1）求证：GF∥平面BCD；
（2）求三棱锥G﹣BCD的体积．
【解答】（1）证明：连接FG，连接AG并延长交CD于点E，连接BE，
∵G是△ACD的重心，∴，
又∵，∴GF∥BE，
又∵FG⊄平面BCD，且BE⊂平面BCD，
∴GF∥平面BCD；
（2）解：由（1）可知GF∥平面BCD，∴V G﹣BCD＝V F﹣BCD，
又AB⊥平面BCD，∴FB为三棱锥F﹣BCD的高，且．
则，
∴．
19．2020年哈尔滨市第六中学为了响应市政府倡议的“百万青少年上冰雪”活动的号召．开展了丰富的冰上体育兴趣课，为了了解学生对冰球的兴趣，随机从该校高三年级抽取了100名学生进行调查，其中男生和女生中对冰球运动有兴趣的人数比是3：2，男生有15人对冰球没有兴趣，占男生人数的．
（1）从被调查的对冰球有兴趣的学生中抽取男生3人，女生2人，再从中抽取2人，求抽到的都是女生的概率．
（2）完成2×2联表，并回答能否有90%的把握认为“性别与对冰球是否有兴趣有关”？
有兴趣没兴趣合计
男
女
合计
附表：
P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
，其中n＝a+b+c+d
解：（1）设“抽到的都是女生”为事件D，
不妨设3个男生分别是：n1，n2，n3，两个女生分别为：A1，A2；
从中任选两人有：（n1，n2），（n1，n3），（n1，A1），（n1，A2），（n2，n3），
（n2，A1），（n2，A2），（n3，A1），（n3，A2），（A1，A2）共10种；
其中都是女生的是（A1，A2）共1种，
故所求的概率值为；
（2）男生总数为：15×3＝45（人），男生中有兴趣的是45﹣15＝30（人）；
女生中有兴趣的是（人），由此填写列联表如下；
有兴趣没兴趣合计男30 15 45
女20 35 55
合计50 50 100 由表中数据，计算；
所以有90%的把握认为“性别与对冰球是否有兴趣有关”．
20．已知函数f（x）＝x2+alnx﹣（a+2）x+2，（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣x）lnx在上有两个零点，求a的取值范围．解：（1），
当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为；减区间为，当a＝2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞2时，f（x）的单调增区间为；减区间为．
（2）g（x）＝x2+xlnx﹣（a+2）x+2，x2+xlnx﹣（a+2）x+2＝0将变量与参数分开得：，
令，
可得h（x）的单调减区间是，单调减区间是（1，e），即x＝1是极小值点，
，
∵，
∴，
即．
21．在平面直角坐标系中，已知动点M与到定点F（1，0）距离到定直线x＝2的距离比为．（Ⅰ）求动点M轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l交轨迹C于A，B两点，若轨迹C上存在点P，使，求直线l的方程．
【解答】解（Ⅰ）设M（x，y）因为，M到定点F（1，0）的距离与到定直线x＝2的距离之比为，所以有|MF|＝|2﹣x|，
代入得；
（Ⅱ）由题意直线l斜率存在，设l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣1＝0，x1+x2＝，x1x2＝，
，所以，
将P点坐标代入椭圆有，
又，，
所以
，
，
代入得，
直线方程l：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C1的极坐标方程，并求出曲线C1与C2公共弦所在直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ＝φ（0＜φ＜）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，且|AB|＝2，求φ的值．
解：（Ⅰ）由于曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．
由，ρ＝2cosθ，
得．
所在直线的极坐标方程，（或和）
（Ⅱ）把，代入，ρ＝2cosθ，
得|OA|＝2cosϕ；．
又|AB|＝2，则，
．
所以．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（2）＞3，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：≥；
（Ⅱ）⇔|2﹣a|＜，
⇒＜a＜．。