“流速大压强小”中的流速是相对地面的速度吗——对香蕉球现象的再分析

第42卷第4期
2021 年
Vol. 42 No. 4(2021)
物 理教 师
PHYSICS TEACHER
“流速大压强小”中的流速是相对地面的速度吗？
----对香蕉球现象的再分析
任少铎
（厦门市海沧区东孚中学，福建厦门361000）
摘要：我们通常用"流速大压强小'‘来解释一些常见的现象，然而所谓的"流速"究竞是空气相对于地面的流
速还是相对于被压物体的流速，一直众说纷纭.通过对伯努利原理的分析发现，伯努利原理有其适用条件，所谓
的流速既不是相对于地面也不是相对于被压物体的，而是相对于相对于同一流线上气体之前的流速，压强的大 小变化也是相对于同一流线前后的比较.从科学严谨的角度，对香蕉球原理进行了再分析，以供广大师生参考• 关键词：流速；地面；伯努利原理；流线
伯努利原理是初中物理的知识，教材并未
给出其适用条件和具体公式形式，只是通过典 型的定性实验阐释简单的规律：流体在流速大 的地方压强小，流速小的地方压强大.⑴但课本
并未强调所谓的“流速”应当是空气相对于地面 的流速还是相对于被压物体的流速，根据课本
之前的定义，如果没有特别说明参照物，参照物 通常选地面.然而，又有人提出所谓的“流速”究
竟是空气相对于被压物体的流速，否则在行驶
的火车里做流速与压强的实验就很可能会出现 与地面截然不同的效果.然而，根据这种理论，
香蕉球现象就无法解释了！那么事实究竟如何 呢？为了消除疑问，笔者查阅了相关资料，对伯
努利原理进行了深度研究，并从科学严谨的角
度，对香蕉球现象进行了再分析，以供广大师生 参考.
1问题的提出
在球类运动中.经常会见到球在飞行时偏离
预定直线“拐弯”的现象•因为其轨迹类似香蕉的
形状，于是称之为香蕉球，足球中又称为弧线球. 香蕉球的原理并不复杂，根据初中阶段的“流速大 压强小”的知识便可解释.如图1所示，球从右向 左前进，并做顺时针旋转（从读者观察的角度），此
时因为球对空气有“拖拽”效应，球的上方被球“拖 拽”的气流就是“顺风”的，球下方气流则是“逆风”
的，因此球上方的气流速度比下方大，由“流体在
流速大的地方压强小”可知，球会受到一个向上的
压力差，这个压力差会导致球偏离预定轨道.这种 现象也称为马格努斯效应•閃
图1经典的香蕉球现象原理图
这种解释与实际情 况符合很好，一直以来 广大中学师生也都是这
么解释的.然而，在一次 学术研讨时，一位同行
却对此提岀了不同看 法.理由如下：“流速大
压强小”中的流速应当
是相对于“被压物体”的, 图2在行驶的火车里对 两个乒乓球中间吹气
流体对哪个物体产生压强，那么所谓的“流速”就应当是流体与这个物体
的相对速度，而不是流体相对于地面的速度.例 如：在高速行驶的车里（整个车里的空气也和车一 起高速前进），做图2所示的实验，会发现乒乓球 依然会向中间靠拢，但通过分析可得，此时两个乒 乓球中间的气流速度反而比两边小（两边的气流
基金项目：本文系全国教育科学规划课题“基于可视化手段的初中生科学思维培养教学模式创新研究”（课题编号: FHB170577）的阶段性成果.
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和车一起高速前进)，因此“流速大压强小”中的流
速，不是流体相对于地面的速度•而应当是流体相 对于“物体”的速度.
但按照这个观点，香蕉球现象就无法解释了.
图3中.虽然球的上方空气相对地面流速大，但球 是顺时针旋转的，此时球的上表面有一个向右的
旋转速度，空气相对于球上表面的流速并不一定
比下表面大！假设球面旋转的速度为“，来流的 速度为“，球面对空气的拖拽系统为“，那么
球上方的气流相对地面的速度为化地=“ + UV X ，相对于球面的速度为a 上理=v 0 + UV\ — v x ;
球下方的气流相对于地面的速度为=
V 0—UV X ，相对于球面的速度为竹球=V 0—WV1 +s.
通过化简可得，0上玖=5 + ( " — 1 ) S ; D 下玖=
Vo + ( 1—U)Vj .
由于球面对空气的拖拽系统为U 与球面的粗 糙程度和空气的温度等一系列因素有关，因此无
法比较" + (“一1)"与Vo +( 1 — W )V1的大小.更 无法保证球上方的相对流速大于下方.
图3空气相对于球面的流速分析
那么为香蕉球现象究竟该如何解释呢？这就
需要对伯努利原理及其适用条件进入深入分析.
2伯努利原理及其适用条件
“伯努利原理”由丹尼尔•伯努利(Nicolaus Bernoulli)在1726年提出.其推导过程如下.
假设理想流体在 重力场中沿着一根流
管作稳定流动，如图4 所示，取管中的任意一
段流体a x a z 为研究对 象.在经过一个非常短
的时间3后，这段流 体由a x a 2流动到了 b x b 2;则有
图4伯努利方程的推导
这段时间内©a?段流体总的机械能的增量
△E=E?—Ei = -^-mv 2z -\-mgh 2 —
~mgh }.
两侧外力对所研究液体所做的功为W = Wi + W 2 = (/>! Si AZ~p2S 2 v 2 A/) = (pi — p2)V
式中，为这段液体的质量，s 、s 、pi 、p2、Si 、
S2、居、辰分别为液体在和a?仇处的流速、压 强、截面积、高度.
根据功能原理,w = ae
贝」y mv 22 + mgh 2 — y rmj x 2 — nigh 、= piV —
P i V.
用pV 替换〃，将上式消掉V 并移项可得加+ -rpVi 2 +pgh t = p2pv 22 +pgh 2.
也可以表述为i p + ^p^+pgh = C(.式中C 为
常数)
这就是伯努利方程，由于伯努利方程是由机
械能守恒定律推导出的，因此其适用条件如下：① 定常流(Steady flow):在流动系统中，流体 在任何一点之性质不随时间改变.
② 不可压缩流(Incompressible fluid )：流体
的密度不随压力变化.
③ 无粘(Inviscous)：摩擦效应可忽略，忽略黏
滞性效应.
④ 同一条流线(Stream Line):流体元素沿着 流线而流动，流线间彼此是不相交的；通俗的说， 压力的比较必须在同一流线上才有意义(“前后” 比较而不是“左右”比较)•⑷
伯努利原理最为著名的推论为：流体在流速
大的地方压强小.不难发现，这个描述并不严谨，
其完整的表述应当为：对定常流动不可压缩的无 粘流体，在同一条流线上，速度大的地方压强小.
之所以强调“定常流动不可压缩的无粘流体”，是 因为伯努利方程是由机械能守恒定律推导出的.
对于中学阶段而言，伯努利原理经常被“误 用”，主要是因为对第④点没有深刻的认识，根据
第④点，压力的比较必须在同一流线上才有意义， 也就是说只有比较同一流线前后的压强才有意
义.而我们通常是运用伯努利原理比较不同流线 上的压强，这就导致了不少悖论.“流速大压强小” 不可随意使用，只有对定常流动不可压缩的无粘
流体，且在同一条流线上，才会有流速大的地方压
强小.
可见.伯努利原理中的流速，既不是相对地面 的，也不是相对于被压的物体的，而是相对于同一
流线的，在同一流线上，流速大的地方压强小.之
所以争论“流速大压强小”中流速相对谁的，是因
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为不清楚伯努利原理的本质及其适用条件.
3香蕉球现象的再解释
图1中，球上方和下方的气流并不在同一流线上，显然不能直接比较两者的流速和压强.香蕉球现象的科学解释如下.
如图5所示，球上方和下方的气流可以看成是从远处(无穷远处)来的，分别称为气流1和气流2,在遇到球之前，在整个过程中两股气流都可近似为等高流动(pgb不变)，两股气流的静压(R 与动压(j^2)都相等.遇到旋转的球后，气流1
由于被球顺向拖动而速度增大，气流1的动压(*p d)就大于其初始状态的动压，根据伯努利方
程(/>+寺pd+pg/i=c),气流1的静压(p)就小于
初始状态的静压•相反，气流2由于被球逆向拖动而速度减小，气流2的动压(寺P，)小于初始状态
的动压，静压(p)会大于初始状态的静压.由于气流1和气流2在初始状态时静压(”)与动压(*卩/)都相等，所以气流2对球的静压大于气
不难发现，尽管气流1和气流2不在同一流线，但其初始状态(在无穷远处的状态)相同.因此我们可以通过与其初始状态相比来比较气流1和气流2的动压和静压大小.因此，香蕉球的原理仍然可以用伯努利原理解释，只是需要解释的更加严谨，而不是简单的“流速大压强小”.
笔者认为，在教学中，对香蕉球现象的讲解，可以采用以上观点以促进学生对现象的本质学习.在对伯努利原理深层理解的基础上.可通过图形图示等可视化手段原理图，直观揭示出上下两股气流的关系及其速度和压强变化情况，增加对香蕉球产生的原理感性认识，在形象思维与抽象思维间形成可视化的思维链条，⑷这样能较好地为科学推理扫平障碍，帮助个体顺利展开理性分析和逻辑推导，进而理解原理的深层内涵，把握问题的本质，有效地培养个体的科学思维能力，将核心素养落到实处
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(收稿日期：2020-09-30)
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