2017春人教B版高中数学必修五检测：第2章 数列2.1 第1课时 含解析 精品

第二章 2.1 第1课时
基 础 巩 固
一、选择题
1．下列说法，正确的是导学号 27542223( A ) A ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1
k
B ．数列0,2,4,6,8，…，可记为{2n }
C ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
D ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
[解析] 数列{n ＋1n }的第k 项为a k ＝k ＋1k ＝1＋1
k
，故选A ．
2．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是导学号 27542224( B ) A ．a n ＝n
2[1＋(－1)n ]
B ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋
1]
C ．a n ＝n 2[1＋(－1)n ＋
1]
D ．a n ＝n ＋1
2
[1＋(－1)n ]
[解析] 经验证可知选项B 符合要求．
3．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项导学号 27542225( D )
A ．18
B ．21
C ．25
D ．30
[解析] 依次令n (n ＋1)＝18、21、25和30检验．有正整数解的便是，知选D ． 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1
n ＋1，那么这个数列是导学号 27542226( A )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
[解析] a n ＝n －1n ＋1＝1－2
n ＋1
，随着n 的增大而增大．
5．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是导学号 27542227( D )
A ．1,2,3，…，20
B ．－1，－2，－3，…，－n ，…
C ．1,2,3,2,5,6，…
D ．－1,0,1,2，…，100，…
[解析] 数列1,2,3，…，20是有穷数列，不合题意；数列－1，－2，－3，…，－n ，…是无穷数列，但是递减数列，不合题意；数列1,2,3,2,5,6，…是无穷数列，但不是递增数列，不合题意；数列－1,0,1,2，…，100，…是递增数列，且是无穷数列．故选D ．
6．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为导学号 27542228( B ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1)
D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)
[解析] 当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B ． 二、填空题
7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n (n ＋2)
(n ∈N *)，则1
120是这个数列的第10项.
导学号 27542229
[解析] 令a n ＝
1120，即1n (n ＋2)＝1120
， 解得n ＝10或n ＝－12(舍去)．
8．数列－1，85，－157，24
9，…的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·n (n ＋2)2n ＋1. 导学号 27542230
[解析] 奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－1×33，2×45，－3×57，4×6
9，∴a n
＝(－1)n n ·(n ＋2)
2n ＋1
.
三、解答题
9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.导学号 27542231 (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解析] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数．
10．已知函数f(x)＝1
x(x＋1)
，构造数列a n＝f(n)(n∈N＋)，试判断{a n}是递增数列还是递减数列？导学号27542232
[解析]∵a n＝
1
n(n＋1)
，则a n＋1＝
1
(n＋1)(n＋2)
.
对任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，
∴
1
(n＋1)(n＋2)
<
1
n(n＋1)
，
于是a n＋1－a n＝
1
(n＋1)(n＋2)
－
1
n(n＋1)
<0.
∴{a n}是递减数列．
能力提升
一、选择题
1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则3导学号27542233(D)
A．不是数列{a n}中的项
B．只是数列{a n}的第2项
C．只是数列{a n}的第6项
D．是数列{a n}的第2项或第6项
[解析]令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．
2．已知数列{a n}中，a1＝1，
a n
a n＋1
＝2，则此数列是导学号27542234(B)
A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列
[解析]由a n
a n＋1
＝2可知该数列的前一项是后一项的2倍，而a1＝1>0，所以数列{a n}的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列．
3．对任意的a1∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列满足a n＋1>a n(n∈N*)，则函数y ＝f(x)的图象是导学号27542235(A)
[解析]据题意，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}，满足a n＋1>a n，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．
4．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第()项导学号27542236 (C)
A．19 B．20
C．21 D．22
[解析]数列中的各项可变形为：5，5＋6，5＋6×2，5＋6×3，5＋6×4，…，通项公式a n＝5＋6(n－1)＝6n－1，令6n－1＝55，解得n＝21.
二、填空题
5．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有n2－n＋1个
点.导学号27542237
[解析]序号n决定了每图的分支数，而每分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n·(n －1)＋1＝n2－n＋1个点．
6．已知{a n}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有a n＝n2＋λn恒成立，则实数
λ的取值范围为λ>－3.导学号27542238
[解析]由{a n}为递增数列，得
a n＋1－a n＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，
令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.
只需λ>f(n)max＝－3即可．
三、解答题
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.导学号 27542239 (1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解析] (1)令n 2－5n ＋4<0，得 1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3. 故数列中有两项是负数． 即a 2、a 3为负数．
(2)a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－9
4
.
∵n ∈N *，∴当n ＝2或3时，a n 最小，最小值为－2. 8．已知数列1,2，73，52，13
5，….导学号 27542240
(1)写出这个数列的一个通项公式a n ； (2)判断数列{a n }的增减性．
[解析] (1)数列1,2，73，52，135，….可变为11，42，73，104，13
5，….观察该数列可知，每
一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍 少2，
∴a n ＝3n －2
n
.
(2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2n ，∴a n ＋1＝3－2
n ＋1
，
∴a n ＋1－a n ＝3－2n ＋1－3＋2n ＝2n －2n ＋1＝2
n (n ＋1)>0，
∴a n ＋1>a n .故数列{a n }为递增数列．。