推荐-高中数学人教A版必修5课件习题课 数列求和(1)

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探究一
探究二
探究三
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Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
(2)bn=���3��������������� = 33���������-���2=(3n-2)·31������,
∴Tn=1×13+4×312+7×313+…+(3n-2)×31������.
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典型例题2
已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
((21))求记{bann=}的���3���������������通的项前公n式项及和S为n; Tn,求Tn.
典型例题3
已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=���������21���-1 (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
思路分析:先用等差数列的通项公式与前n项和公式求出an与Sn,然后将an代入
1
bn=���������2���-1
裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式,且分母是两个关 于n的一次因式的积.常见的裂项有:
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①1
������(������+1)
=
1 ������
∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=4(���������+��� 1).
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温馨提示
使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.可 以多写出几项的和,从中寻找出规律.
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解:Sn=112+314+518+…+
(2������-1)
+
1 2������
=(1+3+5+…+2n-1)+
1 2
+
1 4
+
1 8
+

+
1 2������
=(1+22������-1)·������
由题意得 q3=������������41--������������41 = 204--132=8,解得 q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
所以bn=2n-1+3n(n=1,2,…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1,
所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=(3+6+9+…+3n)+(20+21+22+…+2n-1)

①×13得,
13Tn=1×312+4×313+7×314+…+(3n-5)×31������+(3n-2)×3���1���+1,

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① -②,得
23Tn=13+3×312+3×313+3×314+…+3×31������-(3n-2)×3���1���+1
∴ ���������2=��� -41n(n+1),
因此
bn=4������(���1���+1)
=
1 4
1 ������
-
1 ������+1
.
故Tn=b1+b2+…+bn
=14
1-
1 2
+
1 2
-
1 3
+

+
1 ������
-
1 ������+1
=14
1-Байду номын сангаас
1 ������+1
= 4(���������+��� 1).
思路分析:(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相减法求
Tn.
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解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, ∵2a1,a2,a3+1 成等比数列,∴������22=2a1·(a3+1), ∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(∵1)证b明n=:∵∴2���a������b������n-���n1++,11==2bann++12,即n, b∴n+1���-���2���b���+n������=11=,b1=2������1���������-.���1 +1.
故数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列. (2)解:由(1)知,bn=n,an=n×2n-1, 则Sn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1, 2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n, 两式相减,
1
= 13+3×32
1-3���1���-1 1-13
-(3n-2)×3���1���+1
=56

1 2
×
1 3������-1
-(3n-2)×3���1���+1.
∴Tn=54

1 4
×
1 3������-2

3������-2 2
×
1 3������
=
5 4

6������+5 4
×
1
3������.
(������1 + ������)2 = 2������1(������1 + 2������ + 1),
则有
3������1
+
3×(3-1) 2
������
=
12,
解得 a1=1,d=3 或
a1=8,d=-4(舍去), ∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2;
Sn=a1+������(���2���-1)d=1+������(���2���-1)×3=32n2-32n+1.
由于 an=a1+(n-1)d,Sn=������(������12+������������),
∴an=2n+1,Sn=n(n+2).
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(2)∵an=2n+1,
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设1.等等差差数数列列{{aann}}的的前公n差项是和d,则Sn=������(������12+������������)=na1+������(���2���-1)d.
2.等比数列的前n项和公式
数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1;
探究一分组法求和
当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆 分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组法求和, 即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.
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得Sn=n×2n-20-21-…-2n-1=n×2n-2n+1.
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探究三裂项相消法求和
裂项相消法是数列求和的一种重要方法,它的基本思想是将数列的每一项拆成 两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首、尾的各一项或少数几项外,其余项都 能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和.
求出bn,用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn.
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解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由于a3=7,a5+a7=26, ∴a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得a1=3,d=2.
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解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得 d=������43-������1 = 123-3=3.
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为q,
=(3+23������)������ +
1-2������ 1-2
=
3������(���2���+1)+2n-1.
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探究二错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导 的.
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典型例题 1
求数列
112,314,518,…,
(2������-1)
+
1 2������
的前
n
项和.
思路分析:此数列的通项公式为 an=2n-1+21������,而数列{2n-1}为等
差数列,
1 2������
为等比数列,故采用分组法求和.
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+
1 2
1-
1 2
1-12
������
=n2+1-21������.
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规律总结
求数列的前n项和时,一般先求出通项公式,再根据通项公式的特点选择合适的 方法求解.
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������ ������ 变式训练2
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设 bn=2���������������-���1, 证明数列{bn}是等差数列;
当 q≠1 时,Sn=������1(11--������������������) = ������11--������������������������.
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用错位相减法求和时,应注意: 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确 写出“Sn-qSn”的表达式.若公比是参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下 分为等于1和不等于1两种情况分别求和.
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������.
④若{an}为等差数列,公差 d≠0,则
1 ������������ ������������+1
=
1 ������
1 ������������
-
1 ������������+1
.
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������ ������ 变式训练1
已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足
b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn.
习题课:数列求和
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学习目标
1.巩固等差、等比数列的求和 公式. 2.掌握数列求和的几种常用 方法,并能利用它们解决一些 数列求和问题.
思维脉络
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1 ������+1
,
1 ������(������+������)
=
1 ������
1 ������
-
1 ������+������
.
②1
(2������-1)(2������+1)
=
1 2
1 2������-1
-
1 2������+1
.

1 ������+1+
������ =
������ + 1 −
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