高中数学 331两条直线的交点坐标课件 新人教A版必修2课件

A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0.
有唯一 解时，l1 和 l2 相交，方程组的解就是 当方程组__________
交点坐标；
无 当方程组__________ 解时，l1 与 l2 平行； 有无数组 解时，l1 与 l2 重合． 当方程组__________
• [破疑点] 若两直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交， 还可能有重合． • [知识拓展] 直线系方程 • 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫 做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定 系数(也称2y－1)m－(x＋y－5)＝0. ∵对任意 m 该方程恒成立，
x＋2y－1＝0， ∴ x＋y－5＝0 x＝9， ⇒ y＝－4.
故直线恒过定点(9，－4)．
•
规律总结：解决含参数的直线恒过定点问题，常用的方法有两
种． • (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两个不同的直线方程，那么 定点必在这两个方程表示的直线上，解这两个方程组成的方程组，即得 定点坐标．
1 得 x＝－2，y＝－2，
所以直线 l1 与 l2 相交，交点是 M(－2，－2)．
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• ●互动探究
• 两直线的交点问题
• • • • •
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. [探究] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看 它们组成的方程组的解的个数．
[解析]
2x＋y＋3＝0 (1)解方程组 x－2y－1＝0
x＝－1 ，得 y＝－1
，所以直
线 l1 与 l2 相交，交点坐标为(－1，－1)．
x＋y＋2＝0 ① (2)解方程组 2x＋2y＋3＝0 ②
，①×2－②得 1＝0，矛
盾，方程组无解． 所以直线 l1 与 l2 无公共点，即 l1∥l2.
)
[解析]
2x－y－1＝0， 解方程组 x＋3y－11＝0.
x＝2， 得 y＝3.
故选 B．
3．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
A1x＋B1y＋C1＝0， 当 l1 与 l2 平行时， 方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
• (3)垂直直线系方程：与Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0. • (4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时， y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0， y0)的直线系(不含直线x＝x0)． • 在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待 定系数，从而求出方程．
成才之路 ·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
直线与方程
第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式 两条直线的交点坐标
3.3.1
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课后强化作业
优效预习
• ●知识衔接 • 1．二元一次方程组的解法：代入消元法、____________． • 2．平面上两条直线的位置关系：__________________． •加减消元法 3．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2的条件 为______________＝0，l1与l2平行或重合的条件为 ______________＝ 平行、重合、相交 0，l1与l2相交的条件为A1B2－A2B1≠0.
解法二：∵l 过 l1 与 l2 的交点， ∴设 l 的方程为 x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0， 即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0， ∵l 与直线 3x＋4y－2＝0 平行， －2λ＋1＝－3， 4 3λ － 2 ∴ 8λ－3 1 ≠2， 3 λ － 2
• ●预习自测 • • • • 1．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是( A．(1,2) B．(2,1) C．(1,1) D．(2,2) [答案] A )
• • • •
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) [答案] B
1 7 [解析] (1)方法 1：取 m＝2得 y＝5， 1 取 m＝－2 得 x＝5， 故选 D．
方法 2：直线方程变形为 m(2x－y＋1)－x－2y＋3＝0，∵ 1 x＝5 2x－y＋1＝0 对任意 m 恒成立得 解得 x＋2y－3＝0 y＝7 5 故选 D． (2)由(a－3)x＋2ay－b＝0 得 a(x＋2y)－3x－6＝0，∵对任 意实数 a
• (2)分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号左 边为0的形式，然后令参数的系数和不含参数的项分别为零，解得此方 程组的解即为已知含参直线恒过的定点．即将所给方程化成(A1x＋B1y＋ C1)＋m(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，
A1x＋B1y＋C1＝0， 方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
∴λ＝10，
∴l 的方程为 x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0， 即 3x＋4y－11＝0.
•
规律总结：(1)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时 为0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为 m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m，n不 同时为0)． • (2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其 中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常用． • 求直线方程的问题时，如果知道所求直线过已知两直线的交点，可利用 此直线系方程求解，这样可以避免求交点的繁杂计算．
的解即为定点坐标．
(1) 直 线 (2m － 1)x － (m ＋ 2)y ＋ m ＝ － 3(m ∈ R) 恒 过 定 点 ( ) 1 A．(2，2) 3 4 C．(5，5) B．(2，－1) 1 7 D．(5， 5)
• (2)(2015·山东潍坊高一上学期期末)不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay ＋6＝0恒过( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] (1)D (2)D
A1A2＋B1B2 A1B2－A2B1
• ●自主预习 • 两条直线的交点坐标 • (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的 交点坐标，因此解方程组即可． • (2)应用：可以利用两直线的__________判断两直线的位置关系． • 一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方 交点个数 程联立，得方程组
• 求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－ 3＝0的直线方程． • [分析] 既可以用通过两直线交点的直线系求解，也可以先解出两直线 的交点，然后再求解．
[解析] 解法一： 设过两直线交点的直线方程为 3x＋4y－2 ＋λ(2x＋y＋2)＝0. 整理为一般式， 得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0， 其斜率为 3＋2λ 6 6 － .而直线 6x－7y－3＝0 的斜率为7，由垂直条件可得7 4＋ λ 3＋2λ ×(－ )＝－1，解得 λ＝2. 4＋λ 故所求直线方程为(3＋2×2)x＋(4＋2)y－2＋2×2＝0，即 7x＋6y＋2＝0.
• (1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋ C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ 是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋ C2＝0，因此它不能表示直线l2. • (2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By ＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．
x＋2y＝0 恒成立，∴ 3x＋6＝0 x＝－2 ，∴ y＝1
，
，故选 D．
• ●探索延拓 • 用过两直线交点的直线系方程解题 已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1， l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程． • [探究] 可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可 以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值． •
解的个数是(
)
A．0 C．2
• [答案] A
B．1 D．无数个
• 4．判断直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x－2y＋3＝0的位置关系，如 果相交，求出交点坐标．
[解析]
• [点评] 本题也可利用斜率或A1B2－A2B1≠0判断这两条直线相交，但不 1 能求出交点坐标．
x－2y＋1＝0， 解方程组 2x－2y＋3＝0，
C．± 6
[ 解析 ]
3x＋4y－5＝0， (1) 联立方程组 3x＋5y－6＝0，
1 x＝ ， 解得 3 y＝1，
1 故交点为(3，1)． 12 (2)分别令 x＝0，求得两直线与 y 轴的交点分别为：－ m 和 12 m m － 3 ，由题意得－ m ＝－ 3 ，解得 m＝± 6.
(1)已知直线 l1：3x＋4y－5＝0 与 l2：3x＋5y－6＝0 相交， 则它们的交点坐标为( 1 A．(－1，3) 1 C．(3，1) 在 y 轴上，则 m 的值为( A．6
• [答案] (1)C (2)C
) 1 B．(1，3) 1 D．(－1，－3) ) B．－24 D．以上都不对
(2)若两直线 l1： x＋my＋12＝0 与 l2： 2x＋3y＋m＝0 的交点
3x＋4y－2＝0， 解法二：将两直线方程联立得 2x＋y＋2＝0， x＝－2， y＝2，
解得
即两直线的交点坐标为(－2,2)．
由于所求直线与直线 6x－7y－3＝0 垂直， 故设所求直线的 方程为 7x＋6y＋m＝0.而此直线过点(－2,2)，所以 7×(－2)＋ 6×2＋m＝0，所以 m＝2. 故所求的直线方程为 7x＋6y＋2＝0.
x－y＋1＝0 ① (3)解方程组 2x－2y＋2＝0 ②
， ①×2 得 2x－2y＋2＝0，
因此， ①和②可以化为同一个方程， 即①和②表示同一条直线． 所以两直线重合．
•
规律总结：1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系
• • • •
2．两条直线相交的判定方法： (1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 特别提醒：若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相 交．
• 直线恒过定点问题 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－ 5恒过一个定点． • [探究] 既然m不论取何值，直线恒过定点，可以任取m的两个不同值， 得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出定点，最后证明直线恒 过该点． •
[证明] 证法一：取 m＝1，得直线 y＝－4. 1 取 m＝2，得直线 x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线 (m－1)x＋(2m －1)y＝m－5 恒过点(9，－4)． 将 x＝9，y＝－4 代入方程， 左边＝(m－1)· 9－4· (2m－1)＝m－5＝右边， ∴直线恒过点(9，－4)．
[解析] ＝2，
x－2y＋3＝0， 解法一：解方程组： 2x＋3y－8＝0
得 x＝ 1 ， y
∴l1 与 l2 的交点为(1,2)， ∵直线 l 过点(1,2)且与直线 3x＋4y－2＝0 平行， ∴设方程为 3x＋4y＋c＝0，把(1,2)代入得：c＝－11， ∴所求方程为：3x＋4y－11＝0.