2019-2020学年江苏省苏州市常熟市八年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省苏州市常熟市八年级（上）期末数学试卷
一．选择题
1．（3分）下列四个图标中，是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）下列实数中，无理数是( )
A ．227
B ．3π
C ．4-
D ．327
3．（3分）人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯，近似数5810-⨯精确到( )
A ．0.001cm
B ．0.0001cm
C ．0.00001cm
D ．0.000001cm
4．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是( )
A ．4cm 、5cm 、6cm
B ．1cm 、2cm 、3cm
C ．2cm 、3cm 、4cm
D ．1cm 、2cm 、3cm 5．（3分）若分式
12x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．1 B ．2- C ．1- D ．2
6．（3分）已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
7．（3分）在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为( )
A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =--
8．（3分）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，则不等式20kx b +->的解集是( )
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x <
D ．2x >
9．（3分）如图，已知O 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，且50A ∠=︒，则BOC ∠的度数为
( )
A ．80︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．120︒
10．（3分）如图，直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ，点C 在第二象限，过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ，BE OC ⊥于E ，且8BE BO +=，4AD =，则ED 的长为( )
A ．2
B ．32
C ．52
D ．1
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（316= ．
12．（3分）等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则它的周长是 ．
13．（3分）若代数式321
x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数312
y x =-+的图象经过11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 两点，若12x x >，则1y 2y ．
15．（3分）已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图象上，则2296m mn n -+= ．
16．（3分）若关于x 的分式方程122x x a x x
--=--有增根，则a 的值 ． 17．（3分）如图，点C 坐标为(0,1)-，直线334y x =
+交x 轴，y 轴于点A ，点B ，点D 为直线上一动点，则CD 的最小值为 ．
18．（3分）如图，已知直角三角形ABC 中，ABC ∠为直角，12AB =，16BC =，三角形ACD 为等腰三角形，其中503AD DC ==
，且//AB CD ，E 为AC 中点，连接ED ，BE ，BD ，则三角形BDE 的面积为 ．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔
19．（523(3)8|12--+
20．（5分）解方程：21142
x x x x --=-+ 21．（6分）先化简，再求值22
(3)33
x x x x x -+÷++，其中2x =-22．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C -．
（1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C ．
（2）点1A 的坐标为 ．
（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线l ；
②P 为直线l 上一动点，则PA PC +的最小值为 ．
23．（6分）如图，ABC ∆为等边三角形，D 为ABC ∆内一点，且ABD DAC ∠=∠，过点C 作AD 的平行线，交BD 的延长线于点E ，BD EC =，连接AE ．
（1）求证：ABD ACE ∆≅∆．
（2）求证：ADE ∆为等边三角形．
24．（8分）小明用30元买水笔，小红用45元买圆珠笔，已知每支圆珠笔比水笔贵2元，那么小明和小红能买到相同数量的笔吗？
25．（8分）如图，一次函数1y x b =+的图象与x 轴y 轴分别交于点A ，点B ，函数1y x b =+，与243
y x =-的图象交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-． （1）求b 的值；
（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围；
（3）在直线243
y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当145PQ OC =
时，求点P 的坐标．
26．（10分）在同一直线上有甲乙两地，小明，小红同学分别从甲乙两地同时出发，相向而行，当他们相遇后小明立即以原速返回，且他先达到甲地，小红继续前行到甲地．在整个行进过程中，他们之间的距离()
x min之间的函数关系如图所示，请结合图
y m与行进的时间()
象信息解答下列问题．
（1）a=，小明速度为/
m min；
m min，小红速度为/
（2）求小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y与x之间的函数表达式；
（3）他们第一次相遇后再过多长时间相距200m．
27．（10分）直角三角形ABC中，90
ABC
∠=︒，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE CD
=，连接DE．
（1）如图1，求证2
∠=∠；
C E
（2）如图2，若6
∆的面积．
∆的角平分线CG交BD于点F，求BCF
BE=，ABC
AB=，5
28．（10分）已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,0)、点B的坐标为(0,8)，点C 在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B'刚好在x轴上，连接CB'．
（1）写出点B'的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；
（2）点D在线段AC上，连接DB、DB'、BB'，当DBB
∆'是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时∆是等腰三角形．
ADQ
2019-2020学年江苏省苏州市常熟市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（3分）下列四个图标中，是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A 、不是轴对称图案，故此选项错误；
B 、是轴对称图案，故此选项正确；
C 、不是轴对称图案，故此选项错误；
D 、不是轴对称图案，故此选项错误；
故选：B ．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形概念．
2．（3分）下列实数中，无理数是( )
A ．227
B ．3π
C ．4-
D 327【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进而得出答案．
【解答】解：A 、227
是有理数，不合题意； B 、3π是无理数，符合题意；
C 、42=-是有理数，不合题意；
D 3273=是有理数，不合题意；
故选：B ．
【点评】此题主要考查了无理数，正确掌握定义是解题关键．
3．（3分）人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯，近似数5810-⨯精确到( )
A ．0.001cm
B ．0.0001cm
C ．0.00001cm
D ．0.000001cm
【分析】首先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
【解答】解：58100.00008-⨯=，
∴近似数5810-⨯精确到0.00001cm ．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了科学记数法与有效数字，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：要求一个数精确到哪一位，首先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
4．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是( )
A ．4cm 、5cm 、6cm
B ．1cm 、2cm 、3cm
C ．2cm 、3cm 、4cm
D ．1cm
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A 、222456+≠，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误； B 、222123+≠，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C 、222234+≠，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D 、2221(2)+=，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D ．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，
c 满足222a b c +=，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（3分）若分式
12x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．1 B ．2- C ．1- D ．2
【分析】根据分式值为零的条件可得10x -=，且20x +≠，再解即可．
【解答】解：由题意得：10x -=，且20x +≠，
解得：1x =，
故选：A ．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．（3分）已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【分析】直接利用一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等进而得出答案．
【解答】解：点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，
21a a ∴=-，
解得：1a =．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握一、三象限的角平分线上点的坐标关系是解题关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为( )
A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =--
【分析】根据平移法则左加右减可得出平移后的解析式．
【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：3(2)4y x =-++，即32y x =--．
故选：D ．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
8．（3分）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，则不等式20kx b +->的解集是( )
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x <
D ．2x >
【分析】不等式20kx b +->可变形为2kx b +>，再结合图象确定2y >时x 的取值范围．
【解答】解：一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，
∴不等式20kx b +->即2kx b +>的解集是0x >，
故选：A ．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．
9．（3分）如图，已知O 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，且50A ∠=︒，则BOC ∠的度数为
( )
A．80︒B．100︒C．105︒D．120︒
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA OB OC
==，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：解法一，如图1，连接OA，
O为ABC
∆三边垂直平分线的交点，
∴==，
OA OB OC
∠=∠，
∴∠=∠，OCA OAC
OBA OAB
∴∠+∠=∠=︒，
OBA OCA BAC
50
∠+∠=︒-∠=︒，
ABC ACB BAC
180130
OBC OCB
∴∠+∠=︒-︒=︒，
1305080
∴∠=︒-︒=︒，
18080100
BOC
解法二，如图2，连接AO并延长，
O为ABC
∆三边垂直平分线的交点，
∴==，
OA OB OC
∠=∠，
∴∠=∠，OCA OAC
OBA OAB
COD OAC OCA OAC
∴∠=∠+∠=∠，2
∠=∠+∠=∠，BOD OAB OBA OAB
2
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，
BOC BOD COD OAB OAC A
2()2100
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）如图，直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ，点C 在第二象限，过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ，BE OC ⊥于E ，且8BE BO +=，4AD =，则ED 的长为( )
A ．2
B ．
3
2
C ．
52
D ．1
【分析】分别令0y =，0x =来求直线(0)y x b b =+>与x 轴负半轴、y 轴正半轴的交点A 、
B 的坐标，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：当0y =时，0x b +=， 解得，x b =-，
∴直线(0)y x b b =+>与x 轴的交点坐标A 为(,0)b -；
当0x =时，y b =，
∴直线(0)y x b b =+>与y 轴的交点坐标B 为(0,)b ；
OA OB ∴=，
AD OC ⊥于D ，BE OC ⊥于E ， 90ADO BEO ∴∠=∠=︒，
90DOA DAO ∠+∠=︒，90DOA DOB ∠+∠=︒， DAO EOB ∴∠=∠，
在DAO ∆和BOE ∆中DAO EOB ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
DAO EOB ∴∆≅∆，
OD BE ∴=，4AD OE ==， 8BE BO +=， 8OB BE ∴=-，
222OB BE OE =+，
222(8)4BE BE ∴-=+， 3BE ∴=，
1DE OE OD AD BE ∴=-=-=，
故选：D ．
【点评】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质．解答该题时，注意全等三角形的判定与全等三角形的性质的综合运用． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11．（316= 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【解答】解：2416=，
∴164，
故答案为4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12．（3分）等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则它的周长是 12cm ．
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以2为底边和腰两种情况考虑：若2为腰，则另外一腰也为2，底边就为5，根据225+<，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若2为底边，腰长为5，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
【解答】解：若2为腰，5为底边，此时225+<，不能构成三角形，故2不能为腰； 若2为底边，5为腰，此时三角形的三边分别为2，5，5，周长为25512++=， 综上三角形的周长为12． 故答案为：12cm
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况． 13．（3分）若代数式
321x x -+有意义，则x 的取值范围是 1
2
x ≠- ． 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：代数式321
x
x -+有意义， 则210x +≠， 解得：1
2x ≠-．
故答案为：1
2
x ≠-．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数3
12y x =-+的图象经过11(P x ，1)y ，22(P x ，
2)y 两点，若12x x >，则1y < 2y ．
【分析】根据一次函数的性质，当0k <时，y 随x 的增大而减小判断即可． 【解答】解：一次函数312y x =-+中3
02k =-<，
y ∴随x 的增大而减小， 12x x >， 12y y ∴<．
故答案为：<．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y kx b =+，当0k >时，y 随x 的增大而增大，当0k <时，y 随x 的增大而减小．
15．（3分）已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图象上，则2296m mn n -+= 1 ． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出(31)m n -=，再结合完全平方公式可求出22(96)m mn n -+的值．
【解答】解：点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图象上， 31n m ∴=-，即31m n -=，
222296(3)11m mn n m n ∴-+=-==． 故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出(3)m n -的值是解题的关键． 16．（3分）若关于x 的分式方程
122x x a
x x
--=--有增根，则a 的值 4 ． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案． 【解答】解：
122x x a x x
--=--， 去分母，方程两边同时乘以2x -，得：2x x a x +-=-， 由分母可知，分式方程的增根可能是2， 当2x =时，2222a +-=-， 解得4a =． 故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 17．（3分）如图，点C 坐标为(0,1)-，直线3
34
y x =+交x 轴，y 轴于点A ，点B ，点D 为直线上一动点，则CD 的最小值为
16
5
．
【分析】连接AC ，过点C 作CD ⊥直线AB 于点D ，此时CD 的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理可求出点A ，B 的坐标及AB 的长度，再利用面积法即可求出CD 的最小值．
【解答】解：连接AC ，过点C 作CD ⊥直线AB 于点D ，此时CD 的长度最小，如图所示． 当0x =时，3
334
y x =
+=， ∴点B 的坐标为(0,3)，3OB =；
当0y =时，3
304
x +=，解得：4x =-，
∴点A 的坐标为(4,0)-，4OA =，
225AB OA OB ∴=+=． 11
22ABC S OA BC AB CD ∆==，
16
5
OA BC CD AB ∴=
=． 故答案为：
16
5
．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，利用点到直线之间垂直线段最短，找出点D 的位置．
18．（3分）如图，已知直角三角形ABC 中，ABC ∠为直角，12AB =，16BC =，三角形ACD 为等腰三角形，其中50
3
AD DC ==
，且//AB CD ，E 为AC 中点，连接ED ，BE ，BD ，
则三角形BDE 的面积为
56
3
．
【分析】由勾股定理可求AC 的长，由等腰三角形的性质可求10AE EC ==，DE AC ⊥，由三角形的面积关系可求解．
【解答】解：ABC ∠为直角，12AB =，16BC =，
2214425620AC AB BC ∴=++=， AD CD =，E 为AC 中点， 10AE EC ∴==，DE AC ⊥， 22250040
10093
DE CD CE ∴-- 1
962ABC S AB BC ∆=⨯⨯=，
48BEC S ∆∴=，
三角形BDE 的面积BDC BEC EDC S S S ∆∆∆=--，
∴三角形BDE 的面积15014056
16481023233
=
⨯⨯--⨯⨯=
， 故答案为：
56
3
． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，灵活运用直角三角形的性质是本题的关键．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔 19．（523(3)8|12--+
【分析】原式利用二次根式性质，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式321=--+
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（5分）解方程：
2
1142
x x
x x --=-+ 【分析】方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，将分式方程化为整式方程后再求解，最后检验根的情况．
【解答】解：方程两边同时乘以(2)(2)x x +-得： (1)(2)(2)(2)x x x x x ---=+-，
解方程可得：3x =， 经检验，3x =是原方程的根，
∴原方程的解为3x =．
【点评】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
21．（6分）先化简，再求值22
(3)33
x x x x x -+÷
++，其中x =【分析】直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式22(3)(3)3
[]33x x x x x x x
-++=-++
2
93
3x x x +=
+ 29x
=，
当x =92
=
． 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C -． （1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C ． （2）点1A 的坐标为 (3,6) ．
（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线l ； ②P 为直线l 上一动点，则PA PC +的最小值为 ．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到三角形ABC关于y轴对称的三角形
A B C．
111（2）依据点的位置，即可得出点
A的坐标；
1
（3）①利用网络画出线段AB的垂直平分线l即可；②根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到点P的位置，进而得出PA PC
的最小值．
【解答】解：（1）如图所示，三角形
A B C即为所求；
111
（2）由图可得，点
A的坐标为(3,6)，
1
故答案为：(3,6)；
（3）①如图所示，直线l即为所求；
②直线l 与BC 的交点即为点P ，PA PC +的最小值为线段BC 的长， 由勾股定理可得，22242025BC =+==， 故答案为：25．
【点评】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 23．（6分）如图，ABC ∆为等边三角形，D 为ABC ∆内一点，且ABD DAC ∠=∠，过点C 作
AD 的平行线，交BD 的延长线于点E ，BD EC =，连接AE ．
（1）求证：ABD ACE ∆≅∆． （2）求证：ADE ∆为等边三角形．
【分析】（1）由“SAS ”可证ABD ACE ∆≅∆；
（2）由全等三角形的性质可得AD AE =，BAD CAE ∠=∠，即可得结论． 【解答】证明：（1）ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ACB ∠=∠=︒， //AD CE ，
DAC ACE ∴∠=∠，且ABD DAC ∠=∠， ACE ABD ∴∠=∠，且AB AC =，BD CE =，
()ABD ACE SAS ∴∆≅∆
（2）ABD ACE ∆≅∆，
AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，
60BAD DAC BAC ∠+∠=∠=︒，
60CAE DAC DAE ∴∠+∠=∠=︒，且AD AE =，
ADE ∴∆是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明ABD ACE ∆≅∆是本题的关键．
24．（8分）小明用30元买水笔，小红用45元买圆珠笔，已知每支圆珠笔比水笔贵2元，那么小明和小红能买到相同数量的笔吗？
【分析】设每支水笔的价格为x 元，则每支圆珠笔的价格为(2)x +元，假设小明和小红能买到相同数量的笔，根据数量=总价÷单价结合小明和小红买到笔的数量相等，即可得出关于
x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设每支水笔的价格为x 元，则每支圆珠笔的价格为(2)x +元， 假设小明和小红能买到相同数量的笔， 依题意，得：
3045
2
x x =
+， 解得：4x =，
经检验，4x =是原方程的解． 当4x =时，
30
7.5x
=， 7.5不是整数，
∴不符合题意，即假设不成立．
答：小明和小红不能买到相同数量的笔．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（8分）如图，一次函数1y x b =+的图象与x 轴y 轴分别交于点A ，点B ，函数1y x b =+，与24
3
y x =-的图象交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-．
（1）求b 的值；
（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围；
（3）在直线24
3y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当
14
5
PQ OC =
时，求点P 的坐标．
【分析】（1）将3x =-代入243
y x =-，可得(3,4)C -，再将C 点代入1y x b =+，可求7b =； （2）结合函数图象，在120y y <<时，有73x -<<-；
（3）设4(,)3P a a -，//PQ x 轴，4(73
Q a --，4)3a -，则7|7|3PQ a =+，因为5OC =，所以14145PQ OC ==，则有7|7|143
a +=，求出a 即可求点P ． 【解答】解：（1）将3x =-代入243
y x =-， 可得(3,4)C -，
再将C 点代入1y x b =+，
7b ∴=；
（2）73x -<<-；
（3）点P 为直线243
y x =-上一动点， 设4(,)3
P a a -， //PQ x 轴，
4(73
Q a ∴--，4)3a -， 7|7|3
PQ a ∴=+， (3,4)C -，
5OC ∴=，
14145
PQ OC ∴==， 7|7|143
a ∴+=， 3a ∴=或9a =-，
(3,4)P ∴-或(9,12)P -．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
26．（10分）在同一直线上有甲乙两地，小明，小红同学分别从甲乙两地同时出发，相向而行，当他们相遇后小明立即以原速返回，且他先达到甲地，小红继续前行到甲地．在整个行进过程中，他们之间的距离()y m 与行进的时间()x min 之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题．
（1）a = 20 ，小明速度为 /m min ，小红速度为 /m min ；
（2）求小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y 与x 之间的函数表达式；
（3）他们第一次相遇后再过多长时间相距200m ．
【分析】（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）先求出点C 的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用待定系数法求出线段CD 的函数表达式，再把200y =分别代入线段CD 的表达式以及线段BC 的表达式即可解答．
【解答】解：（1）小红速度为：20005040(/)m min ÷=，
小明往返跑共用了40分钟，所以相遇时用了20分钟，故20a =，
小明速度为：40(5020)2060(/)m min ⨯-÷=，
故答案为：20；60；40；
（2）当40x =时，20004040400y =-⨯=，
∴点C 的坐标为(40,400)，
设线段BC 的函数表达式为11y k b =+，把(20,0)B ，(40,400)C 代入，
得1111
02040040k b k b =+⎧⎨=+⎩，
解得11
20400k b =⎧⎨=-⎩， ∴小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y 与x 之间的函数表达式为：20400(2040)y x x =-；
（3）设线段CD 的函数表达式为22y k b =+，把(40,400)C ，(50,0)D 代入，
得2222
40040050k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得2402000k b =-⎧⎨=⎩
， ∴线段CD 的函数表达式为：402000(4050)y x x =-+<，
把200y =代入20400y x =-，得30x =，302010-=；
把200y =代入402000y x =-+，得45x =，452025-=．
答：他们第一次相遇后再过10min 或25min 后相距200m ．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式．同时考查了速度、路程和时间之间的关系．
27．（10分）直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为CB 延长线上一点，且BE CD =，连接DE ．
（1）如图1，求证2C E ∠=∠；
（2）如图2，若6AB =，5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积．
【分析】（1）先根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得等线段，再由“等边对等角”得等角，从而问题得证；
（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥，由勾股定理求得BC 的长，再由等底同高的三角形
的面积关系，可求得答案．
【解答】解：（1）证明：90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点， 12
BD AC CD AD ∴===， CD BE =，
BE BD ∴=，
BDE E ∴∠=∠，
BD CD =，
C DBC ∴∠=∠，
2C DBC BDE E E ∴∠=∠=∠+∠=∠；
（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥
CG 平分ABC ∠
FM FN ∴=
5BE =
5CD AD BE ∴===，10AC =
又6AB =
∴在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=
8BC ∴=
BD 为ABC ∆的中线
11111681222222
BCD ABC S S AB BC ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯= 又BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+
111222
CD FN BC FM ∴=+ ∴11581222
FM FM ⨯⨯+⨯⨯=
2413FM ∴= 1124968221313BCF S BC FM ∆∴=
=⨯⨯=． 【点评】本题考查了直角三角形的斜边中线在证明与计算中的应用，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．
28．（10分）已如，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(6,0)、点B 的坐标为(0,8)，点C 在y 轴上，作直线AC ．点B 关于直线AC 的对称点B '刚好在x 轴上，连接CB '．
（1）写出点B '的坐标，并求出直线AC 对应的函数表达式；
（2）点D 在线段AC 上，连接DB 、DB '、BB '，当DBB ∆'是等腰直角三角形时，求点D 坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，到达点O 时停止运动，连接PD ，过D 作DP 的垂线，交x 轴于点Q ，问点P 运动几秒时ADQ ∆是等腰三角形．
【分析】（1）由已知可得：6OA =，8OB =，由90AOB ∠=︒，则10AB =，因为B 与B '关于直线AC 对称，所以AC 垂直平分BB '，(4,0)B '-，设点(0,)C m ，在Rt COB '∆中，90COB '∠=︒，2216(8)m m +=-，可求(0,3)C ，设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，
把(6,0)A ，(0,3)C 代入可得132
y x =-+； （2）由已知可得BDB '∆是等腰直角三角形，过点D 作DE x ⊥轴，DF y ⊥轴，
EDF BDB '∠=∠，BDF EDB '∠=∠，()FDB EDB AAS '∆≅∆，则有DF DE =，设点(,)D a a 代入132
y x =-+中，即可求(2,2)D ； （3）同（2）可得PDF QDE ∠=∠，可证明()PDF QDE AAS ∆≅∆，则有PF QE =，①当DQ DA =时，DE x ⊥轴，所以4QE AE ==，4PF QE ==，2BP BF PF =-=，求得点P
运动时间为1秒；②当AQ AD =时，AD =，4AQ =，4PF QE ==，
10BP BF PF =-=-P 的运动时间为5③当QD QA =时，设QE n =，则4QD QA n ==-，在Rt DEQ ∆中，90DEQ ∠=︒，224(4)n n +=-， 1.5PF QE ==，7.5BP BF PF =+=，可求点P 的运动时间为7.5秒，由于04t ，则 3.75t =．
【解答】解：（1）A 的坐标为(6,0)、点B 的坐标为(0,8)，
6OA ∴=，8OB =，
90AOB ∠=︒，
10AB ∴=， B 与B '关于直线AC 对称，
AC ∴垂直平分BB '，
BC CB '∴=，10AB AB '==，
(4,0)B '∴-，
设点(0,)C m ，
OC m ∴=，
8CB CB m '∴==-，
在Rt COB '∆中，90COB '∠=︒，
2216(8)m m ∴+=-，
3m ∴=，
(0,3)C ∴，
设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，
把(6,0)A ，(0,3)C 代入可得12
k =-，3b =， 132
y x ∴=-+； （2）AC 垂直平分BB '，
DB DB '∴=，
BDB '∆是等腰直角三角形，
90BDB '∴∠=︒，
过点D 作DE x ⊥轴，DF y ⊥轴，
90DFO DFB DEB '∴∠=∠=∠=︒，
360EDF DFB DEO EOF ∠=︒-∠-∠-∠，90EOF ∠=︒，
90EDF ∴∠=︒，
EDF BDB '∴∠=∠，
BDF EDB '∴∠=∠，
()FDB EDB AAS '∴∆≅∆，
DF DE ∴=，
设点(,)D a a 代入132
y x =-+中， 2a ∴=，
(2,2)D ∴；
（3）同（2）可得PDF QDE ∠=∠，
2DF DE ==，PDF QDE ∠=∠，
()PDF QDE AAS ∴∆≅∆，
PF QE ∴=，
①当DQ DA =时，
DE x ⊥轴，
4QE AE ∴==，
4PF QE ∴==，
2BP BF PF ∴=-=，
∴点P 运动时间为1秒；
②当AQ AD =时，
(6,0)A 、(2,2)D ， 25AD ∴=，
25AQ ∴=，
254PF QE ∴==-，
1025BP BF PF ∴=-=-，
∴点P 的运动时间为55-秒；
③当QD QA =时，
设QE n =，
则4QD QA n ==-，
在Rt DEQ ∆中，90DEQ ∠=︒，
224(4)n n ∴+=-，
1.5n ∴=，
1.5PF QE ∴==，
7.5BP BF PF ∴=+=，
∴点P 的运动时间为3.75秒，
04t ，
3.75t ∴=，
综上所述：点P 的运动时间为1秒或55-秒或3.75秒．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形全等知识解题是关键．。