四川省遂宁二中2018_2019学年高二数学下学期期中试题文201905080146

四川省遂宁二中 2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文
本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分 150分， 考试时间 120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共 60分）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求. 1．已知命题 p ：
，
.则
为（
）
0 ln x
0 p
x
A.
x 0 ， ln x
0 B.
x 0， ln x
x
ln x
x
C. ，
D.
，
ln x
1．【答案】B 【解析】p ：
， x 0 0
l n x
0.则 p :
.
2．过抛物线 y 2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点，若 A ，B 两点的横坐标之和为
10 ，则|AB |＝( )
3
13 14 16
A ．
B ．
C ． 5
D ．
3
3
3 10
16
【答案】D 【解析】由题意得 p ＝2，∴
．选 D ．
AB
x
x
p
2
A
B
3
3
y
2
3.若双曲线 ( )的焦点到渐近线的距离是 ，则
的值是（
）
x
2
1 2
m
2
m
m
A.2
B. 2
C.1
D.4
【答案】A【解析】由于双曲线的焦点到渐近线的距离是m，∴m2．选A．
4．下列说法正确的是（）
A. 命题“若x21，则x1”是真命题
1
B. 命题“若x25x60，则x2”的逆命题是“若x2，则x25x60”
C. 命题“已知x,y R，若x y3，则x2或y1”是真命题
D. 命题“若x2，则x25x60”的否命题是“若x2，则x25x60”
4．【答案】C【解析】对于A，若x21，则x1，所以A不正确．
对于B，命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”，所以B不
正确．
对于C，命题“已知x,y R，若x y3，则x2或y1”的逆否命题是“已知x,y R，若
x2且y1，则x y3”为真命题，所以C正确．
对于D，命题“若x=2，则x2-5x+6=0”的否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”，所以D不正
确．
本题选择C选项.
5．执行如图的程序框图，若输出的S48，则输出k的值可以为( )
A．4B．6 C. 8D．10
【答案】C
【解析】试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S
的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输
出S的值为48，故应有：7＜k＜10．
解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1，不满足条件n＞k；n=4，S=6，
不满足条件n＞k；n=7，S=19，不满足条件n＞k；n=10，S=48，由题意，此
时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜
10。

故选：C．
考点：程序框图．
6.若在x2y21所围区域内随机取一点，则该点落在x y1所围区域内的概率是（）
2
1 2 1 A.
B.
C.
D.
1
2
1
【答案】B 【解析】 x 2
y 2 1表示的区域是单位圆及其内部（即圆面）， x
y 1表示的区域
（ ）
2 2
2
是边长为 2 的正方形，故所求概率为：
= 。

故选 B 。

π
1 π
2
考点：几何概型．
7.设不重合的两条直线 m 、 n 和三个平面 、 、 给出下面四个命题：
（1
）
m ,n ∥m n ∥,n
∥
（2
）
,m
,m
m
∥
（3）
∥
m ,m
m
∥
（4
）
,
∥
其中正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ． 2
C. 3 D ． 4
【答案】B 【解析】
时，有可能 ，A 错； ，而 所以 ，又
，所以 ，B 对；由两平面平行定义知，C 对; 时， 、 有可能相交，D 错；
因此选 B.
π
2
8．已知 θ 为锐角，且 sin
(
4
)＝
，则 tan 2θ＝( )
θ－
10
4 3 24
24 A. B. C ．－
D. 3 4
7
7
π
2
1
【答案】C 【解析】由已知 s in
(
＝ 得 sin θ－cos θ＝ ，再由 θ 为锐角且 sin 2 θ θ－ 4
)
10
5
4
2 ×
4 3 4
2tan θ
3 ＋cos 2 θ＝1，得 sin θ＝ ，cos θ＝ .所以 tan θ＝ ，tan 2θ＝
＝ ＝－
5 5 3 1－tan 2 θ
16 1－
9
24
，故选 C.
7
x
y
2
2
9．如果椭圆
的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（
）
1
36
9
A. x
2y 0
B. x
2y 4 0
3
C. 2x 3y 12
0 D. x 2y
8
x
y
， x
y
2
2
2
2
9．【答案】D 【解析】设
，则 ，两式相减，化简
A (x , y ),
B (x , y )
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
36 9 36 9
得： y
y x x
9( ) 9
8 1
1
2
1
2
x x
36(y
y )
36
4
2
1
2
1
2
1 ，即直线 的斜率为 ，所以，这条弦所在的直
AB
- 2
1 线方程是：
，即 ，故选 D 。

y 2
(x 4) x 2y 8 0
2
10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两 个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（
）
A.17 12
B.12 12
C.20 12
D.16 12
[答案] C
[解析]该几何体是由半径为 3，高为 3的半个圆柱去掉半 径为 1，高为 3的半个圆柱后剩下的几何体。

其表面积为：
S=
1 1
2 3
3 2
1
3
2
3
2
(3 1 ) 20 12
2
2
2
2 故选 C 。

11. 已知函数 f (x ) sin x , x (0, 2π)，点 P (x , y ) 是函数 f (x ) 图象上的任意一点，其中
O (0,0), A (2π,0)
ΔOAP
g (x )
g / (x )
，记
的面积为
，则
的图象可能是( )
4
【解析】
，所以
，所以选 A.
12．已知函数 f (x ) x 3 3x ，若过点 M (2,t )可作曲线 y f (x ) 的三条切线，则实数t 的取
值范围是( ) A ． (
6,2) B ． (4,2) C. (6,2) D ． (0,2)
【答案】C
【解析】设切点为 ,则方程
, 有三解, 令
,则
,因此
,选 C.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）
二、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分，共 20分.请将答案填在题后横线上.
2
1
3
b
1
a
log ab
23
13．已知
，
，则
.
2
2
【答案】
1
3
2
1 1
2 1 1
3
1 3
3
3
1
3
【解析】因为
，所以
.
ab 2
2 2 2
log ab
log 2 3
2
2
2
3
考点：指数与对数的运算. 14．已知双曲线 x 2
y 2 1的一条渐近线被圆 C:(x 2)2 y 2 r 2 (r 0) 截得的线段长为
2 2
r
，则
__________．
【解析】不妨设双曲线x2y21的一条渐近线为x y0，圆心C(2,0)到直线x y0的|20|
d r(2)2(2)22
2
距离为，故；故答案为2.
2
15．设命题p：实数x满足|x1|a(其中a0)；命题q：实数x满足.若是
3
x x1
26
5
的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________________.
【答案】a3
【解析】，所以或，
，
所以满足条件的解集，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以，得.
f(x)f(x)0x
2
16．函数f(x)x3sin x（-1x1)，若，则实数的取值范围是：（﹣1，0）．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可以
将f（x2）+f（﹣x）＞0转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣
（x3+sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，
其导数f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数f（x）
为增函数，
f（x2）+f（﹣x）＞0⇒f（x2）＞﹣f（﹣x）⇒f（x2）＞f（x）⇒，
解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范围是（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）
三、解答题：
17. （本题满分10分）
正项等比数列中，，。

a
11a
a a5
43
n
(1)求的通项公式；
a
n
(2)记为的前项和。

若，求。

S a n S63m
n n m
6
a
解：(1)设数列的公比为，∴，∴。

由于则，故
a q q254q2a0,q0
n n
a
3
q2
，
∴a2n1。

（5分）
n
12n
(2)由(1)知，，∴∴。

（10分）
S21
n S2m163m6
n m
12
18．（本题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
n
x y nx y
i i
i
1a y bx
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b
＝，，
n
2
x nx
2
i
i1
^ ^ ^
b a
其中x，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y＝x＋.
aˆyˆ
＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)x＝100时，yˆ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
19、（本题满分12分）
已知函数f(x)e x ax b.
(1)若f(x)在x2有极小值1e2，求实数a,b的值；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求实数a的取值范围.
7
(2) 0
a e
f e
a
/
2
2
【解析】(1) f / (x ) e x a ，依题意得
，解得
，故所求
2 2
f (2) e 2a b 1e
b 1
的实数 a e 2 ,b 1.（6分）
(2)由(1)得 f / (x ) e x
a .因为 f (x ) 在定义域 R 内单调递增，所以 f / (x ) e x a 0在 R 上
恒成立，
即 a
e x , x R 恒成立，因为 x R ,e x (0, ) ，所以 a 0 ，所以实数 a 的取值范围为
(
,0]
.（12分）
20. （本题满分 12分）
（ 文 科 ） 如 图 ， 三 棱 台 ABC EFG 的 底 面 是 正 三 角 形 ， 平 面 ABC 平 面 BCGF ，
CB GF BF
CF
2 ，
.
(Ⅰ)求证： AB CG ；(Ⅱ)若 ABC 和梯形 BCGF 的面积都等于 3 ，求三棱锥G ABE 的 体积.
解： (Ⅰ)证明：
∴CD//GF，
∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG//DF. ∵BF CF，D为BC的中点，
∴ DF BC ，∴CG BC .
∵平面 ABC 平面 BCGF ，且交线为 BC ，CG
平面 BCGF ，
∴CG ⊥平面 ABC ，而 AB 平面 ABC ， ∴CG AB .
…………………………5分
(Ⅱ)∵三棱台 ABC EFG 的底面是正三角形，且CB 2GF ， ∴ AC
2EG ，∴ S
2S
，
ACG AEG
1
1
∴ . V
V
V
V
G ABE B AEG B ACG
G ABC
2 2
由(Ⅰ)知，CG 平面 ABC .
∵正 ABC 的面积等于 3 ，∴ BC 2 ，GF
1.
∵直角梯形 BCGF 的面积等于 3 ，
1
2CG
2
∴
3 ，∴CG
3 ，
2
3
1 1 1 1
∴V
V
S
CG .…………………………12分
G ABE G ABC
ABC
2
2 3
3
21. （本题满分 12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为 、 ，离心率
，点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 点
，求点 的横坐标的取值范围；
c
a
b
a
1 1
2
2
2
2
解析：（1）因为点 D (0,1)在椭圆 E 上，所以b 1。

，解得
e
2
a
a
a
2
2
2
2
a
2
x
2
椭圆 E 的方程为
y 2 1。

…………………………5分
2
直线过椭圆的右焦点，方程有两个不等实根.
记，中点，
则，，，
9
垂直平分线 的方程为 .
令
，得 .
，
. 的取值范围为
. …………………………12分
22. （本题满分 12分） 已知函数 f (x ) ln x , g (x ) f (x )ax 2 3x ，，函数 g (x ) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行
于 x 轴. (1)求 a 的值；
(2)求函数 g (x ) 的极小值；
(3)设斜率为 k 的直线与函数 f (x ) 的图象交于两点 A (x , y ), B (x y ), (x
x ) ，，证明：
1
1
2 2
1
2
1
1 k x
k
2
1
.
【答案】(1) (2) 函数 的极小值为 .(3) 见解析 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得
，解得
.（2）先求导函数零点，
列表分析导函数符号变化规律，进而确定极小值点（3）先利用斜率公式化简所证不等式
，再利用换元
转化为
，最后根据导数分别证明
及
试题解析：解：(1)依题意得 ，则
.
由函数
的图象在点
处的切线平行于 轴得：
，所以
.…………………………4分
(2)由(1)得 ，
因为函数 的定义域为 ，令
得
或
.
函数 在
上单调递增，在
上单调递减；在 上单调递增，
故函数
的极小值为
.…………………………8分
(3)证法一：依题意得 ， 要证
，即证
，
因，即证，
令，即证，
令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以①
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即②
综①②得，即.
证法二：依题意得，
令，则，
由得，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，又，
所以，即.…………………………12分。