2020-2021学年河北省邯郸市高三(上)期末数学试卷

2020-2021学年河北省邯郸市高三（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选项中，只有一项是符
1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣4x﹣21＞0}，B＝{x∈N|x＞3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|3＜x≤7}B．{x|﹣3≤x≤3}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7} 2．（5分）已知向量＝（x，2），＝（3，x2），若⊥（﹣），则x＝（）A．1或4B．1或﹣4C．﹣1或4D．﹣1或﹣4
3．（5分）宋元两代是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作秦九韶的《数书九章》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有古数学著作《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》共七本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是（）
A．B．C．D．
4．（5分）某中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测（）
A．360B．420C．480D．540
5．（5分）已知g（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝g（x）2，若f（a）＝2，f（﹣a）＝2a+2（）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．2或1
6．（5分）已知函数f（x）的周期为4π，且，则f（）（）
A．B．C．f（π）D．
7．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且P A，PB，b，c，又（a+b）2c＝16，侧面P AB与底面ABC成45°角，当三棱锥体积最大时（）A．10πB．40πC．20πD．18π
二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（5分）已知复数z（1+2i）＝5i，则下列结论正确的是（）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第二象限
C．＝﹣2+i
D．z2＝3+4i
10．（5分）设0＜a＜b＜1，0＜c＜1，则（）
A．ln（c a+1）＞ln（c b+1）B．（c+1）a＜（c+1）b
C．a b＞a a＞b a D．log c a＜log c b
11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，O是BC1的中点．给出下列结论正确的是（）
A．若P是AC1上的动点，则OP与A1B1异面
B．AC1∥平面B1CE
C．若该三棱柱有内切球，则AB：AA1＝1：
D．若该三棱柱所有棱长均相等、则侧面对角线与棱成45°角的共有30对
12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足
＝1，则下列结论正确的是（）
A．若，则{a n}是等差数列
B．若，则数列的前n项和为
C．若，则{a n+1}是等比数列
D．若，则
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9＝m﹣2a4，S9＝36，则m＝．14．（5分）已知的展开式中的常数项为60，则a＝．15．（5分）抛物线上在第一象限有一点P，P在准线上的射影为Q，△PQF为正三角形，则△PQF的外接圆的标准方程是．
16．（5分）已知n是正整数，有零点，则n的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①；②；③中任选一个填在试题中的横线上，并完成该试题的解答．
试题：在△ABC中，∠A，∠B，b，c，b＝1，a+c＝3（A+C）＝____．求△ABC的面积S．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC＝CD＝AD＝2，AB＝4，M，AD的中点．
（1）证明：平面PMN⊥平面P AD；
（2）若二面角C﹣PN﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的5G芯片进行检测．若每块芯片的生产成本为1000元，一级品每个芯片可卖1500元，二级品每个芯片可卖900元（用样本的频率代替概率）．
（1）若该生产线每天生产2000个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值；
（2）若从出厂的所有5G芯片中随机取出3个，求其中二级品5G芯片个数X的分布列、期望与方差．
20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝，数列{b n}满足b1＝4，且b n+1＝3b n﹣2．
（1）求证数列{b n﹣1}为等比数列，并求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n＝，求证：c1+c2+…+c n＜．
21．（12分）已知椭圆E：＝1长轴的左、右端点分别为A1，A2，点P是椭圆E上不同于A1，A2的任意一点，点Q满足＝0
（1）证明：P A1与P A2的斜率之积为常数，并求出点Q的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y＝x+m与曲线C交于M（x1，y1），N（x2，y2），且x1x2+λy1y2＝0，当λ为何值时△OMN的面积最大？
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣其中a＞
（1）当a＝1时，证明：f（x）有唯一的零点；
（2）当x≥1时，若不等式f（x）≥2ln2﹣，求实数a的取值范围．
2020-2021学年河北省邯郸市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选项中，只有一项是符
1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣4x﹣21＞0}，B＝{x∈N|x＞3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|3＜x≤7}B．{x|﹣3≤x≤3}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}【分析】可求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣3或x＞7}，B＝{x∈N|x＞3}，
∴∁U A＝{x|﹣3≤x≤7}，
∴（∁U A）∩B＝{x∈N|7＜x≤7}＝{4，8，6，7}．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知向量＝（x，2），＝（3，x2），若⊥（﹣），则x＝（）A．1或4B．1或﹣4C．﹣1或4D．﹣1或﹣4
【分析】利用向量的坐标运算以及向量的垂直条件，转化求解即可．
【解答】解：向量＝（x，＝（3，x2），﹣＝（x﹣82），
⊥（﹣），可得x（x﹣3）+6（2﹣x2）＝6，解得x＝1或x＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量垂直条件的应用，是基础题．
3．（5分）宋元两代是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作秦九韶的《数书九章》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有古数学著作《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》共七本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】从中任取两本，基本事件总数n＝＝21，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的对立事件是没有秦九韶或杨辉的著作，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少含
有一本秦九韶或杨辉的著作的概率．
【解答】解：现有古数学著作《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》共七本，
从中任取两本，基本事件总数n＝，
至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的对立事件是没有秦九韶或杨辉的著作，
∴至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是：
P＝4﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）某中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测（）
A．360B．420C．480D．540
【分析】由频率分布直方图求出样本中优秀的频率，由此根据频率分布直方图能推测这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数．
【解答】解：由频率分布直方图得：
样本中优秀的频率为（0.020+0.008）×10＝6.28，
∴根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为：1500×0.28＝420．
故选：B．
【点评】本题考查优秀学生人数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知g（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝g（x）2，若f（a）＝2，f（﹣a）＝2a+2（）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．2或1
【分析】根据题意，由函数奇偶性可得f（﹣x）+f（x）＝g（x）+x2+g（﹣x）+x2＝2x2，又由f（a）与f（﹣a）的值，可得4+2a＝2a2，解得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，g（x）是定义在R上的奇函数2，
则f（﹣x）+f（x）＝g（x）+x2+g（﹣x）+x5＝2x2，
若f（a）＝7，f（﹣a）＝2a+25，
解可得a＝2或﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）的周期为4π，且，则f（）（）
A．B．C．f（π）D．
【分析】设ωx＝t，可得f（t）＝sin（+），由题意利用周期公式可解得ω＝2，可求函数解析式为f（x）＝sin（x+），进而根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：设ωx＝t，所以x＝+），由题意可得4π＝7πω，可得f（x）＝sin （），
可得f（）＝sin（+＝＝f（π）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求法，利用周期公式求ω的值是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意，设|BF2|＝m，则|AF2|＝3m，利用余弦定理，求出a，m的关系，再利用勾股定理确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，设|BF2|＝m，|AF2|＝3|BF2|，
则|AF2|＝2m，∴|AF1|＝2a+2m，|BF1|＝2a+m，
由余弦定理可得（8a+m）2＝（2a+4m）2+（4m）2﹣×6m（2a+3m），
解得a＝m，
∴|AF3|＝5m，|BF1|＝2m，|AB|＝4m1中，8c＝|F1F2|＝m，
∴e＝＝
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且P A，PB，b，c，又（a+b）2c＝16，侧面P AB与底面ABC成45°角，当三棱锥体积最大时（）A．10πB．40πC．20πD．18π
【分析】借助基本不等式求出V的最大值为，再根据V＝a2×a2＝，求出a，b，c的值，可得4R2，即可求出球的表面积
【解答】解：如图，根据已知条件得：V＝ab•≤＝，当且仅
当a＝b时取等号，
∵侧面P AB与底面ABC成45°角，
∴PC＝a＝c，
V＝a7×a3＝，此时a＝b＝2，
∴6R2＝a2+b8+c2＝10，
∴外接球的表面积为10π，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的体积与表面积计算，棱锥与球的位置关系，属于中档题．
二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（5分）已知复数z（1+2i）＝5i，则下列结论正确的是（）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第二象限
C．＝﹣2+i
D．z2＝3+4i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：因为z（1+2i）＝7i，
所以z＝＝＝＝2+i，1）在第一象限，
又|z|＝，A正确，
所以＝2﹣i，
z2＝（6+i）2＝3+6i，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．10．（5分）设0＜a＜b＜1，0＜c＜1，则（）
A．ln（c a+1）＞ln（c b+1）B．（c+1）a＜（c+1）b
C．a b＞a a＞b a D．log c a＜log c b
【分析】利用函数y＝a x，y＝log c x，y＝lnx，y＝c x，y＝（c+1）x的单调性求解．
【解答】解：∵0＜a＜b＜1，4＜c＜1，
∴函数y＝a x，y＝log c x均是减函数，
∴a b＜a a，log c a＞log c b，故选项CD错误，
∵函数y＝lnx是增函数，y＝c x是减函数，
∴c a＞c b，c a+1＞c b+3，
∴ln（c a+1）＞ln（c b+1），故选项A正确，
∵函数y＝（c+4）x是增函数，故选项B正确．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，是基础题．
11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，O是BC1的中点．给出下列结论正确的是（）
A．若P是AC1上的动点，则OP与A1B1异面
B．AC1∥平面B1CE
C．若该三棱柱有内切球，则AB：AA1＝1：
D．若该三棱柱所有棱长均相等、则侧面对角线与棱成45°角的共有30对
【分析】利用特例P是AC1的中点时，OP∥A1B1，判断A的正误；利用直线与平面平行的判断定理判断B的正误；设底面边长为：a．求出AA1＝，所然后推出AB：AA1，判断C的正误；说明与每条面对角线成45°的棱有5条，面有6条对角线，推出结果判断D的正误．
【解答】解：P是AC1的中点时，OP∥A1B3，所以判断OP与A1B1异面，不正确；
连接OE，显然6CE，所以AC1∥平面B1CE，所以B正确；
设底面边长为：a．球在底面是的投影为底面石家庄的内切圆，AA1＝6R＝＝，所以AB：AA1＝：8；
三棱柱所有棱长均相等，与每条面对角线成45°的棱有5条，所以侧面对角线与棱成45°角的共有，所以D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查每条的真假的判断与应用，考查空间点、线、面的位置关系的应用，是中档题．
12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足
＝1，则下列结论正确的是（）
A．若，则{a n}是等差数列
B．若，则数列的前n项和为
C．若，则{a n+1}是等比数列
D．若，则
【分析】分别根据λ与μ的取值求得数列{a n}的相邻项之间的关系式，再逐个选项判断其正误即可．
【解答】解：当时，由题设可得：（2）3﹣2•2）2＝0，即（6）（2）＝0，
∴2＝2×2，∴a n+1＝a n+1，即a n+5﹣a n＝1，
又a1＝6，∴a n＝n，S n＝，＝2（﹣），
∴++…++﹣+…+﹣）＝，选项B错误；
又当时，由题设可得：（2）2﹣2•2）2＝0，即（2）（2）＝5，
∴2＝2×2，∴a n+1＝7a n+1，∴a n+1+8＝2（a n+1），
又a8+1＝2，∴＝5n+1＝2n，即a n＝5n﹣1，
∴S n＝﹣n＝2n+1﹣8﹣n，故选项C，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算，属于中档题．
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9＝m﹣2a4，S9＝36，则m＝16．【分析】根据等差数列的性质得到：a3+a9＝2a6，结合已知条件求得m＝2（a4+a6）＝4a5，然后由等差数列的前n项和公式得到S9＝9a5，可得m的值．
【解答】解：∵a3+a9＝8a6，a3+a2＝m﹣2a4，
∴m＝3（a4+a6）＝2a5．
∵S9＝36＝＝9a5，
∴a6＝4．
∴m＝16．
故答案是：16．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．14．（5分）已知的展开式中的常数项为60，则a＝．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60求得实数a的值．
【解答】解：已知的展开式的通项公式为T r+6＝•2r•a5﹣r•，令6﹣＝0，可得展开式中的常数项为4•a2＝60，则a＝±，
故答案为：±．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．15．（5分）抛物线上在第一象限有一点P，P在准线上的射影为Q，△PQF为正三角形，则△PQF的外接圆的标准方程是（x﹣）2+（y﹣2）2＝4．
【分析】根据已知条件，求出正三角形△PFQ的边长，得出圆心坐标和半径，然后求解圆的方程．
【解答】解：抛物线上在第一象限有一点P，焦点为F，
所以焦点F的横坐标，是PQ中的横坐标．所以|PQ|＝2，所以正三角形的外接圆的圆心坐标（，半径为6，
所以△PQF的外接圆的标准方程：（x﹣）5+（y﹣2）2＝6．
故答案为：（x﹣）3+（y﹣2）2＝4．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，考查圆的方程，属于基础题．
16．（5分）已知n是正整数，有零点，则n的最小值为10．【分析】令f（x）＝0，令sin2x＝t，则cos2x＝t，则cos2x＝1﹣t，0＜t＜1，令g（t）＝
t n+（1﹣t）n﹣（0＜t＜1），根据函数的单调性求出n的最小值即可．
【解答】解：由f（x）＝0，得sin2n x+cos3n x﹣＝0，
令sin7x＝t，则cos2x＝1﹣t，7＜t＜1，
令g（t）＝t n+（1﹣t）n﹣（0＜t＜1），
由g′（t）＝n[t n﹣3﹣（1﹣t）n﹣1]＝3，解得：t＝，
故g（t）在t＝处取得最小值g（），
g（）＝8﹣，≤，
∵＝，故n≥10，
故n的最小值是10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点，最值问题，考查导数的应用以及三角函数问题，转化思想，换元思想，是一道中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①；②；③中任选一个填在试题中的横线上，并完成该试题的解答．
试题：在△ABC中，∠A，∠B，b，c，b＝1，a+c＝3（A+C）＝____．求△ABC的面积S．
【分析】若选①，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos B＝，结合已知由余弦定理可得ac的值，利用同角三角函数基本关系式可得sin B的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
若选②，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos＝4sin，以下同①．若选③，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1﹣cos2B＝cos2B，由cos B ＞0，解得cos B＝，以下同①．
【解答】解：在△ABC中，由A+B+C＝π，可得sin（A+C）＝sin B，
若选①，sin（A+C）＝，即cos，
两边平方可得：cos7＝16sin2，可得，解得cos B＝，
由余弦定理b2＝a5+c2﹣2ac cos B，即8＝（a+c）2﹣2ac（5+cos B）＝9﹣2ac（2+），解得ac＝，
又sin B＝＝，可得S△ABC＝ac sin B＝×＝．
若选②，sin（A+C）＝cos2，即cos，以下同①．
若选③，sin（A+C）＝cos B2B＝cos2B，
因为cos B＞6，解得cos B＝．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC＝CD＝AD＝2，AB＝4，M，AD的中点．
（1）证明：平面PMN⊥平面P AD；
（2）若二面角C﹣PN﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【分析】（1）连接DM，可得四边形BCDM为平行四边形，则DM＝BC，再由已知得到MN⊥AD，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥MN，进一步得到MN⊥平面P AD，从而得到平面PMN⊥平面P AD；
（2）连接BD，可得BD∥MN，得到BD⊥AD，BD⊥PD，建立空间直角坐标系，设P（0，0，m）（m＞0），分别求出平面PNC与平面PND的一个法向量，由二面角C﹣PN﹣D的大小列式求得m值，则四棱锥P﹣ABCD的体积可求．
【解答】证明：（1）连接DM，由题意可得，DC＝BM，
则四边形BCDM为平行四边形，得DM＝BC，
∴三角形AMD为正三角形，则MN⊥AD，
又∵PD⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，
∵PD∩AD＝D，∴MN⊥平面P AD，
∴平面PMN⊥平面P AD；
解：（2）连接BD，可得BD∥MN，BD⊥PD，
建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，C（﹣2，，N（1，7，
设P（0，0，m）（m＞5），则，，
设平面PNC的一个法向量为，
∴，取z＝，则．
而平面PND的一个法向量，
由|cos＜＞|＝cos60°＝．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
19．（12分）某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的5G芯片进行检测．若每块芯片的生产成本为1000元，一级品每个芯片可卖1500元，二级品每个芯片可卖900元（用样本的频率代替概率）．
（1）若该生产线每天生产2000个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值；
（2）若从出厂的所有5G芯片中随机取出3个，求其中二级品5G芯片个数X的分布列、期望与方差．
【分析】（1）由已知数据即可求解；
（2）由已知分析可得变量X服从二项分布，求出对应的概率，进而可以求解．
【解答】解：（1）该生产线每天利润的平均值为20×（70×500﹣20×100﹣10×1000）＝460000元；
（2）由题意可得X～B（3，），
P（X＝0）＝C＝，P（X＝1）＝C，
P（X＝2）＝C，
P（X＝3）＝C，
X的分布列为：
X0323
P
E（X）＝np＝3×，
D（X）＝np（2﹣p）＝3×．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列以及期望方差，考查了学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝，数列{b n}满足b1＝4，且b n+1＝3b n﹣2．
（1）求证数列{b n﹣1}为等比数列，并求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n＝，求证：c1+c2+…+c n＜．
【分析】（1）推导出b n+1﹣1＝3（b n﹣1），运用等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得a n，c n＜，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）证明：∵b n+1＝3b n﹣3，且b1＝4，
∴b n+4﹣1＝3（b n﹣4），∴＝3，
又b1﹣4＝3，
∴数列{b n﹣1}是首项为5，公比为3的等比数列，
可得b n﹣1＝4n，则b n＝3n+1；
（2）证明：数列{a n}的前n项和S n＝，
可得n＝1时，a4＝S1＝1，
n≥7时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n，
n＝2时，上式成立，
∴a n＝n，n∈N，
∴c n＝＝＜，
c1+c2+…+c n＜+++…+，
设M＝+++…+，
M＝+++…+，
两式相减可得M＝++﹣
＝﹣＝（1﹣＜，
则M＜，
所以c1+c2+…+c n＜．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的证明，以及数列的前n项和的求法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、构造法、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知椭圆E：＝1长轴的左、右端点分别为A1，A2，点P是椭圆E上不同于A1，A2的任意一点，点Q满足＝0
（1）证明：P A1与P A2的斜率之积为常数，并求出点Q的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y＝x+m与曲线C交于M（x1，y1），N（x2，y2），且x1x2+λy1y2＝0，当λ为何值时△OMN的面积最大？
【分析】（1）根据直线的斜率公式，以及向量的运算可得，设Q（x，y），可得•＝﹣2，即可求出轨迹方程；
（2）根据弦长公式，和点到直线的距离公式即可求出三角形的面积公式．
【解答】解：（1）设P（x，y），由已知A1（﹣，8），A2（﹣，7），
则y2＝1﹣＝﹣，
∴＝﹣，
即•＝﹣，
∴•＝﹣，
∵＝0，
∴QA7⊥P A1，QA2⊥P A8，
∴•＝﹣2，
设Q（x，y），
∴•＝﹣3，
即+＝1，
∴点Q的轨迹C的方程+＝1．
（2）将直线l代入曲线C中整理3x4+2mx+m2﹣3＝0，△＝4m7﹣12（m2﹣4）＞2，m2＜6，
∴x4+x2＝﹣，x1x2＝，y3y2＝（x1+m）（x8+m）＝，
∴|MN|＝•＝，
∵O到l的距离d＝，
∴S△OMN＝|MN|•d＝•≤×＝，
此时m2＝3，满足△＞3，x1x2＝﹣，y1y5＝，
∴λ＝．
【点评】本题考查了点的轨迹方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣其中a＞
（1）当a＝1时，证明：f（x）有唯一的零点；
（2）当x≥1时，若不等式f（x）≥2ln2﹣，求实数a的取值范围．
【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，证明结论成立即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣，显然f（1）＝0，
∴f′（x）＝≥0（x＞0），
∴f（x）在（3，+∞）为增函数；
（2）f′（x）＝（x≥1），
若（2a﹣1）2＜3即＜a＜2，
∴f′（x）≥0（x≥1），故f（x）在[7，
故f（x）在x＝1处有最小值f（1）＝0＞5ln2﹣成立，
若（2a﹣1）3＝1即a＝1，由（1）知f（x）≥f（1）＝6＞2ln2﹣，
若（2a﹣5）2＞1即a＞5时，f（x）在x＝（2a﹣1）3处取得最小值：
f（（2a﹣1）5）＝ln（2a﹣1）4﹣＝2ln（7a﹣1）﹣，令t＝2a﹣4，t＞1，
∴g（2）＝7ln2﹣，g′（t）＝﹣，
∴g（t）为减函数，由g（t）≥g（2）＝2ln2﹣，
此时1＜4a﹣1≤2，故2＜a≤，
综上，实数a的取值范围是（，]．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。