高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理85

课时跟踪检测（二十三） 不 等 式（小题练）
A 级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2
>bc 2
B.a b
>1 C ．a －c >b －c
D ．a 2
>b 2
解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2
＝bc 2
，故A 错；a >b ，若b <0，则a b
<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2
<b 2
，故D 错．于是选C.
2．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n
，n ∈N *
，n >2，则f (n )，g (n )，
φ(n )的大小关系是( )
A ．φ(n )<f (n )<g (n )
B ．φ(n )≤f (n )<g (n )
C ．f (n )<φ(n )<g (n )
D ．f (n )≤φ(n )<g (n )
解析：选C f (n )＝n 2
＋1－n ＝1
n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所
以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.
3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则2a ＋3
b
的最小
值为( )
A ．24
B ．25
C ．26
D ．27
解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6a
b ≥13＋2
6b a ·6a
b
＝
25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3
b
的最小值为25.
4．(2018·陕西模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，
则z ＝2x ＋y 的最大值
为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值，且
z max ＝2×2－1＝3.
5．不等式x 2＋x －6
x ＋1
>0的解集为( )
A ．{x |－2<x <－1，或x >3}
B ．{x |－3<x <－1，或x >2}
C ．{x |x <－3，或－1<x <2}
D ．{x |x <－3，或x >2}
解析：选B x 2＋x －6
x ＋1>0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋x －6<0，
x ＋1<0，解得－3<x <－1或x >2.
选B.
6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ，x >0，－2x ＋1
2，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；
若f (x )<0，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >0，
log 2x <0或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，－2x ＋1
2<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1，
所以“f (x )<0”⇒/ “0<x <1”．故选A.
7．(2018·重庆模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，
y －2≤0，
则2x ＋y 的最小
值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点
A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选
B.
8．(2018·广东模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
－2x ，x ≥0，
x 2
－2x ，x <0，若f (3－a 2
)<f (2a )，则实
数a 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(－3,1)
C ．(－2,0)
D ．(－3,2)
解析：选B 如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2
)<f (2a )，∴3－a 2
>2a ，解得－3<a <1.
9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋
x 2－x 2
a
对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2
－1.所
以
t 2－1
2
a
≥1＋
t 2－1
2
－t ＝
t 2－2t ＋1
2
＝
t －1
2
2
对t ≥1恒成立，所以
t ＋1
2
a
≥12
对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.
10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1
b 2－1
的最小值为( )
A ．3
B ． 3
C ．2
D. 2
解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝1
2，
即log a b ＝12，a ＝b 2
，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2
a －1·1
a －1
＋1＝3，当且仅
当a ＝2时取等号．故a ＋
1
b 2
－1
的最小值为3. 11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x 的不等式ax 2
－ax －2a 2
>1(a >0，a ≠1)的
解集为(－a,2a )，且函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( )
A ．(－1,0)
B ．[－1,0]
C ．(0,1]
D ．[－1,1]
解析：选B 当a >1时，由题意可得x 2
－ax －2a 2
>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得x 2
－ax －2a 2
<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2
＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.
12．(2018·郑州模拟)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，
x －1≥0，
则xy 的取值范围是
( )
A ．[0,5]
B ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤5，354 C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，354
D ．[0,9]
解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x ＝1，y ＝0时取得)；
xy ≤x (6－x )≤⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤x ＋6－x 22＝9，即xy ≤9，当x ＝3，y ＝3时取等号，
即xy 的最大值为9，故选D.
二、填空题
13．已知关于x 的不等式2x ＋2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．
解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋
2x －a ＝2(x －a )＋2
x －a
＋2a ≥2 2
x －a ·
2
x －a
＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为3
2
.
答案：3
2
14．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π
2，0<α＋β<π，则3α－β
的取值范围是________．
解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝3，
n －m ＝－1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，
n ＝1.因为－π2<α－β<π
2
，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α
－β<2π.
答案：(－π，2π)
15．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，
x －5≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值
为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，
x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.
答案：9
16．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.
解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R)的图象在x 轴上方，且与x 轴相切，因此有Δ＝a 2
－4b ＝0，即b ＝a 2
4
，
∴f (x )＝x 2
＋ax ＋b ＝x 2
＋ax ＋a 24
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
<c ，解得－
c <x ＋a 2
<c ，－c －a 2
<x <c －a 2
.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫c －a 2－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.
答案：9
B 级——难度小题强化练
1．(2018·合肥二模)若关于x 的不等式x 2
＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，1]
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2
＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2
x ＝2
x
－x ，
设f (x )＝2
x
－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函
数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.
法二：设g (x )＝x 2
＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.
2．(2018·衡水二模)若关于x 的不等式x 2
－4ax ＋3a 2
＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则
x 1＋x 2＋a
x 1x 2
的最小值是( )
A.63 B ．233
C.43
3
D.26
3
解析：选C ∵关于x 的不等式x 2
－4ax ＋3a 2
＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2
－12a 2
＝4a 2
＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2
，∴x 1＋x 2＋
a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋1
3a ≥24a ·1
3a
＝
433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是43
3
. 3．(2018·沈阳一模)设不等式x 2
－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－1，115
B ．⎝
⎛⎭⎪⎫1，115
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，115
D ．[－1,3]
解析：选A 设f (x )＝x 2
－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2
－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且
A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －
2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，
f 1≥0，
f 3≥0，1≤a ≤3，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥2或a ≤－1，
a ≤3，
a ≤115，
1≤a ≤3.
所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.
4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原
料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )
A ．1 800元
B ．2 100元
C ．2 400元
D ．2 700元
解析：选C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
，
z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ≤12，
3x ＋y ≤12，
x ≥0，
y ≥0
所表示的可行域，
如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.
5．当x ∈(0,1)时，不等式
41－x ≥m －1
x
恒成立，则m 的最大值为________． 解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋4
1－x ，∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1，
∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝5＋1－x x ＋4x 1－x
≥5＋2 1－x x ·4x
1－x
＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝1
3
时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：9
6．(2018·洛阳尖子生统考)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥x ，
3x ＋4y ≤12，
则
x ＋2y ＋3
x ＋1
的取值范围是________．
解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，
x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1
x ＋1
表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x ＝0，y ＝3时，
x ＋2y ＋3
x ＋1
取得最大
值，且⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max
＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，所以当点(x ，y )在线段AO 上
时，
x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min
＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．
答案：[3,9]。