江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题

江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、若复数z ＝1＋3i
1－i
(i 为虚数单位)，则||z = ▲ ．
2
、已知集合{2}A a =，{1,1,3}B =-，且A B ⊂，则实数a 的值是 ▲ ． 3、某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．
4、已知双曲线
22
14x y m -=
的渐近线方程为y x =，则实数m= ▲ ． 5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．
6、从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ ．
7、若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ． 8、在等比数列{}n a 中,已知34a =，752320a a --=，则7a = ▲ ．
9、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，2()3f x x x =--，则不等式
()3f x x >-+的解集是 ▲ ．
10、已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m·n ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝ ▲ ．
11、如图,在△ABC 中，D 是BC 上的一点．已知B=60°，AD=2，
AC=，DC=，则AB= ▲ ．
12、如图，在ABC ∆中，AB AC =，2BC =，AD DC =，1
2
AE EB =
，若1
2
BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ▲ ．
13、在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆
C :x 2+y 2
-6x+5=0相交于不同的两点A ,B ，若A 恰为线段OB 的中点，
则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ．
14、已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x 2
－3x ，x ≤0，
e x ＋e 2，x ＞0.若不等式
f (x )≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数
k 的取
值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15、(本小题满分14分)
如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 、E 分别为BC 、CC 1中点，
BC 1⊥B 1D ．
求证：(1) DE ∥平面ABC 1；(2) 平面AB 1D ⊥平面ABC 1．
16、(本小题满分14分)
在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋1
2
c ＝b .
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．
第12题图
17、(本小题满分14分)
如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，
且满足F 1M →＝λMP →
(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．
(1) 若椭圆方程为x 28＋y 2
4＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；
(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．
18、(本小题满分16分)
如图,某市有一条东西走向的公路l ,现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A 为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ,m ,欲再新建一条公路PQ ,点P ,Q 分别在公路l ,m 上(点P ,Q 分别在点O 的正东、正北方向),且要求PQ 与圆A 相切. (1) 当点P 距O 处2百米时,求OQ 的长; (2) 当公路PQ 的长最短时,求OQ 的长.
19、(本小题满分16分)
已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2
－4x ． （1）当6a =-时，求函数f (x )的极值；
（2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；
（3）设g (x )＝2a l n x ＋x 2
－5x －1＋a x
，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实
数a 的取值范围．
20、(本小题满分16分)
已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *
，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．
(1) 若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；
(2) 设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *
，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2
a 1
. 答案
1 2、1； 3、16； 4、2； 5、28；
6、
25； 7、3； 8、64； 9、(3,)+∞ ；10、725-；
11； 12、43-； 13； 14、2[3,]e -
15、证明：(1) ∵ D 、E 分别为BC 、CC 1中点，∴ DE ∥BC 1.(2分)
∵ DE
平面ABC 1，BC 1⊂平面ABC 1，∴ DE ∥平面ABC 1.(6分)
(2) 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，∵ AD ⊂平面ABC ，∴ CC 1⊥AD.(8分)
∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴ AD ⊥BC.∵ CC 1∩BC＝C ，CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， ∴ AD ⊥平面BCC 1B 1.∵ BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴ AD ⊥BC 1.(11分)
∵ BC 1⊥B 1D ，B 1D∩AD＝D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，∴ BC 1⊥平面AB 1D. ∵ BC 1⊂平面ABC 1，∴平面AB 1D ⊥平面ABC 1.(14分)
16、解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．
由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，··································3分
所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．
因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝1
3
．·····························7分 （2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2
＝ac ．
由正弦定理，得sin 2
B ＝sin A ·sin
C ． ·································································9分
因为
cos B ＝
1
3
，B 是△ABC
的内角，所以
sin B ＝
22
3
．·······························11分 又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C
＝
sin(A ＋C )
sin A ·sin C
＝
sin B sin A ·sin C
＝
sin B sin 2B
＝
1sin B
＝
32
4
．········································14分
17.解：(1) ∵x 2
8＋y 2
4＝1，∴ F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴ k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝2
4
，
∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝
2
4
(x ＋2)．(4分) 由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－2（x －2），y ＝24（x ＋2），解得x ＝65，∴点M 的横坐标为65.(5分) (2) 设P(x 0，y 0)，M(x M ，y M )，
∵F 1M →＝2MP →，∴F 1M →＝2
3
(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，
∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c ，23y 0.
∵ PO ⊥F 2M ，OP →
＝(x 0，y 0)，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 2
0＝2cx 0.(8分)
联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2
0＋y 2
0＝2cx 0，x 20a 2＋y 2
0b 2＝1，消去y 0得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2
)＝0，
解得x 0＝a （a ＋c ）c 或 x 0＝a （a －c ）
c .(11分)
∵－a<x 0<a ，∴ x 0＝a （a －c ）c ∈(0，a)，∴ 0<a
2
－ac<ac ，解得e>1
2
.
综上，椭圆离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.(14分)
18.解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系．
设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为
22(1)1x y +-=，
(1)由题意可设直线PQ 的方程为
12x y
q
+=，即220qx y q +-=，(2)q >， ∵PQ 与圆A
1=，解得8
3q =，
故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为8
3
百米．……………6分 （2）设直线PQ 的方程为
1x y
p q
+=，即0qx py pq +-=，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A 相切，
1=，
化简得2
2q p q =-，则2222
2
q
P Q p q q q =+=+-，
……9分
令2
()(2)2q f q q q q =+>-，∴222
22(1)(31)()2(2)(2)
q q q f q q q q --+'=-=--(2)q >，
当2q <<
()0f q '<，即()f q 在上单调递减；
当q >
()0f q '>，即()f q 在3()2
+∞上单调递增，
∴()f q 在32
q =
PQ 长最短时，OQ 百米．
答：（1)当P 距O 处2百米时，OQ 的长为
8
3
百米；（2）当公路PQ 长最短时，OQ 的
分
19. （1）定义域为{}|0x x >，2(1)(3)
()x x f x x
+-'=
，令()0f x '=，则3x =
当03x <<时，()0f x '<；当3x >时，()0f x '>
所以当3x =时()f x 有极小值(3)36ln 3f =--，无极大值.……………………4分
(2)22(1)2
()x a f x x
-+-'=，
①当2a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增，成立；……………………6分
②当2a <-时，令()0f x '>，则1x >+1x <
所以()f x 在[2,3]上存在单调递增区间，所以13+，解得6,2a -<
综上，6a >-.…………………………………………………………………………10分 （3）在[1,e ]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x
+=+-在[1,e ]上的最小值小于零．
有2
2221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==
①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1e ，上单调递减，
所以()h x 的最小值为()h e ，由()10a
h e e a e +=+-<可得211
e a e +>-，
因为2111e e e +>--，所以21
1e a e +>-；………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，
所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-；………14分
③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，
故()()12ln 12h a a a a +=+-+>此时不存在0x 使()00h x <成立．
综上可得所求a 的范围是：211
e a e +>-或2a <-．………16分
20. (1) 解：因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则 a 3＝3－2d ，a 4＝3－d.
因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝（3－2d ）
23－d
.(3分)
因为a 2＝1，所以（3－2d ）2
3－d ＝1，解得d ＝2或d ＝3
4.
因为a n ＞0，所以d ＝3
4
.
因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d)＝1
2
.(5分)
(2) 证明：(证法1)因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列， 所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 2
2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2.②
所以a 2
2n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2.③ 所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n . 因为a n ＞0，
所以a 2n －2＋a 2n ＋2＝2a 2n .(7分) 即数列{a 2n }是等差数列．
所以a 2n ＝a 2＋(n －1)(a 4－a 2)．
由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列，可得
a 4＝（2a 2－a 1）2
a 2.
所以a 2n ＝a 2＋(n －1)(a 4－a 2) ＝（a 2－a 1）n ＋a 1a 2
.
所以a 2n ＝[（a 2－a 1）n ＋a 1]
2
a 2
.
所以a 2n ＋2＝[（a 2－a 1）（n ＋1）＋a 1]
2
a 2.(10分)
从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2
＝[（a 2－a 1）n ＋a 1][（a 2－a 1）（n ＋1）＋a 1]a 2
.
所以a 2n －1＝[（a 2－a 1）（n －1）＋a 1][（a 2－a 1）n ＋a 1]
a 2
.
①当n ＝2m ，m ∈N *
时，
a n ＋1a n －a 2a 1＝[（a 2－a 1）m ＋a 1][（a 2－a 1）（m ＋1）＋a 1]
a 2[（a 2－a 1）m ＋a 1]2a 2
－a 2
a 1
＝（a 2－a 1）（m ＋1）＋a 1（a 2－a 1）m ＋a 1－a 2a 1
＝－m （a 2－a 1）
2
a 1[（a 2－a 1）m ＋a 1]
＜0.(14分)
②当n ＝2m －1，m ∈N *
，m ≥2时，
a n ＋1a n －a 2a 1＝[（a 2－a 1）m ＋a 1]
2
a 2[（a 2－a 1）（m －1）＋a 1][（a 2－a 1）m ＋a 1]a 2
－a 2
a 1
＝（a 2－a 1）m ＋a 1（a 2－a 1）（m －1）＋a 1－a 2
a 1
＝－（m －1）（a 1－a 2）
2
a 1[（a 2－a 1）（m －1）＋a 1]
＜0.
综上，对一切n ∈N *
，且n ≥2，
都有a n ＋1a n ＜a 2
a 1
.(16分)
(证法2)①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．
因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝（2a n ＋1－a n ）a n －a 2
n ＋1
a n ＋1a n
＝－（a n ＋1－a n ）2
a n ＋1a n
≤0，
所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1
a n
.(9分)
②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1
a n
.(11分)
由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *
，a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n ≤…≤a 3a 2
.(14分)
因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2
a 1
＝2a 2a 1－a 21－a 2
2a 2a 1
＝－（a 1－a 2）2
a 2a 1
，
因为a 1＜a 2，所以－（a 1－a 2）
2
a 2a 1
＜0，
即a 3a 2＜a 2a 1
. 综上，对一切n ∈N *
，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1
.(16分)。