2021年高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解学案202108

2021年高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解学案
20210806262
微知识1 曲线运动
1．曲线运动的速度特点
质点做曲线运动时，在某一时刻的瞬时速度的方向确实是通过这一点的切线方向，因此曲线运动一定是变速运动，然而变速运动不一定是曲线运动。

2．做曲线运动的条件
(1)从运动学角度说：物体的加速度的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。

(2)从动力学角度说：假如运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。

专门提醒注意区分物体做曲线运动的条件和物体做匀变速运动的条件，假如物体所受合力为恒力，且合力与速度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动。

微知识2 运动的合成与分解
1．分运动和合运动
一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动差不多上分运动，物体的实际运动确实是合运动。

2．运动的合成
已知分运动求合运动，叫做运动的合成。

(1)同一条直线上的两分运动的合成：同向相加，反向相减。

(2)不在同一条直线上的两分运动合成时，遵循平行四边形定则。

3．运动的分解
已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

(1)运动的分解是运动的合成的逆过程。

(2)分解方法：依照运动的实际成效分解或正交分解。

一、思维辨析(判定正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

)
1．曲线运动一定是变速运动。

(√)
2．做曲线运动的物体受到的合外力一定是变化的。

(×)
3．做曲线运动的物体所受的合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。

(√)
4．只要两分运动是直线运动，合运动一定是直线运动。

(×)
5．两分运动的时刻一定与它们合运动的时刻相等。

(√)
6．合速度一定比分速度大。

(×)
二、对点微练
1．(曲线运动的性质)做曲线运动的物体( )
A．速度一定改变B．动能一定改变
C．加速度一定改变D．机械能一定改变
解析物体做曲线运动时速度的方向一定变化，速度的大小不一定变化，A项正确；而动能是标量，大小与速度的平方成正比，与速度的方向无关，B项错误；若物体运动中所受合外力是恒力，则加速度不变，如平抛运动，C项错误；除重力外若物体不受其他外力或其他外力不做功，则其机械能不变，D项错误。

答案 A
2．(物体做曲线运动条件的应用)如图所示能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是( )
解析做曲线运动的物体其速度的方向在某点切线方向上，而加速度的方向即所受合外力的方向指向曲线的凹侧，故B、C、D项错，A项正确。

答案 A
3．(运动的合成和分解)跳伞表演是人们普遍喜爱的观赏性体育项目。

如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的阻碍，下列说法正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时刻越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成损害
C．运动员下落时刻与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
解析水平风力可不能阻碍竖直方向的运动，因此运动员下落时刻与风力无关，A项错误，C项正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，则运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成损害，B、D项错误。

答案 C
见学生用书P053
微考点 1 物体做曲线运动的条件及轨迹分析
核|心|微|讲
1．条件：物体受到的合外力与初速度不共线。

2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。

3．速率变化情形判定
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。

(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。

(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

典|例|微|探
【例1】如图所示，一质点在一恒力作用下做曲线运动，从M点运动到N点时，质点的速度方向恰好改变了90°。

在此过程中，质点的动能( )
A．不断增大B．不断减小
C．先减小后增大D．先增大后减小
【解题导思】
(1)由物体的运动轨迹能否判定出物体所受合外力的可能方向？
答：能，做曲线运动的物体所受的合外力指向轨迹的凹侧，即指向右下方。

(2)合外力方向与速度方向的夹角如何变化？
答：合外力开始与速度方向的夹角大于90°，物体做减速运动；后来夹角小于90°，物体做加速运动。

解析质点受恒力F作用，M点的速度方向竖直向上，N点速度方向水平向右，因此F的方向斜向右下，与初速度方向的夹角为钝角，因此恒力F先做负功。

恒力与速度方向夹角不断减小，当夹角为锐角时，恒力做正功。

因此动能先减小后增大，C项正确。

答案 C
决定物体运动的两个因素：一是初速度，二是合力，而物体运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范畴内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。

题|组|微|练
1．(多选)一个质点受两个互成锐角的恒力F 1和F 2作用时，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F 1突然增大到F 1＋ΔF ，则质点以后( ) A ．一定做匀变速曲线运动
B ．在相等时刻内速度的变化一定相等
C ．可能做匀速直线运动
D ．可能做变加速曲线运动
解析 F 1、F 2为恒力，物体从静止开始做匀加速直线运动，F 1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，因此物体将做匀变速曲线运动，故A 项对；由加速度的定义a ＝Δv
Δt 知，在相等时刻Δt 内Δv ＝a Δt 必相等，故B 项对；做匀速直线运动的
条件是F 合＝0，因此物体不可能做匀速直线运动，故C 项错；由于F 1突变后，F 1＋ΔF 和F 2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，故D 项错。

答案 AB
2.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D 点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A 点运动到E 点的过程中，下列说法正确的是( )
A ．质点通过C 点的速率比D 点的大
B ．质点通过A 点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C ．质点通过
D 点时的加速度比B 点的大
D ．质点从B 到
E 的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
解析 质点做匀变速曲线运动，因此加速度不变，C 项错误；由于在D 点速度方向与加速度方向垂直，则在A 、B 、C 点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，因此质点由A 到B 到C 到D 速率减小，因此C 点速率比D 点的大，A 项正确，B 项错误；质点由A 到E 的过程中，加速度方向与速度方向的夹角一直减小，D 项错误。

答案 A
微考点 2 运动的合成及运动性质的分析
核|心|微|讲
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时终止，经历时刻相等(不同时的运动不能合成)。

(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不阻碍。

(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的成效。

(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。

2．运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。

典|例|微|探
【例2】 (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t ＝0时刻起，由坐标原点O (0,0)开始运动，其沿x 轴和y 轴方向运动的速度－时刻图象如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )
A ．前2 s 内物体沿x 轴做匀加速直线运动
B ．后2 s 内物体连续做匀加速直线运动，但加速度沿y 轴方向
C ．4 s 末物体坐标为(4 m,4 m)
D ．4 s 末物体坐标为(6 m,2 m) 【解题导思】
(1)物体沿x 轴和y 轴方向的分运动的性质如何？
答：物体在x 轴方向在前2 s 内做匀加速直线运动，2 s 后做匀速直线运动；在y 轴方向前2 s 静止，2 s 后做匀加速直线运动。

(2)物体的合运动的性质是直线运动吗？
答：不是，前2 s 内沿x 轴方向做匀加速直线运动，2 s 后做匀变速曲线运动。

解析 前2 s 内物体在y 轴方向速度为0，由题图甲知只沿x 轴方向做匀加速直线运动，A 项正确；后2 s 内物体在x 轴方向做匀速运动，在y 轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y 轴方向，合运动是曲线运动，B 项错误；4 s 内物体在x 轴方向上的位移是x ＝(
12×2×2＋2×2) m＝6 m ，在y 轴方向上的位移为y ＝1
2×2×2 m＝2 m ，因此4 s 末物体坐标
为(6 m ，2 m)，D 项正确，C 项错误。

答案 AD
题|组|微|练
3．如图所示，河水流淌的速度为v 且处处相同，河宽度为a 。

在船下水点A 的下游距离为b 处是瀑布。

为了使小船安全渡河(不掉到瀑布里去，且不考虑船在A 对面的上游靠岸)( )
A ．小船船头垂直河岸渡河时刻最短，最短时刻为t ＝b v
B ．小船轨迹沿y 轴方向渡河位移最小，合速度最大，最大值为v max ＝a 2＋b 2v
b
C ．小船沿轨迹AB 运动位移最大，船速最小值为v min ＝av b
D ．小船沿轨迹AB 运动位移最大，船速最小值为v min ＝
av
a 2＋
b 2
解析 当小船船头垂直河岸，渡河时刻最短，最短时刻为t ＝
a
v 船
，故A 项错误；小船轨迹沿y 轴方向时，渡河位移最小，合速度不是最大，故B 项错误；小船沿轨迹AB 运动时，位移
最大，船速与合速度垂直时最小，最小值为v min ＝av
a 2＋
b 2
，故C 错误，D 正确。

答案 D
4.如图所示，从上海飞往北京的波音737客机上午10点10分到达首都国际机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s ，竖直分速度为6 m/s ，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s 2
的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s 2
的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A ．飞机的运动轨迹为曲线
B ．经20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C ．在第20 s 内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D ．飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s
解析 由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A 项错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s 末的水平分速度为20 m/s ，竖直方向的分速度为2 m/s ，B 项错误；飞机在第20 s 内，水平位移x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0x t 20＋12a x t 220－⎝ ⎛⎭
⎪⎫v 0x t 19＋12a x t 219＝21 m ，竖直位
移y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0y t 20＋12a y t 220－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0y t 19＋12a y t 219＝2.1 m ，C 项错误；飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s ，D 项正确。

答案 D
微考点 3 关联速度问题
核|心|微|讲
1．特点
用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度重量大小相等。

2．常用的解题思路和方法
先确定合运动的方向(物体实际运动的方向)，然后分析那个合运动所产生的实际成效(一方面使绳或杆伸缩的成效；另一方面使绳或杆转动的成效)以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同)。

典|例|微|探
【例3】 如图所示，岸上的人通过定滑轮用绳子拖动小船靠岸，则当人匀速运动时，船的运动情形是( )
A ．加速运动
B ．减速运动
C ．匀速运动
D ．条件不足，不能判定
【解题导思】
(1)哪个运动是合运动？ 答：船对地的运动为合运动。

(2)将物体的运动沿哪两个方向分解？
答：将船的运动沿绳方向和垂直绳的方向分解。

解析 如图所示，设人的速度为v 人，船的速度为v 船，拉动绳子的速度为v 绳，某时刻绳与水平方向夹角为α，则
v 人＝v 绳，① v 绳＝v 船 cos α，②
由①②得v 船＝
v 人
cosα。

在拉动过程中，α越来越大，cosα不断减小，v船越来越大，即船做加速运动，故A项对，B、C、D均错。

答案 A
题|组|微|练
5. (多选)如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，现在B匀速下降，A水平向左运动，可知( )
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐步增大
D．物体A所受摩擦力逐步减小
解析把A向左的速度v沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度为v cosα，B匀速下降，v cosα不变，而α角增大，cosα减小，则v增大，因此A做加速运动，B 项正确，A项错误；由于A对地面的压力逐步减小，因此物体A所受摩擦力逐步减小，选D 项正确，C项错误。

答案BD
6.如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与重物B相连，由于B 的质量较大，在开释B后，A将沿杆上升，当A运动至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v A≠0，B未落地，这时B的速度v B＝________。

解析
环A 沿细杆上升的过程中，任取一位置，现在绳与竖直方向的夹角为α。

将A 的速度v A 沿绳方向和垂直于绳的方向进行分解，如图所示，则v 1＝v A cos α，B 下落的速度v B ＝v 1＝
v A cos α。

当环A 上升至与定滑轮的连线处于水平位置时α＝90°，因此现在B 的速度v B ＝0。

答案 0
见学生用书P054
“小船渡河”模型
素能培养
一条宽为L 的河流，水流的速度为v 1，船在静水中的速度为v 2，船从河的一边渡到对岸。

船过河的过程同时参与了两种运动，即船相关于水的运动和随水流的运动，船的实际运动为合运动。

1．船过河的最短时刻
如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，船在垂直于河岸方向的速度为v ⊥＝v 2sin θ，渡河所需时刻为t ＝
L v ⊥＝L
v 2sin θ
，当θ＝90°时，t 最小。

因此当船头垂直于河岸渡河时，渡河所需时刻最短，最短时刻为t ＝L v 2。

2．船过河的最短航程
(1)当v 2＞v 1时，如图乙所示，为了使船过河的航程最短，必须使船的合速度v 方向与河岸垂直，则船头指向上游，与河岸成一定的角度θ，cos θ＝v 1
v 2。

由于0＜cos θ＜1，因此只有在v 2＞v 1时，船才能够垂直河岸过河。

因此当v 2＞v 1时，船头与上游河岸成θ＝arccos v 1v 2
的角，船过河的航程最短，最短航程为L 。

(2)当v 2＜v 1时，不论船头方向如何，船都会被冲向下游，不可能垂直河岸过河。

如图丙所示，设船头与上游河岸成θ角，合速度与下游河岸成α角。

由图可知：α角越大，航程越短。

以v 1的矢尖为圆心、以v 2的大小为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，现在cos θ
＝v 2
v 1。

因此当v 2＜v 1时，船头与上游河岸成θ＝arccos v 2v 1
的角，船过河的最短航程为
L
cos θ
＝v 1
v 2
L 。

(3)当v 2＝v 1时，最短航程趋近于L 。

经典考题 一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s 。

(1)若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，求：
①欲使船在最短的时刻内渡河，船头应朝什么方向？用多长时刻？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时刻？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度v 2＝1.5 m/s ，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时刻？位移是多少？ 解析 (1)若v 2＝5 m/s ，
①欲使船在最短时刻内渡河，船头应朝垂直河岸方向。

当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s 。

t ＝d v 2＝180
5
s
＝36 s 。

v 合＝v 21＋v 2
2＝
5
2
5 m/s 。

s ＝v 合t ＝90 5 m 。

②欲使船渡河航程最短，合运动应垂直河岸，船头应朝上游，与上游河岸方向夹角为α。

垂直河岸过河就要求v
水平
＝0，如图所示，有v 2cos α＝v 1得α＝60°，因此当船头与上游
河岸夹角为60°时航程最短。

s ＝d ＝180 m ，
t ＝d v ⊥＝d v 2sin60°＝1805
23
s ＝24 3 s 。

(2)若v 2＝1.5 m/s ，
与(1)中②不同，因为船速小于水速，因此船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程s ＝
d
sin α。

欲使航程最短，需α最大，如图所示，由动身点A 作出v 1矢量，以v 1矢量末端为圆心，v 2大小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方
向，欲使v 合与水平方向夹角最大，应使v 合与圆相切，即v 合⊥v 2。

sin α＝v 2v 1＝1.52.5＝3
5
，解得α＝37°。

因此船头与上游河岸夹角为 90°－37°＝53°。

t ＝d v ⊥＝d v 2cos37°＝1801.2s ＝150 s 。

v 合＝v 1cos37°＝2 m/s 。

s ＝v 合·t ＝300 m 。

答案 (1)①垂直河岸方向 36 s 90 5 m ②与上游河岸夹角为60° 24 3 s 180 m (2)与上游河岸夹角为53° 150 s 300 m
【反思总结】
对法对题
1.如图所示，船从A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )
A ．2 m/s
B ．2.4 m/s
C ．3 m/s
D ．3.5 m/s
解析 当船速方向与合速度方向垂直时，船速最小，为4×0.6 m/s＝2.4 m/s ，故选项B 正
确。

答案 B
2．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。

已知第一次实际航程为A 至
B ，位移为x 1，实际航速为v 1，所用时刻为t 1。

由于水速增大，第二次实际航程为A 至
C ，
位移为x 2，实际航速为v 2，所用时刻为t 2。

则( )
A ．t 2>t 1，v 2＝
x 2v 1
x 1 B ．t 2>t 1，v 2＝
x 1v 1
x 2 C ．t 2＝t 1，v 2＝x 2v 1
x 1
D ．t 2＝t 1，v 2＝
x 1v 1
x 2
解析 设河宽为d ，船自身的速度为v ，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时刻t ＝
d
v sin θ
，则t 1＝t 2；对合运动，过河时刻t ＝x 1v 1＝x 2v 2
，故C 项正确。

答案 C
见学生用书P 055
1．如图所示是α粒子(氦原子核)被重金属原子核散射的运动轨迹，M 、N 、P 、Q 是轨迹上的四点，在散射过程中能够认为重金属原子核静止不动。

图中所标出的α粒子在各点处的加速度方向正确的是( )
A．M点B．N点
C．P点D．Q点
解析α粒子在散射过程中受到重金属原子核的库仑斥力作用，方向总是沿着二者连线且指向粒子轨迹弯曲的凹侧，其加速度方向与库仑力方向一致，故C项正确。

答案 C
2．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，气象站报告当时是正北风，风速也是4 m/s，则骑车人感受的风速方向和大小分别是( )
A．西北风，风速4 m/s B．西北风，风速4 2 m/s
C．东北风，风速4 m/s D．东北风，风速4 2 m/s
解析若无风，人以4 m/s的速度向东行驶，则相当于人不动，风以4 m/s的速度从东向西刮，而实际风从正北方以4 m/s的速度刮来，因此人感受到的风速应是这两个速度的合速度(如图所示)。

因此v合＝v21＋v22＝42＋42 m/s＝4 2 m/s，风向为东北风，D项正确。

答案 D
3.如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。

现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．v sinθB．v cosθ
C．v tanθ D.
v tanθ
解析将光盘水平向右移动的速度v分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿细线方向的分速度大小相等，故可得v球＝v sinθ，A项正确。

答案 A
4．如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物M。

C点与O点距离为l。

现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω慢慢转至水平位置(转过了90°角)，此过程中下述说法正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωl
D．重物M的速度先减小后增大
解析由题知，C点的速度大小为v C＝ωl，设v C与绳之间的夹角为θ，把v C沿绳和垂直绳方向分解可得，v绳＝v C cosθ，在转动过程中θ先减小到零再反向增大，故v绳先增大后减小，重物M做变加速运动，其最大速度为ωl，C项正确。

答案 C。