苏教版高二数学选修4-5 算术-几何平均不等式 课时作业

算术-几何平均不等式
一、单选题 1．
2．函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=上，其中0mn >，则
11
m n
+的最小值为（ ）
A. 3-
B. 5
C. 3+
D. 3+
3．函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点A,若点A 在直线
01=++ny mx 上，其中n
m n m 2
1,0,+>则
的最小值为（ ） A.6 B.8 C.4 D.10
4．甲乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度2v （12v v ≠），乙在前一半时间用速度1v ，在后一般时间用速度2v ，则两人中谁先到达（ ） A ．甲 B ．乙 C ．两人同时 D ．无法确定
5．若()4log 34log a b +=a b +的最小值是（ ）
A. 7+
B. 7+
C. 6+
D. 6+
6．已知向量(),2a x =， ()1,b y =，其中0,0x y >>，若•4a b =，则12
x y
+的最小值（ ）
A.
32 B. 2 C. 9
4
D. 7．若直线10ax by ++=（0,0a b >>） 过圆2
2
8210x y x y ++++=的圆心，则
14
a b
+的最小值为（） A. 16 B. 20 C. 12 D. 8
8．若0m n <<，则下列不等式中正确的是（ ） 11n m
9．已知三个正数a,b,c ，满足24,a b c a a b c a ≤+≤-≤-≤，则b c
c b
+的取值范围是（ ） （A ） 100,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ） 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）[)2+∞， （D ）103,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
10．已知y x y
x y x +=+>>则且
,19
10,0的最小值是 （ ） A ．4 B ．12 C ．16 D ．18
二、填空题 11．若
),(19
1+∈=+R y x y
x ，则y x +的最小值是
12．在ABC ∆中， 22AC CB ⋅=，则2
tan sin2A B ⋅的最大值是
__________．
13．下列说法中，正确的有__________．（写出所有正确说法的序号）
①已知关于x 的不等式2
20mx mx ++>的角集为R ，则实数m 的取值范围是
04m <<．
②已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等比数列． ③已知函数()()()21log 1,0
{
433,0
a x x f x x a x a x ++≥=+-+<（其中0a >且1a ≠）在R 上单调递减，
且关于x 的方程()23x f x =-
恰有两个不相等的实数解，则13
34
x ≤≤．
④已知0,1a b >>-，且1a b +=，则2221a b a b +++． ⑤
在
平
面
直
角
坐
标
系
中
，
O
为坐标原点，
()1,0,1,1OB OC OD OB OC OD A ===++=则AD OB ⋅的取值范围是
11
22⎡--+⎢⎣． 14．若0>x ，则4
2x x
--的最大值是
三、解答题
15．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)f x m m ⎛⎫
+
≥+> ⎪的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的
值；
（2）若不等式()2232
y
y a
f x x ≤+
++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.
16．（1）求的最小值；
（2）若，且，求的最大值．
17．已知x >0，则的最大值为________．
18．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB =2米，AD =1米．
（1）要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．
参考答案
1．D
【解析】略 2．C
【解析】令31x +=，则2x =-可得 log 111a y =-=-，据此可得 ()2,1A -- 点A 在直线10mx ny ++=上，故 210,21m n m n --+=∴+=，则
(
)111122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
当且仅当m n =
=
时等号成立. 综上可得
11
m n
+
的最小值为3+. 本题选择C 选项.
点睛 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
3．B 【解析】
试题分析 函数()()1,013log ≠>-+=a a x y a ，当2-=x 时，1-=y ，因此点A ()1,2--
012=+--∴n m ，即12=+n m ，其中0,0>>n m 84244424221≥⋅+≥++=+++=+∴
n
m m n n m m n n n m m n m n m 考点 对数函数过定点和用基本不等式求最值. 4．B 【解析】
试题分析 设两地的距离为s,则依题意有，212121222v v v v s v s
v s t ⋅+⋅=+=甲,2
12v v s
t +=乙
又因12
v v ≠，所以2
121212121212122122412v v v v s v v s v v v v v v v v v v ⋅+<+∴⋅+<+∴⋅>+)
()(
所以
乙甲t t >，
故乙先到，选B
考点 重要不等式的应用。

5．A
【解析】
340,0,a b ab +>>
0,0,a b ∴>>
()
4log 34log a b +=
()()44log 34log a b ab ∴+=
34,4,0,0a b ab a a b ∴+=≠>>
30,4a
b a ∴=
>- 4a ∴>, 则()()341231247444
a a a
b a a a a a a -++=+
=+=-++---
77≥=
,当且仅当4a =+.
所以A 选项是正确的.
点睛 本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件 一正二定三相等.①一正 关系式中，各项均为正数；②二定 关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等 含变量的各项均相等，取得最值.
视频 6．C
【解析】由已知得
()()()1
,21,24,214
a b x y x y x y ⋅=⋅=+=∴
+=，
()1211212219
2554444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭
⎝⎭⎝，当且仅当22y x
x y
=
时取等号，故选C. 7．A
【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，∴4a
＋b ＝1，∴14a b +＝(4a ＋b) 14a b +＝4＋16a b b a +＋4≥16，当且仅当b ＝4a ，即a ＝18
，b ＝12时等号成立，∴14
a b
+的最小值为16. 8．C
【解析】因为0,0n m m n >>， 1n m m n ⋅=，所以由均值不等式知， 2n m
m n
+>，故选C ． 9．B
【解析】解 因为三个正数a,b,c ，满足24,a b c a a b c a ≤+≤-≤-≤，结合几何意义可知所求的
b c c b +的范围关键是求解b
c
的范围，那么利用斜率的意义可知选B 10．C
【解析】略 11．16 【解析】
试题分析 ()199101016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭
当且仅当9y x
x y =
时等号成立，取得最小值
考点 均值不等式求最值
点评 利用均值不等式求最值注意等号成立条件
12．3-
【解析】 由题意得，在ABC ∆中， 22AC CB ⋅=，
所以()cos cos cos ab C ab C ab C π-=-=⇒=-，
且1
sin sin 2
S ab C ab C =
=⇒=， 所以tan 1C =-，又因为()0,C π∈，所以34C π=
，所以4
B A π
=-， 所以()
22
2
22
2
sin tan sin2tan sin 2tan cos22cos 14
cos A A B A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⋅=⋅-=⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()2
2
21sin 2cos 1cos A A A
--=
,
设2
cos t A =，即22
2311tan sin2233t t A B x t x -+-⎛
⎫⋅=
=-++≤-+ ⎪⎝
⎭. 13．④⑤
【解析】对于①，0m = 时关于x 的不等式2
20mx mx ++>的解集也为R ， 所以①错；对于②当1q =- ， n 为偶数时，结论错误，故②错，对于③，
()f x 是R 上的单调递减函数， ()2433y x a x a ∴=+-+ 在(),0-∞ 上单调递减， ()log 11a y x =++ 在()0+∞， 上单调递减，且()f x (),0-∞ 上的最小值大于或等于()3402
0.{0131
a
f a a -≥∴<<≥ ，解得1334a ≤≤ ，作出()y f x = 和23
x
y =- 的函数如图所示
()23x f x =- 恰有两个不相等的实数解， 32a ∴< ，即23a < ，综上， 12
33
a ≤< .
故
③
错
；对于④；
()(
)
2
22212241
8122644a a b a a a b a a a a a a -++-+=+==≥
=
+--⎛⎫
-+- ⎪-⎝⎭
，
故④正确
；
对
于⑤
，
OB OC OD ++=可得，
()
2
2
2
2
2?OB OC OD
OC OD OC OD =+=++，再由1OB OC OD ===可得,OC OD
的夹角为120︒
，同理,OB OC 的夹角、,OB OD 的夹角都是120︒
，设()cos ,sin D θθ ，则
(
)(
)()cos 120,sin 120B θθ︒︒
-- ,则
()(
)
(
)
()()()
cos 1,sin 1?cos 120,sin 120cos120
120sin 120AD OB cos θθθθθθ︒︒
︒
︒︒⋅=----=----= ，所以AD OB ⋅的
取值范围
是1122⎡-
-+⎢⎣，故⑤正
确，故答案
为
1122⎡---⎢⎣. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断综合考查不等式、数列、函数、向量、三角函
数以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 14．-2 【解析】 试题分析
4404442142x x x x x x x ⎛
⎫>∴+
≥=∴-+≤-∴ ⎪⎝
--≤-⎭=-，所以最大值为-2
考点 基本不等式求最值 15．(1) 3
2
m =
；(2)4. 【解析】试题分析 （Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][()
,22,-∞-⋃+∞，再
根据解集相等关系得122m +
=，解得3
2
m =．
（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()
max 212322
y y a
x x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得
()
max
21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题
(
)
max
242y y
a ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值 ()
()
2
24224242y y
y y ⎡⎤
+-⎢
⎥-≤=⎢⎥⎣
⎦
，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．
试题解析 （Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞．
由221x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+， 所以，由122m +=，解得3
2
m =．
（Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322
y y a
x x --+≤+，
由题意知()
max 212322
y y a
x x --+≤+．
因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242
y y a +
≥，即()
242y y
a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦．而()
()
2
24224242y y
y y
⎡⎤
+-⎢
⎥-≤=⎢⎥⎣
⎦
，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4．
16．（1）；（2）.
【解析】试题分析
（1）将原式变形为，令，则，然后利用函数的单
调性求解可得最值．（2）由于为定值，解题时先将原式变形得到
的形式，然后利用基本不等式求解，注意等号成立的条件．
试题解析
（1），
令，则，
又当时，函数单调递增，
∴当时，有最小值，且最小值为，
故的最小值是．
（2），
∴
，
当且仅当正数满足，即时等号成立．
∴的最大值为．
点睛利用基本不等式求最值的方法
（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（3）多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号；若等号不成立，一般利用函数单调性求解．
17．
【解析】∵x>0
∴
当且仅当即x=2时取等号
故的最大值为
故答案为. 18．（1）（0，1
2
）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米.
【解析】试题分析（1）由DN DC
AN AM
=，列出函数关系式，通分化成标准形式，再求分式
不等式的解集；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求解. 试题解析（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN =（x+1）米，
∵DN DC
AN AM
=，∴AM =
()
21
x
x
+
，∴S矩形AMPN= AN•AM =
2
2(1)
x
x
+
．
由S矩形AMPN＞9得
2
2(1)
x
x
+
＞9，又x＞0得2x2-5x+2＞0，解得0＜x＜
1
2
或x＞2
即DN的长的取值范围是（0，1
2
）∪（2，+∞）．（单位米）
（2）因为x＞0，所以矩形花坛的面积为
y=
2
2(1)
x
x
+
=2x+
4
x
+4≥4+4=8，当且仅当2x=
4
x
，即x=1时，等号成立．
答矩形花坛的面积最小为8平方米．
点睛本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用.。