江西省抚州市2018届高三联考文数试题

江西省抚州市2018届高三联考
文数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若集合{}{}
2
|6,|11180M x N x N x x x =∈<=-+<，则M
N 等于（ ）
A ．{}3,4,5
B ．{}|26x x <<
C ．{}|35x x ≤≤
D ．{}2,3,4,5 【答案】A
考点：集合的表示方法及交运算.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ）
A ．若及格分不低于70分，则,,A
B
C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分
D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C 【解析】
试题分析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p ：若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及
格，p 的逆否命题的是：若,,A B C 至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选：C ． 考点：原命题与它的逆否命题之间的关系．
3.设()()2,f x x g x x R -=∈，若函数()f x 为偶函数，则()g x 的解析式可以为（ ） A ．3
x B ．cos x C ．1x + D ．x
xe 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，只要()g x 为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数；故选：B ．
考点：函数奇偶性的运用．
4.若0
cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos 2x 等于（ ） A ．12-
B ．34-
C ．0
D ．1
2
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
0000cos sin 63cos18cos63sin18sin 452
x =-=︒=
21cos 22cos 1210
2x x =-=⨯-=.
考点：三角函数的恒等变换.
5.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2
c o s c o s ,2b A a B c a b +===，则ABC
∆的周长为（ ）
A ．7.5
B ．7
C ．6
D ．5 【答案】D
考点：余弦定理在解三角形中的应用. 6.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
1n n
a a +<，若353520,64a a a a +==，则6S 等于（ ）
A ．63或126
B ．252
C ．126
D ．63 【答案】C 【解析】 试题分析：因为
1
1n n
a a +<，所以01q <<，又因为 353520,64a a a a +==，所以35,a a 是方程
220640x x -+= 的两根，易得：3516,4a a == ，从而得到11
4,2
a q ==
，所以6126S =. 考点：等比数列通项及求和. 7.
2cos 3x x +=
，则7tan 6x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
等于（ ） A ．79±
B
．7
± C
．± D
．4± 【答案】
D
考点：三角函数恒等变换.
【思路点晴】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间
的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
8.已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA 的值为（ ） A ．
514 B ．27 C ．314 D ．328
【答案】D 【解析】
试题分析：如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，
点E 为线段OD 的中点，∴0OD AD ∙=，则
1()222
OD AO AD
OE EA AE OD +∙=
∙-=-∙∙
4
AO OD OD AD ∙+∙=-2
cos 444OA OD AOD OD
OA OD ∙∙
∠∙===.AOB ∆中，利用
余弦定理可得AB =,因为11
sin120,22
AOB S AB OD OA OB ∆
=∙∙=∙∙︒可得
11122
2OD =∙∙
，所以OD =328OE EA =，故选：D.
考点：向量数量积与解三角形.
9.已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示，则函数()()
x f x g x e
=
的递减区间为（ ）
A ．()0,4
B ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ． 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()()0,1,4,+∞ 【答案】D 【解析】
试题分析：结合图象，）（1,0x ∈和），（∞+∈4x 时，0)()(<-'x f x f ，而
x
e x
f )
(x f x g -'=
'）（）（，故）（x g 在）（1,0,），（∞+4递减，故选：D ．
考点：函数的单调性.
10.已知函数()sin cos f x a x b x =-（其中,a b 为正实数）的图象关于直线6
x π
=-
对称，且
12,x x R ∀∈，12x x ≠且()()124f x f x ≤恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A ．1a b ==
B ．不等式()()124f x f x ≤取到等号时21x x -的最小值为2π
C ．函数()f x 的图象的一个对称中心为2
,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．函数()f x 在区间,6ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 【答案】B
考点：命题的真假的判断与应用与三角函数的最值. 11.若数列{}n a 满足112523
n n a a
n n +-=++，且15a =，则数列{}n a 的第100项中，能被5整除的项数为（ ）
A ．42
B ．40
C ．30
D ．20 【答案】B 【解析】
试题分析：由数列{}n a 满足
112523n n a a n n +-=++，即112(1)323
n n a a
n n +-=+++，所以1
1213a =⨯+，∴数列{}23n a n +是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴23
n a n n =+，∴
223n a n n =+，由题意可知：
∴每10中有4项能被5整除，∴数列{}n a 的前100项中，能被5整除的项数40，故答案选：B ．
考点：求通项公式的方法，考查等差数列通项公式，考查数列的周期性. 12.已知函数()()225,4x f x g x x x =-=-，给出下列3个命题：
1:p 若x R ∈，则()()f x f x -的最大值为16．
2:p 不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集． 3:p 当0a >时，若[]()()1212,,2,x x a a f x g x ∀∈+≥恒成立，则3a ≥．
那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）
A ．123p p p 、、
B ．23p p 、
C ．12p p 、
D ．1p 【答案】A
考点：命题的真假判断与应用.
【思路点晴】本题考查了简易逻辑、均值不等式、不等式的解集、恒成立等问题，属于中等题.处理最值问题常考方法有：二次函数的最值、基本不等式求最值、三角换元求最值、导数
法等等，根据所给函数的结构合理选择；解不等式问题常用方法：借助单调性解不等式、数形结合法、对称法等等；而恒成立问题往往转化为最值问题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.等比数列{}
214n +的公比为_____________．
【答案】16 【解析】
试题分析：35212a =4a =4q=4=16⇒，. 考点：等比数列基本运算.
14.设函数()()62
1log ,4,4
x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()34f f +=_____________． 【答案】4 【解析】
试题分析：,9log 1)9(3f 6+==f ）（4log 14f 6+=）（,()()34f f +=436log 26=+. 考点：分段函数与对数运算.
15.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c
，已知2
2
2
a b c +-=
，且
sin ac B C =，则CA CB = _____________．
【答案】3
考点：向量的数量积与解三角形.
【方法点晴】平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．
16.若函数()42
3x x f x k x
-=-有3个零点，则实数k 的取值范围是_____________．
【答案】()()2,00,2-
【解析】
试题分析：42
33=0k=x 3,(0)x x k x x x
--
-≠，得：，结合图象易知，实数k 的取值范围是()()2,00,2-.
考点：函数的零点.
【方法点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令
()0f x =，变为两个函数3,3y k y x x ==-，先画出33y x x =-的图象，然后将y k =的图
象上下平动，得到二者交点的情况.注意函数的定义域是本题的易错点.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知0m ≠，向量(),3a m m =，向量()1,6b m =+，集合
()(){}
2|20A x x m x m =-+-=.
（1）判断“//a b ”是“a =
（2）设命题:p 若a b ⊥，则19m =-.命题:q 若集合A 的子集个数为2，则1m =.判断p q ∨，
p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由.
【答案】（1）充分不必要条件；（2）p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题.
试题解析：解：（1）若//a b ，则()631m m m =+，∴1m =（0m =舍去），．．．．．．．．．．．．．1分
此时()1,3,a a ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
若a =1m =±，若“//a b ”是“a =．．．．．．．．．．．4分
（2）若a b ⊥，则()1180m m m ++=，∴19m =-（0m =舍去），∴p 为真命题，．．．．．5分
由()()220x m
x m -+-=得2
x m
=，或2x m =-，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中
只有1
个元素，则2
2m m =-，∴1m =或2- ，故q 为假命题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：简易逻辑知识.
18.在等差数列{}n a 中，2134a a +=，且56718a a a ++=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若124,,a a a 成等比数列，求数列()122n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和n S
【答案】（1）38782525n a n =
-,n a n =；（2）22
n n
S n =+.
（2）若124,,a a a 成等比数列，则n a n =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∵()()111111222121n n a n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴1111111111222312122n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：等差等比数列基本运算及裂项相消法求和.
19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足1
801204
P Q a =+=+.设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）
（1）求()50f 的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？
【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.
（2）()()1
1
8020012025044f x x x =+-+=-+，
依题意得20
2018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩，故
()()1
250201804f x x x =-+≤≤．．．．．．8分
令t ⎡=⎣，
则()(221
1
25028244f x t t =-++=--+，
当t =128x =时，()max 282f x =，
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万
元．．．．．．．．．．．12分
考点：函数的实际应用问题.
20.如图所示，在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，
3
2,cos ,273AE B ADB π
==∠=．
（1）求AD 的长；
（2）求ADE ∆的面积．
【答案】（1）2AD =；（2）4ADE S ∆=.
【解析】
试题分析：（1）在ABD ∆中, 求出sin 14
BAD ∠=，利用正弦定理求AD 的长；（2）在A C D ∆
中由余弦定理得1DC =124
ADE ACD S S ∆∆==.
（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==，在ACD ∆中由余弦定理得
2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠， 即29422cos
3DC CD π=+-⨯⨯,
∴2250DC DC --=，解得1DC =+．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴(11sin 2122ACD S AD DC ADC ∆=∠=⨯⨯+，
从而12ADE ACD S S ∆∆==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形.
【思路点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.
21.（本小题满分12分）
已知函数()()()3x f x x a e x =+>-，其中a R ∈.
（1）若曲线()y f x =在点()0,A a 处的切线l 与直线22y a x =-平行，求l 的方程；
（2）讨论函数()y f x =单调性.
【答案】（1）43y x =+,4133
y x =+；（2）当2a <时，()f x 的增区间为()1,a --+∞，减区间为()3,1a ---，当2a ≥时，()f x 在()3,-+∞上递增.
（2）令()()10x
f x x a e '=++=得1x a =--， 当13a --≤-，即2a ≥时，()()()10,x f x x a e f x '=++>在()3,-+∞上递
增．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
当13a -->-即2a <时，令()0f x '>得1x a >--，()f x 递增；令()0f x '<得()31,x a f x -<<--递减，综上所述，当2a <时，()f x 的增区间为()1,a --+∞，减区间为()3,1a ---；
当2a ≥时，()f x 在()3,-+∞上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数的应用.
22.记{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，如{max =已知函数(){}(){}22max 1,2lnx ,max ln ,f x x g x x x ax x =-=++.
（1）求函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；
（2）试探讨是否存在实数a ，使得()342g x x a <
+对()1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）3,34⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
；（2）存在，ln 21,04-⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】
试题分析：（1）根据题意，明确给定范围上的()f x 的表达式，然后求值域；（2）根据题意，明确给定范围上的()g x 的表达式，然后恒成立问题就转化为最值问题.
（2）①当0a ≤时，
∵()1,x ∈+∞，∴()
22ln ln 0x x ax x x ax +-+=->，∴2ln x x ax x +>+，∴()ln g x x x =+．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 若()342g x x a <
+，对()1,x ∈+∞恒成立，则1ln 42
x x a -<对()1,x ∈+∞恒成立， 设()1ln 2h x x x =-，则()11222x h x x x -'=-=， 令()0h x '>，得()12,x h x <<递增；令()0h x '<，得()2,x h x >递减．
∴()()max 2ln 21h x h ==-，∴4ln 21a >-，∴ln 214
a ->，∵0a ≤，∴ln 21,04a -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
．．．．9分
②当0a >时，由（1）知3ln 42
x x x a +<
+，对()1,x ∈+∞恒成立， 若()342g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，则2342ax x x a +<+对()1,x ∈+∞恒成立， 即2
280ax x a --<对()1,x ∈+∞恒成立，这显然不可能． 即当0a >时，不满足()342g x x a <
+对()1,x ∈+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故存在实数a ，使得()342
g x x a <+对()1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,04-⎛⎤ ⎥⎝⎦
．．．．．．．12分 考点：导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.。