26正态分布1.

S(-2s, -1s)=0.1359
S(-, -1s)=0.1587
S(-, -0s)=0.5
S(-1s,
)=0.3413
-3s
-2s -s

+s +2s +3s
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3s)=0.0013
S(-, -2s)=0.0228
x =μ
对称.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
正态曲线
正态密度曲线
σ＝0.5
均值m表明了总体的重
σ＝1
σ＝2
心所在，标准差s 表明了 总体的离散程度。
O
μ一定
ｘ
正态曲线的性质
σ＝0.5
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交.
第三步：作出频率分布直方图
y
频率/组距
中间高，两头低， 左右大致对称
x
知识点一：正态密度曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称 此曲线为概率密度曲线． 概率密度曲线的形状特征．
频率 组距
概率密度曲线
“中间高，两头低， 左右对称”
总体在区间 (a , b)内取值的概率
-x1 -x2

x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 -3s)=0.1587 -2 -1 )=0.0013 )=0.0228
S(-, +1 +3 +2 )=1 s)=0.6587 )=0.9987 )=0.9772
-3s
-2s -s

+s +2s +3s
-4
-3
0 ) 是参数,分别表示总 m ，s 对应着不同的
正态密度曲线的图像特征
1 f ( x) e 2s ( x )2 2s 2
x? ( ? , ? )
1 (0, ] （2）f ( x) 的值域为 2 s
(3) f ( x) 的图象关于
（1）当x = μ 时,函数值为最大.
X=μ σ
2.5%
2.5%
-1.96s

+1.96s
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64s

+1.64s
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58s

+2.58s
正态曲线下的面积规律
• 正态曲线下面积总和为1； • 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； • 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等； • -1.64s～ +1.64s内面积为90%； • -1.96s～ +1.96s内面积为95%； • -2.58s～ +2.58s内面积为99%。 • 小于-3s的面积为 0.13%;则在区间(-3s, +3s) 的面积为 99.74% • 小于-2s的面积为 2.28%;则在区间(-3s, +3s) 的面积为 95.44% • 小于-s 的面积为15.87%。则在区间(-3s, +3s) 的面积为 68.26%
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(-3 -2 ss , , ++2 +3 s)=0.3174 s)=0.0456 )=0.0026
-3s
-2s -s

+s +2s +3s
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 -3s)=0.1587 -2 -1 )=0.0013 )=0.0228
上述数据的分布有怎样的特点？
频率分布 直方图
第一步：分组
确定组数，组距？
第二步：列出频率分布表
区间 号 区间 频数 频率 累积频率 频率/组距
1
2 3 4 5 6 7 8
153.5~157.5
157.5~161.5 161.5~165.5 165.5~169.5 169.5~173.5 173.5~1775 177.5~181.5 181.5~185.5
小概率事件的含义
区 间 （μ －σ ，μ ＋σ ） （μ －2 σ ，μ ＋2 σ ）
（μ －3 σ ，μ ＋3 σ ）
取值概率 68.3% 95.4%
99.7%
小概率事件的含义: 发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次 试验中几乎不可能发生
例 ：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正
态分布N 4, 0.25，质检人员从该厂生产的1000 件零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
（7）假设检验方法的基本思想 ①小概率事件的含义：
我们从上图看到，正态总体在 2s , 2s 以外取值的概率只有4.6％，在 3s , 3s 以外 取值的概率只有0.3 ％。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ）， 通常称这些情况发生为小概率事件。 即事件在一次试验中几乎不可能发生。
σ＝1
(2)曲线关于直线x=μ对称. (3)在x=μ时位于最高点.
O μ一定
σ＝2 ｘ
(4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降. 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。
正态曲线的性质
σ＝0.5
σ＝1 σ＝2
O
μ一定
ｘ
(5)当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越 大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分 散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的 分布越集中
（1）在生产中，各种产品的质量指标一般都 服从正态分布；
（2）在测量中，测量结果、测量的随机误差 都服从正态分布； （3）在生物学中，同一群体的某种特征都服 从正态分布； （4）在气象中，某地每年七月份的平均气温、 平均湿度、降雨量等都服从正态分布。
标准正态总体N(0,1)的概率问题:
由于标准正态总体 N 0,1 在正态总体的研究 中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态 分布表” 见书最后面的表格。
S(-, +1 +3 +2 )=1 s)=0.6587 )=0.9987 )=0.9772
-3s -2s -s

+s +2s +3s
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3s)=0.0013
S(-, -2s)=0.0228
S(-3s, -2s)=0.0115
S(-3s, -2s)=0.0115
S(-2s, -1s)=0.1359
S(-, -1s)=0.1587
S(-, -0s)=0.5
S(-1s,
)=0.3413
-3s
-2s
-s

+s
+2s
+3s
-3
-2
-1
0
1
2
3
正态曲线下的面积规律
S(-, -3s)=0.0013
知识点：正态分布
若X是一个随机变量，对任给区间(a, b]，P（a p X £ b) 恰好是正态密度曲线下方和x轴 (a, b]上方所围成的图形 的面积，我们就称Ｘ服从参数m和s 的正态分布。
Y
２
简记为：Ｘ : Ｎ(m ，s
２
)
a
b
X
练习3.下列关于正态曲线性质的叙述正确的是（ A） (1)曲线关于直线x=μ对称,这个曲线只在x轴上方 (2)曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当 x∈(-3σ，3σ)时才在x轴上方； (3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度 函数是一个偶函数； (4)曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右 两边延伸时，曲线逐渐降低； (5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定； (6)σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小， 曲线越“高”．总体分布越集中． A.只有(１)(４)(５)(６) B.只有(2)(４)(５) C. 只有(3)(４)(５)(６) D. 只有(１)(５)(６)
例题选讲
例1：若随机变量Z N 0，，查标准正态表，求 1 （1) P Z 1.52 ； （2) P Z>1.52 ； （3）P(0.57<Z 2.3）； （4）P（Z -1.49）。
例题讲解 例 求标准正态总体在（－1，2）内 取值的概率．
设随机变量X~N(0,1),且 P(a x a) 0.5 , 求正数a的值.
归纳小结
4.标准正态分布
（1）简记为：Ｘ : Ｎ(m ，s
Y
２
)
a
b
X
（2）“标准正态分布表”
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
f ( x)
2 正态曲线
y μ= -1 σ=0.5
1 e 2 s
( x )2 2s 2
x (,)
y μ=1
y
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
归纳小结
知识点：标准正态曲线
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态 总体，其相应的函数表达式是
1 f ( x) e , x R 2
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态 总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重 要地位。任何正态分布的问题均可转化成标 准总体分布的概率问题。
x2 2
知识点：正态分布的意义
N 4， 0.25 解： 由于服从正态分布
由正态分布的性质知，
正态分布N 4， 0.25 在 4 3× 0.5, 4 3× 0. 5 之外取值的 概率只有0.003,而5.7 2.5, 5.5


这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。
a
b
产品 尺寸 （mm）
知识点二：正态分布与密度曲线
上图中概率密度曲线具有“中间高，两头 低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫 做“正态密度曲线”，它的函数表达式是
P( x) =
1 e 2ps
( x- m)2 2s 2
,x? ( ? , ? )
s (s > 式中的实数 m 、 体的平均数与标准差.不同的 正态密度曲线
3 正态曲线的性质 （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点.
（4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降. 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线， 向它无限靠近. (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
S(-, -2s)=0.0228 S(-3s, -2s)=0.0115 S(-2s, -1s)=0.1359
S(-, -1s)=0.1587
S(-, -0s)=0.5
S(-1s,
)=0.3413
-3s -s -2s
+s
+3s +2s
正态曲线下的面积规律
95%
正态分布
数
学
情
景
从某中学男生中随机抽取出84名，测量身高， 数据如下（单位：cm) :
164 181 170 168 159 185 169 164 179 156 175 155 169 169 180 164 182 168 161 182 170 178 174 159 154 172 167 173 160 182 163 164 164 174 173 163 165 166 175 168 161 176 167 170 167 172 172 169 161 174 181 171 171 168 171 161 169 177 177 181 176 174 170 185 178 175 173 175 167 172 172 174 157 162 161 165 168 178 174 171 172 174 172 155
5
8 10 15 18 18 8 5
0.0595
0.0952 0.1190 0.1786 0.2143 0.1786 0.0952 0.0595
0.0595
0.1547 0.2738 0.4534 0.6667 0.8452 0.9405 1
0.015
0.024 0.030 0.045 0.054 0.045 0.024 0.015
表中相对于x0的值是指P（X x 0）的大小。
就是图中阴影 区域A的面积 A
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-Байду номын сангаас)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)