河南省郑州市登封市2014-2015学年下学期期中联考高二数学(文)试题

2014—2015学年下学期期中联考
高中二年级 数学（文）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。

考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。

交卷时只交机读卡和答题卷。

可能用到的公式: )
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22
z z
+=
A. 1i -
B. 1i +
C. 1i --
D. 1i -+
2．一位母亲记录了儿子3—9岁的身高（数据略），由此建立的身高与年龄的回归模型
为y
ˆ=7.19x +73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 A ．身高一定是145.83cm B ．身高在145.83cm 以上 C ．身高在145.83cm 左右 D ．身高在145.83cm 以下
3．下面结构图中，框①,②处分别填入
A. l α⊂，l α⊥
B. l α⊂，l 与α相交
C. l α⊄，l α⊥
D. l α⊄，l 与α相交 4．复数
i i
4321-+（i 是虚数单位）的虚部为 A ．51- B ．5
i -
C ．
5
2i
D ．
5
2 5．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ,y 之间关系最强的是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．下面是一段“三段论”推理过程：
若函数()f x 在(,)a b 内可导且单调递增，则在(,)a b 内，()0f x '>恒成立.因为3
()f x x =在(1,1)-内可导且单调递增，所以在(1,1)-内，2()30f x x '=>恒成立.以上推理中 A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 结论正确 D . 推理形式错误
7．根据如下样本数据
得到的线性回归方程为 A ．2- B ．2.2- C ．3.2- D ．6.2-
8．已知f (x )＝cos x ，且1()'()f x f x =,1()'()n n f x f x +=*()n N ∈，则f 2015(x )=
A ． －sin x
B ．－cos x
C ． sin x
D ．
cos
x
9．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ,b ,c 中恰有一个偶数”正确的反设为
A ．a ,b ,c 中至少有两个偶数
B ．a ,b ,c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ,b ,c 都是奇数
D ．a ,b ,c 都是偶数
10．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性 11．关于线性回归模型y bx a e =++,给出下列说法:
①y bx a e =++是一次函数; ②因变量y 是由自变量x 唯一确定的;③因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生;④随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生.
以上说法中正确的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．类比实数的运算性质猜想复数的运算性质：
①“mn ＝nm ”类比得到“1221z z z z =”；②“11||±=⇒=x x ”类比得到“11||±=⇒=z z ”； ③“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“||||||2121z z z z =”；④“22||x x =”类比得到“22||z z =”； 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若在散点图中,所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上,则相关指数2R = ▲ .
14．已知R ∈a ，复数)1)(2(i i a z +-=（i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的取值范围为 ▲ ．
15．在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有),19(*192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，在等比数列}{n a 中，若19=b ，则有 ▲ .
16．某校在高二文理分科时，对学生数学成绩是否优秀和所选科类进行了调查，具体数据如下：
文科
理科
A B C D
数学优秀 30 40 数学不优秀
270
160
，那么这种判断正确的概率不超过 ▲．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：
⑴根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：
成绩 性别 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计
⑵根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？
18．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足2n n a S =-()n *∈N ． ⑴求1a ,2a ,3a ,4a 的值并写出其通项公式；
⑵根据⑴中写出的通项公式,用三段论证明数列{}n a 是等比数列．
19．（本小题满分12分）
⑴某工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。

每道工序完成时，都要对产品进行检验。

粗加工的合格品进入精加工，不合格进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品。

用流程图表示这个零件的加工过程。

⑵设计一个结构图，表示《数学选修1-2》第二章“推理与证明”的知识结构。

20．（本小题满分12分）
推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功。

请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题。

已知a ,b ,c ∈R, a ＋b ＋c ＞0,ab ＋bc ＋ca ＞0,abc ＞0.求证: a ,b ,c ,全为正数.
21．（本小题满分12分）
已知复数w 满足i w w )23(4-=-(i 为虚数单位），|2|5
-+=w w
z . ⑴求z ；
⑵若(1)中的z 是关于x 的方程02=+-q px x 的一个根，求实数q p ,的值及方程的另一个根.
22. （本小题满分12分）
某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x (单位：月)与这种鱼类的平均体重y (单位：千克)得到一组观测值，如下表：
(1)在给出的坐标系中，画出两个相关变量的散点图． (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量
y 关于变量x 的线性回归直线方程ˆˆy
a bx =+． (3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)． （参考公式：1
2
2
1
()n
i i
i n
i
i x y b nx y
x
n x ==--=
∑∑，ˆa
y bx =-）
饲养时间x(月)
2014—2015学年下学期期中联考
高二数学（文）参考答案
一、选择题:
BCDD DACC BBAC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．1 14．),2(+∞ 15
．
)
,17(172121*-∈<•••=•••N n n b b b b b b n n
16．0.005
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分） 解：(1)
-----------------（5分）
(2)由(1)中表格的数据知， K 2＝()
2
50132071020302723
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844. ---------（8分）
∵K 2≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．--------（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由2n n a S =-，得11a =；212a =；314a =；418
a =，
猜想11()2
n n a -=()n *∈N ． (5)
分
（Ⅱ）因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若
1
n n
a p a +=，p 是非零常数， 则{}n a 是等比数列；……………………大前提
因为通项公式1
1
()
2
n
n
a-
=，又1
1
2
n
n
a
a
+=；……………………小前提
所以通项公式1
1
()
2
n
n
a-
=的数列{}n a是等比数列．……………………结论………12分
19．（本小题满分12分）
(1)解析：按照工序要求，可画出下面的供需流程图：
……………………………6分
⑵设计一个结构图，表示《数学选修1-2》第二章“推理与证明”的知识结构。

……………………………12分20．（本小题满分12分）
证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，
则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.
………………3分又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，
∴a(b＋c)＞0.①
……………… 7分
又∵a ＜0，∴b ＋c ＜0.∴a ＋b ＋c ＜0
……………… 10分
这与a ＋b ＋c ＞0相矛盾．
故假设不成立，原结论成立，即a ，b ，c 均为正实数．
……………… 12分
21．（本小题满分12分） ⑴ i 2i
21i
34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……3分 i 3|i |i
25
+=-+-=∴z . ……6分 设i
b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+， 得 ⎩⎨⎧-==-,
23,
24a b b a ∴
⎩⎨
⎧-==,
1,
2b a
i 2-=∴w ， ……3分
以下解法同.
⑵∵i 3+=z 是关于x 的方程02=+-q px x 的一个根，∴0)3()3(2=++-+q i p i
0)6()38(=-++-i p q p ，∵q p ,为实数，∴⎩⎨⎧=-=+-060
38p q p 解得10,6==q p (10)
分
解方程01062
=+-x x 得i x ±=-±=
32
40
662 ∴实数10,6==q p ，方程的另一个根为i x -=3。

……………………………………12分
22. （本小题满分12分） 13、解：(1)散点图如图所示
……………………………………………3分
(2)由题设3x =， 1.6y =，……………………………………………………………4分
2
()45n x =，24nx y =，5129.8i i i x y ==∑，5
21
55i i x ==∑ (6)
分
故5
15
22
1
29.824
0.585545
()i i
i i
i x y nx y
x
n x b ==--=
=
=--∑∑…………………………………………………8分
1.60.5830.14ˆa
y bx =-⨯=-=-……………………………………………………………9分
故回归直线方程为ˆˆ0.580.14y
x b a x =+=-………………………………………………10分
(3)当12x =时，ˆ0.58120.14 6.82y
=⨯-=………………………………………………11分 ∴饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．………………………………12分。