初中数学研究微专题12 线段与角的概念及计数问题

微专题 12 线段与角的概念与计数问题
一、专题介绍
本专题涉及直线、射线、线段、角的相关概念和有关线段和角的计数问题.直线、射线、线段、角的概念是学习几何的基础.正确地认识它们的概念，理解它们的性质，对今后学好几何有着非常重要的作用.
重要的公理：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短（探求最短路径、最小距离等问题常用
到这个公理.）
解决线段和角的计数问题的主要方法有：①穷举法；②从特殊到一般的归纳方法；③运用握手模型
进行计算.
二、例题探究
题型一：直线、射线、线段、角的概念
例1：下列说法中正确的是.
①射线AB 与射线BC 是同一条射线；
②线段EF 与线段FE 是同一条线段；
③延长直线AB 到点C；
④直线、射线、线段中直线最长；
⑥若线段AB＝BC，则点B 是线段AC 的中点；
⑦有公共端点的线段组成的图形叫角；
⑧连接两点间的线段叫作两点间的距离.
变式1：下列说法中，正确的有（）
①一根拉得很紧的细线就是直线；
②连接两点间的直线的长度叫做两点间的距离；
③点A、B、C 在同一条直线上，若AC= 1
AB，则点C 是线段AB 的中点；
2
④反向延长线段AB；
⑤平角是一条直线.
A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
题型二：直线公理与线段公理的应用
例2：下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
（2）从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设．
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
变式 2：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理:（）
A.两点之间，线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
变式3：下列说法正确的个数是（）.
①连接两点的线中，直线最短；
②两条直线相交，有且只有一个交点；
③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；
④若AB+BC=AC，则A、B、C 三点共线．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 3：计数问题
例 3：平面内n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
探究：（1）第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，则3条直线最多有个交点；
（2）第4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，则4 条直线最多有个交点；
（3）第5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，则5 条直线最多有个交点；
……
（4）由此断定n 条直线两两相交，最多有多少个交点？
变式 4：一列火车从成都站出发，沿途经过8 个站到达重庆站，任意两站票价均不同，假设火车只有硬座，成都到重庆有多少种不同的票价？要准备多少种车票？
变式 5：如图，以点O 为顶点，以OA1、OA2、OA3、…、OA n为边的小于平角的角有多少个？。