2021年高一数学上学期期中测试卷二北师大版

2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合|A x y ==，{}3|log 2B x x =<，则A B =（ ）
A ．[]1,3-
B ．()1,3-
C ．(]03,
D ．()0,3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数定义域求出{}|13A x x =-≤≤，根据定义域和对数运算求出{}|09B x x =<<，再求A B 即可.
【详解】
对于集合A ，2230x x -++≥，解得13x -≤≤， 所以集合{}|13A x x =-≤≤，
对于集合B ，3log 2x <，解得09x <<， 所以集合{}|09B x x =<<， 所以{}|03A B x x =<≤.
故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算和不等式运算，属于基础题. 2．已知幂函数()()
22
322n n
f x n n x
-=+-(n ∈Z )在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．3- B ．1
C ．1-
D ．1和3-
【答案】B 【解析】 【分析】
先由函数是幂函数，让其系为1，即2221+-=n n ，得到3n =-或1n =，再分别讨论，是否符合在()0,∞+上是减函数的条件. 【详解】 因为函数是幂函数 所以2221+-=n n 所以3n =-或1n =
当3n =-时()18
=f x x 在()0,∞+上是增函数，不合题意.
当1n =时()2
f x x -=在()0,∞+上是减函数，成立
故选：B 【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．已知函数f （x ）=x 2–m
是定义在区间[–3–m ，m 2
–m ]上的奇函数，则
A ．f （m ）<f （1）
B ．f （m ）=f （1）
C ．f （m ）>f （1）
D ．f （m ）与f （1）大小不确定
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇函数的定义域关于原点对称，列方程求得m 的两个值，再根据定义域包括原点，排除其中一个值，由此得到m 的值和函数的解析式，进而得出正确的选项. 【详解】
因为幂函数f （x ）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称， 所以（–3–m ）+（m 2–m ）=0，解得m =–1或m =3．
当m =–1时，函数f （x ）=x 3
，–2≤x ≤2，所以f （m ）=f （–1）<f （1）； 当m =3时，函数f （x ）=1
x
，在x =0时无意义，不满足题意，舍去,故选A ． 【点睛】
本小题主要考查奇函数和偶函数定义域关于原点对称，考查奇函数的定义域，属于基础题. 4．下列哪一组函数相等（ ）
A ．f (f )=f 与f (f )=
f 2
f
B ．f (f )=f 2与f (f )=(√f )4
C ．f (f )=|f |与f (f )=(√f )2
D ．f (f )=f 2与f (f )=√f 63
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等函数的要求依次判断两个函数的定义域和解析式是否相同，从而可求得结果. 【详解】
f 选项：f (f )定义域为f ；f (f )定义域为：{f |f ≠0} ∴两函数不相等 f 选项：f (f )定义域为f ；f (f )定义域为：{f |f ≥0} ∴两函数不相等 f 选项：f (f )定义域为f ；f (f )定义域为：{f |f ≥0} ∴两函数不相等
f 选项：f (f )与f (f )定义域均为f ，且f (f )=√f 63
=f 2=f (f ) ∴两函数相等
本题正确选项：f 【点睛】
本题考查相等函数的判断，关键是明确两函数相等要求定义域和解析式都相同，属于基础题.
5．已知()()2
1,0
2,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩
，则()1f f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，由内到外，代入求值即可. 【详解】
因为()(
)2
1,0
2,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，
所以()1[(1)](0)1f f f f f =-==-⎡⎤⎣⎦， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，属于容易题.
6．方程2
0.9021
x
x -=的实数解的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
将方程的解转化为函数的交点个数，画出函数图像得到答案. 【详解】
20.9021x x -
=的实数解的个数即函数0.9x y =的图像和直线221
y x =的交点个数. 数形结合求得0.9x
y =的图像和直221y x =的交点个数为1 故选：B
【点睛】
本题考查了方程的解的个数问题，转化为函数的交点是解题的关键. 7．函数()
()
21()1x x
e f x x e -=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】 【分析】
根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()
()
21()1x x
e f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.
故选:B. 【点睛】
本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力. 8．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 （ ） A ．b a c << B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指、对数的单调性直接将,,a b c 的范围求出来，然后再比较大小. 【详解】
因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<， 故选D. 【点睛】
指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.
9．已知0a >，且1a ≠，若函数()()
2
log 21a f x ax x =-+在1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．[)3,+∞
C ．(]
10,1,33
⎛⎤⋃ ⎥⎝
⎦
D ．[)10,3,3
⎛⎤+∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】 【分析】
令2
()21g x ax x =-+，首先()0>g x 在1,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求出a 的范围，再根据a 的范围确定内层函数
和外层函数的单调性，列不等式求解即可． 【详解】
解：令2
()21t g x ax x ==-+（0a >，且1a ≠），则()0>g x 在1,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立
11321093
a a ⎧≤⎪⎪∴⎨⎪-+>⎪⎩或13
9610a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或11
331210
a a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩
解得：1a >， 所以外层函数log a f x
t 在定义域内是单调增函数，
若函数()()
2
log 21a
f x ax x =-+在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数， 则内层函数2
21t ax x =-+在1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数
11
3
a ∴≤，且1a >， 解得3a ≥，
实数a 的取值范围为[)3,+∞， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．
10．已知函数()3
2log 2x
f x x
-=+,若()()10f a f a +->,则实数a 的取值范围是( )
A ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．11,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．()2,2-
D ．()1,2-
【答案】B 【解析】 【分析】
先计算函数的定义域,再根据()32log 2x
f x x
-=+的单调性与奇偶性求解()()10f a f a +->即可. 【详解】 由题()3
2log 2x
f x x -=+的定义域满足
()()202202x x x x
->⇒-+<+,解得22x -<<. 又()()3
322log lo 210g 2x x
f x f x x x
-++-=⋅=+=-,故()f x 为奇函数. 又()3
324log log 122x f x x x -⎛
⎫==-+ ⎪++⎝
⎭,且42y x =+在()2,2-为减函数,故412y x =-++在()2,2-为减函数.故()f x 为减函数.
故()()10f a f a +->即()()()11f a f a f a >--=-.所以
22
2121a a a a
-<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩
,解得11,2a ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题,需要根据题意判断函数的奇偶性与单调性,并结合定义域进行求解,属于中档题.
11．下列函数的定义域均为()0,∞+，对于任意不相等的正数1x ，2x ，均有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦ 成立的函数有（ ）
①()2f x x =，②()2
43f x x x =++，③()(]
2,0,11
,(1,)x f x x x x ⎧∈⎪=⎨+∈+∞⎪⎩
． A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【解析】 【分析】
性质()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦说明函数是增函数，判断各函数的单调性判断即可． 【详解】
∵对于任意不相等的正数1x ，2x ，均有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数． ①()2
f x x =在(0,)+∞上是增函数；
②()243f x x x =++2
(2)1x =+-在[2,)-+∞是递增，在(0,)+∞上也递增；
③()(]2,0,11
,(1,)x f x x x x ⎧∈⎪
=⎨+∈+∞⎪⎩
，由对勾函数知()f x 在(1,)+∞上是增函数，但在(0,1]上函数()2f x =是常数函数，不满足单调性定义．因此()f x 在(0,)+∞上不是增函数． 只有①②满足． 故选：A.
【点睛】
本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键．注意单调性定义的变化形式，如
()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦或者1212()()
0f x f x x x ->-都揭示函数是增函数，同样
()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦或者
1212
()()
0f x f x x x -<-都揭示函数是减函数．
12．已知函数()()3
56,4,2, 4.
x a x a x f x a
x -⎧-+-≤=⎨
>⎩，且()f x 是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）
A ．14,55⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
B ．14,55⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,5
D ．()1,5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数以及一次函数的图像与性质求出a 的范围即可．
解：由()f x 是单调递增函数，可知：
()5014562a a a a a ⎧->⎪
>⎨
⎪-+-≤⎩
， 解得：
14
a 55
≤< 故选：A ． 【点睛】
本题考查分段函数的图像与性质，考查函数的单调性，注意分界点处函数值的关系.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数()ln f x x =+______．
【答案】{x ｜0＜x≤1} 【解析】 【分析】 【详解】
【考点】函数的定义域及其求法.
{
0110
x x x ><≤-≥由题意得不等式组解得
14．若二次函数()2
f x mx x m =+-在区间(),l ∞-上是单调増函数，则实数m 的取值范围是______． 【答案】1,02⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
由单调性可知函数开口方向向下，对称轴大于等于1，求解得到结果. 【详解】
函数()f x 为二次函数 0m ∴≠
函数()2
f x mx x m =+-在区间(),1-∞上是单调増函数
112m m
<⎧⎪
∴⎨-≥⎪⎩，解得102m -≤<
∴实数m 的取值范围是1,02⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
本题正确结果：1,02⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查利用单调性求解参数范围问题，解题关键是明确二次函数单调性是由开口方向和对称轴决定的. 15．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()2ax
f x =，若()2lo
g 39f -=-，则a =______
【答案】2 【解析】 【分析】
由题意结合奇函数的性质可得2log 329a =，再由对数的运算性质即可得解.
【详解】
因为()f x 是奇函数，当0x >时，()2ax
f x =，2lo
g 30-<，
所以()()2log 3
22log 3log 329a f f -=-=-=-，即2log 329a =，
所以()
2log 3
239a
a ==，解得2a =.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了对数运算性质的应用及运算求解能力，属于基础题.
16．函数()2
2f x x x b =-+的零点均是正数，则实数b 的取值范围是______.
【答案】](
0,1 【解析】 【分析】
将问题转化为方程220x x b -+=的根都是正根的问题，利用韦达定理即可处理.
【详解】
因为函数()22f x x x b =-+的零点均是正数，
故方程220x x b -+=的根都是正根，
故当Δ440b =->时，需满足0b >
解得01b <<.
当Δ440b =-=时，解得1b =，此时方程为()210x -=，
方程的根10x =>满足题意.
综上所述：(]0,1b ∈.
故答案为：(]0,1.
【点睛】
本题考查根据二次函数零点的情况求参数范围，涉及一元二次方程根的分布，属综合基础题.
三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分) 17．已知集合{||23|7}M x x =-≤，{|121}N x a x a =+≤≤+.
（1）若2a =，求()R M N ；（2）若M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{}|23x x -≤< （2）2a ≤
【解析】
【分析】
（1）2a =时，求出集合,M N ，进而可求得()R M N ；
（2）M N M ⋃=，得N M ⊆，分N =∅，N ≠∅讨论，列关于a 的不等式解出来即可.
【详解】
（1）2a =时，{|25}M x x =-≤≤，{|35}N
x x =≤≤，{|35}R N x x x =<>或. 所以{}()|23R M
N x x =-≤<， （2）M N M ⋃=，N M ∴⊆，
①若N =∅时，121a a +>+，解得0a <，符合题意；
②若N ≠∅时，12121512a a a a +≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩
，解得02a ≤≤.
综合可得以2a ≤.
【点睛】
本题考查集合的运算，注意不要遗漏当M N M ⋃=时，N =∅的情况，是基础题.
18．计算：（1）122302132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）lg232log 9lg lg 4105
+-- 【答案】（1）
12
（2）-1 【解析】
【分析】 （1）对指数幂化简整理，根据指数幂的运算法则，即可求解；
（2）根据对数运算法则和对数恒等式，即可得出结论.
【详解】
解：（1）122302132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2132232322()1()()233
⨯⨯=--+ 344112992
=-+=-. （2）lg232log 9lg lg 4105
+-- 2lg 2lg52lg 22=+---
(lg 2lg5)1=-+=-
【点睛】
本题考查分数指数幂、对数的运算，熟记计算公式，属于基础题.
19．已知函数1()41
x f x a =++是R 上的奇函数. （1）先求常数a 的值再求 (
)1f .（2）判断并用定义证明函数()f x 单调性.
【答案】（1）1
2a =-，3(11) 0
f =-；（2）见解析. 【解析】
【分析】 （1）先由 (0)0f =求出a 的值，进而求出函数()f x 的解析式即可求出 ()1f ；（2）利用单调性的定义证明
即可.
【详解】
（1）因为1()41
x f x a =++是R 上的奇函数，所以1(0)02 a f =+=，即1 2a =-，此时1142(1)x f x =-+，则3(11) 0
f =-；（2）函数()f x 在R 上单调递减，任取1x 、2x R ∈，且12x x <，则()()()211212121144()41414141x x x x x x f x f x --=-=++++，易知()()
21124404141x x x x ->++，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递减.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值、函数的求值、利用定义证明函数()f x 单调性等问题，试题综合性强，属常规考题.
20．已知函数111()32
x f x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)作出函数()f x 的图象,并写出其单调区间；
(2)若关于x 的方程()f x m =有一正一负两个实根,求实数m 的取值范围.
【答案】（1）递增区间(],1-∞-，递减区间[)1,-+∞（2）11(,)26
--.
【解析】
【分析】
（1）把函数的解析式，分类讨论去掉绝对值，得到分段函数，作出函数的图象，结合图象，即可求解函数的单调区间；
（2）转化成关于x 的方程()f x m =有一正一负两个实根，即函数()y f x =与直线y m =有2个交点，且两个交点位于y 轴的两侧，结合函数的图象，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数可化为111()32x f x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 可得，当1x ≥-时，111()()
32x f x +=-，当1x <-时11()32
x f x +=-， 其图象如图所示：
结合图象可得，函数()f x 的递增区间为(,1]-∞-，递减区间为[1,)-+∞.
（2）根据题意，函数()11
1()32x f x +=-，则()1110326
f =-=-， 若关于x 的方程()f x m =有一正一负两个实根，
即函数()y f x =与直线y m =有2个交点，且两个交点位于y 轴的两侧， 结合函数的图象可得1126
m -
<<-， 求实数m 的取值范围11(,)26--. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的解析式，准确作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
21．设函数()f x 与()g x 的定义域都是{|x x R ∈且1}x ≠±,()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且
1()()1
f x
g x x +=-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）求1111(2)(3)(4)(5)5432g g g g g g g g ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值. 【答案】（1）()21x f x x =
-，()211g x x =-；（2）4- 【解析】
【分析】
（1）将x -代入1()()1f x g x x +=
-，根据函数的奇偶性，化简求得()f x 和()g x 的解析式. （2）计算出()11g g x x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭
，由此求得所求表达式的值. 【详解】 （1）依题意1()()1f x g x x +=
-①，将x -代入①得1()()1
f x
g x x -+-=--，由于()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数，所以1()()1f x g x x -+=--②. ①+②得()11211g x x x =--+，所以()211112111g x x x x ⎛⎫=-= ⎪-+-⎝⎭.①-②得()11211f x x x =+-+，所以()21
x f x x =-. （2）由（1）得()211g x x =-，所以()221111111g g x x x x ⎛⎫+=+=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1111(2)(3)(4)(5)45432g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
22．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2
f x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
（Ⅱ）)
+∞ 【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由函数奇偶性得()00f =；再设0x <，则0x ->，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果；
（Ⅱ）先由题意，将不等式化为(
))
f x a f +≥
，再由函数单调性，得到x a +≥，推出
)
1a x ≥，求出)
max 1⎡⎤⎣⎦x ，即可得出结果. 【详解】
（Ⅰ）由题意知，()00f =.
设0x <，则0x ->，故()()2
2f x x x -=-=，
又因为()f x 是奇函数，故()()2f x f x x =--=-， 所以()22,0,0
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩.
（Ⅱ）由)222x =，不等式()()2f x a f x +≥，等价于())
f x a f +≥， 因为()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
，所以其在R 上是增函数，
∴x a +≥，即)
1a x ≥，
∵[],2x a a ∈+，∴当2x a =+时，)())max 121x a ⎡⎤=+⎣
⎦，
得a ≥a 的取值范围是)
+∞. 【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.。