江苏省兴泰高补中心数学补课讲义 易错题(6)苏教版

易错题重做（6）
一、填空题
1．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规
律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 2
6
2+-n n .
2．
已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值是 4
5
-
． 3．函数2
2cos sin 2y x x =+的最小值是
_____14．过椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若
1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为
3
． 5. 已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩
当为偶数时，
当为奇数时。

若6a ＝1，则
m 所有可能的取值为___4 5 32_______
6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ，若1n n a a +≥，*
n ∈N ，
求a 的取值范围是 [)9-+∞， ．
7．已知⎩⎨⎧=≠=,0,
0,0||,|lg |)(x x x x f ，则方程0)()(2=-x f x f 的实根共有 7 个
二、解答题
8．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
………………
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1） 求x 的值；
（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3） 已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【解析】（1）
0.192000
x
= ∴ 380x = （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
48
500122000
⨯= 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
∴ 5
()11
P A =
9．在ABC ∆中，已知2
233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小. 解： 设,,BC a AC b AB c ===.
由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos bc A =，所以cos 2
A =. 又(0,),A π∈因此6
A π
=
.
由2
3AB AC BC ⋅=得2bc =
，于是2sin sin 4
C B A ⋅==
.
所以5sin sin(
)64C C π⋅-=，1sin (cos )224
C C C ⋅+=，因此
22sin cos 220C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03
C π
-=.
由6A π
=
知506C π<<
，所以42333C πππ-<-<，从而
20,3C π-=或2,3C π
π-=，既,6C π=或2,3C π=故
2,,,636A B C πππ===或2,,663
A B C πππ
===。

10．设函数f （x ）＝sin x ＋cos x 和g （x ）＝2sin x cos x ．
（Ⅰ）若a 为实数，试求函数F （x ）＝f （x ）＋ ag （x ），x ∈[0，π
2
]的最小值h （a ）； （Ⅱ）若存在x 0∈[0，
π
2
]，使 | a f （x ）－g （x ）－3|≥12 成立，求实数a 的取值范围．
解：（Ⅰ）F （x ）＝sin x ＋cos x ＋2a sin x cos x ，
令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[1，2]，则2sin x cos x ＝ t 2－1， F （x ）＝m （t ）＝at 2＋t －a ，t ∈[1，2]． ①当a ＜0时，m （t ）＝at 2＋t －a ＝a （t ＋
12a ）2＋1
4a
－a 是开口向下，对称轴t ＝－1
2a 的抛物线．
若t ＝－12a
，即1－2≤a ＜0， 则h （a ）＝ m （1）＝1．
若t ＝－
12a
，即a ＜ 1－2，则h （a ）＝ m a ．
②当a ＝0时，m （t ）＝at 2＋t －a 是[1，2]上的增函数，h （a ）＝ m （1）＝1． ③当a ＞0时，m （t ）＝at 2＋t －a ＝a （t ＋
12a ）2＋1
4a
－a 是开口向上，对称轴t ＝－1
2a
＜0的抛物线，故在区间[1上是增函数，所以h （a ）＝ m （1）＝1．
综上所述，1()
1a a h a a ⎧<-⎪=⎨⎪⎩≥，
（Ⅱ）令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[1，2]，
| a f （x ）－g （x ）－3|＝| a （sin x ＋cos x ）－2sin x cos x －3| ＝| t 2－at ＋2|≥1
2
，t ∈[1，2]，
∴ t 2－at ＋2≥12，或t 2－at ＋2≤－12．∴ a ≤t ＋32t ，或a ≥t ＋5
2t ．
当t ∈[1，2]时，t ＋32t ∈[6，5
2]，t ＋52t ∈[942，72]．
∴ a ≤
5
2
，或a ≥942．。