潍坊一中高三理科数学试题.docx

高中数学学习材料
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潍坊一中高三理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3． 第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式： 如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1． 设集合{}512|≥-=x x A ，集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=
=x x y x B 7cos |，则B A 等于（ ） A ．()3,7 B ．[]3,7 C ． [)3,7 D ．(]3,7
2． 已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 设两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2
222(,)(0)N μσσ>曲线如图所示,则有 （ ）
A ．1212,μμσσ<>
B ．1212,μμσσ<<
C ．1212,μμσσ>>
D ．1212,μμσσ><
4． 下列命题中，真命题是( ) A ．存在,e 0x x ∈≤R B ．1,1a b >>是1ab >的充分条件 C ．任意2,2x x x ∈>R
D ．0a b +=的充要条件是
1a
b
=- 5． 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线4
x π=对称，则ϕ的最小值为
A ．18
π
B ． 12
π
C ． 34π
D ． 38
π
6．已知x 、y 满足2y x
x y x a ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是
A ．
34 B ．14 C ．2
11
D ．4 7． 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是
A ． 715816P <≤
B ．15
16P >
C ． 715816P ≤<
D ． 3748P <≤
8．已知边长为2的等边三角形ABC ，过C 作BC 的垂线l ，则将ABC 绕l 旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是
A ．23π
B ． 43π
C ． 25π
D ． 45π
9． 已知抛物线()2
20y px p =>的焦点F 与双曲线
22
145
x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且
2AK AF =，则A 点的横坐标为（ ）
A ．22
B ． 3
C ．23
D ． 4
x
y
211(,)N μσ
222(,)N μσ
第7题图
10． 设函数)cos (sin )(x x e x f x -= (02016)x π≤≤，则函数)(x f 的各极小值之和为（ ）
A ．220162(1)1e e e πππ---
B ．21008(1)1e e e πππ---
C ．210082(1)1e e e πππ---
D ．220142(1)1e e e πππ
---
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11． 如图所示，由函数()sin f x x =与函数()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上的图象所围成的封闭图形的面积为________．
12． 已知对于任意的x R ∈，不等式35x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是________．
13． 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，
C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则
e
B C A 1
s i n s i n s i n =+，现将该命题类比到双曲线中，△ABC
的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ．双
曲线的离心率为e ，则有________． 14． 在ABC ∆中，点D 满足3
4
BD BC =
，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1
λμ
+
的最小值为________．
15． 已知()f x 为定义在()0,+∞上的连续可导函数，且()()f x xf x '>，则不等式()2
10x f f x x ⎛⎫
-<
⎪⎝⎭
的解集为__________________．
三、解答题：（本答题共6小题，共75分） 16． （本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且相邻两条对称轴的距离为
2
π． （1）求函数()f x 的解析式及其在[]0,π上的单调递增区间； （2）在,,ABC a b c ∆中，分别是A,B,C 的对边，若1cos ,122A f A bc ⎛⎫
-== ⎪
⎝⎭
，3b c +=，求a 的值． 17． （本小题满分12分）
如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,22AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=．
（Ⅰ）证明：平面FBE A DC '⊥平面；
（Ⅱ）若二面角F BE C --的大小为45，求λ的值．
18． （本小题满分12分）
射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为
23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为3
4
，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量ξ表示该射手一次测试累计得分，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分数ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

19． （本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，223422,2S a S a =-=- （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()22log 2n
n n
a n n n
b n n a ⎧⎪+⎪
=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T
20． （本小题满分13分）
已知点P(a ，4)(a>0)在抛物线C ：2
2x py =(p>0)上，P 点到抛物线C 的焦点F 的距离为5． (1 )求抛物线C 的方程；
(2)已知圆E ：2
2
2x y y +=，过圆心E 作直线l 与圆E 和抛物线C 自左而右依次交于A 、B 、C 、D ，如果
图1
A
D
B E
C
A '
B
D
E
C
图2
F
|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l 的方程；
(3)过点Q(2，4)的任一直线(不过P 点)与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线y=x-4交于点M ，记直线
PA 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数λ，使得123
11k k k λ
+=，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
21． （本小题满分14分）
已知函数ln ()1
x x
f x x =
+和直线:(1)l y m x =-． （Ⅰ）当曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线l 垂直时，求原点O 到直线l 的距离； （Ⅱ）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：4
2
1ln 21.()41
n
i i n n i *=+<∈-∑
N ．
高三理科数学试题参考答案
一、选择题：CCABD BDABD 二、填空题 11．22 12． ()(),28,-∞-+∞ 13．
e
B
C A 1
sin sin sin =
- 14． 233 15． (0，1)
三、解答题
16．解：（1）由()f x 的图像过点10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，得1
sin 2
ϕ=
又02
π
ϕ<<
，6
π
ϕ∴=
…………………………………1分
由相邻两条对称轴的距离为2
π
，知()f x 的周期T π= 则
22π
πωω
=∴= …………………………………2分
()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ …………………………………4分
令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，
得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈ …………………………………5分
当0k =时， 3
6
x π
π
-
≤≤
；当1k =时，
2736
x ππ
≤≤
所以函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间是0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
……………6分 （2）由1cos 22A f A ⎛⎫-=
⎪⎝⎭，可得1sin cos 62A A π⎛
⎫+-= ⎪
⎝
⎭ 则
311
sin cos 222
A A -= …………………………………7分 化简得1sin 62
A π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭ …………………………………8分 506
6
6
A A π
π
π
π<<∴-<-
<
…………………………………9分 ,663
A A π
π
π
∴-
=
∴=
…………………………………10分
又1bc =，3b c +=，由余弦定理可得
()2
2222cos 36a b c bc A b c bc =+-=+-=， …………………………………11分
6a ∴= …………………………………12分
17．解析：（Ⅰ）
平面A DE '⊥平面DBCE ,A D DE '⊥
∴A D '⊥平面DBCE ∴A D BE '⊥
,D E 分别为中点
∴11
2,222
DE BC BD AB =
===……………………………………2分 在直角三角形DEB 中，
2
tan 2,tan 2
BD BD BED CDE DE CB ∠=
=∠== 1tan tan 0BED CDE -∠∠=∴90BED CDE ∠+∠=得BE DC ⊥
∴BE A DC '⊥平面，又,BE FEB ⊂平面
∴FEB A DC '⊥平面平面……………………………………………………6分 （Ⅱ）作,,,FG DC G FG DBCE ⊥⊥垂足为则平面
设BE 交DC 于O 点，连OF ，
由（Ⅰ）知，FOG ∠为二面角F －BE －C 的平面角………………………7分 由//,
,FG CF
FG A D A D CA '==''
λ∴2FG A D '==λλ
==131CG CD DG CD =2λλλ--同理，得，（）（）
233BD DE DO BE ⋅=
=，∴23
313
OG DG DO 2=-=--
λ（） 在2Rt tan 123
313FG OGF FOG OG 2λ
λ∆∠===--
中，由（）………………10分
得，3
13
λ=-
………………………………………………………………12分 方法2：BE A DC '⊥平面，设BE 交DC 于O 点，连OF ，
则FOC ∠为二面角F －BE －C 的平面角…………………………………7分 又
2,22DB CB == ∴23CD =
由:1:2DO OC =得43
3
OC =
……………………………………………8分 在直角三角形A DC '中30,4A CD A C ︒''∠==，45FOC ︒∠=∴105OFC ︒∠=
由
sin105sin 75OC CF
︒︒
=
得4343CF =-从而得，313CF CA λ'==-…………12分 方法3：以D 为坐标原点DB ，DE ，D A '分别为OX ，OY ，OZ 轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D
（0，0，0），A '（0，0，2），B （2，0，0），
C （2，22，0），E （0，2，0）．
（Ⅰ）(2,2,0),(2,22,0),(0,0,2)BE DC DA '=-==
∵440,BE DC ⋅=-+=∴,BE DC ⊥ …………2分 ∵0,BE DA '⋅=∴BE DA '⊥ …………4分
又DC
DA D '=，∴BE ⊥平面A DC ' …………5分 又BE ⊂平面FBE
所以平面FBE ⊥平面A DC ' …………………………………………6分
（Ⅱ）设(2,22,2)(22,2222,2)CF CA CF F '=∴=-∴--λλλλλ
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =
(2,2,0),(2,2222,2)BE BF λλλ=-=--
220
2(2222)20
x y x y z ⎧-+=⎪⎨
-⋅+-⋅+⋅=⎪⎩λλλ， 取(,2,32)n λλλ=- ……………………………………………………8分 又
平面BEC 的法向量为(0,0,1)n '= ……………………9分
∴22
|32|2cos 452
3(32)ο
-=
=
+-λλλ得2
3620λλ-+= 解得3
13
=±
λ， ……………………11分 又∵01<<λ ∴3
13
λ=-
……………………………………………………………12分 18． 解：在甲靶射击命中记作A ,不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ,不中记作B ，
其中221331
(),()1,(),()1333444
P A P A P B P B =
=-===-= ……2分 ⑴ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则
1111
(0)()()()()34448
P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，
(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(1311136
34434448=⨯⨯+⨯⨯=
，
2(3)()3P P A ξ===
，
1339
(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=
．
ξ的分布列为：
ξ 0 2 3 4
P
148 648 23 948
1629
023*********
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……6分
⑵射手选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,
1
2931
(3)34848P P ξ=≥=+=； ……8分 21333133327
(3)()()()4444444432
P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=, …10分
因为21P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……12分 19． 解：（1）由已知2222S a =- ①
342S a =- ②
①-②得3422a a a =-即2
20q q --= ……………………2分 又
02q q >∴= ……………………3分
22122111122,22222S a a a a a a q a q a =-∴+=-∴+=-∴= ……………………5分
2n n a ∴= ……………………6分
（2）由（1）知()()221
log 22222n n n n n
n n n n n n b b n n n n ⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨
⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数
为奇数为偶数
为偶数……………7分
所以21232n n T b b b b =+++
+
=
11111
1121335
2121n n ⎛⎫-+-++
- ⎪-+⎝⎭
()246
222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦
21
n n =
+()2
4
62
22426222
n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦ ……………………9分 设()2
4
6
222426222n A n ----⎡⎤=⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦，
则()()2
4
6
8
222222426222222n n A n n -------=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，
两式相减得
()()46822231
222222242n n A n ------=+++++-⋅， 整理得2868
992n
n A +=-⨯， ……………………11分 所以2286899221
n n n n
T n +=-+⨯+． ……………………12分
20． 解：( I )由题意知4+5,22
p
p =∴= ………………2分
2
4x y = ………………3分 （2）圆E ：2
2
2x y y +=，设l 方程为1y kx -=
联立2214404y kx x kx x y -=⎧⇒--=⎨=⎩21212
16160
44
k x x k
x x ⎧=+>⎪⇒+=⎨⎪=⎩ ………………5分 又+2+3AB CD BC AB CD BC BC =∴+=即3=6AD BC =…………6分 即
()(
)()()2
2
2
2
1
2
121+41+16166k x x x x k k
⎡⎤+-=
+=⎣⎦
即2
1222
k k =
⇒=± ………………7分 l ∴的方程为：
2102x y -+=或2
102
x y +-= ………………8分 （3）设直线AB 方程为()42y k x -=-，设A,B 两点的坐标为()()1122,,,A x y B x y
联立()824214241M M
k x y k x k
k y x y k -⎧=⎪-=-⎧⎪⎪-⇒⎨⎨+=-⎪⎩⎪=⎪-⎩
，得382412142341k k k k k k k --+-==
+--…………9分 联立()122
2
12424481608164y k x x x k x kx k x x k x y ⎧-=-+=⎧⎪⇒-+-=⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩ …………10分
联立()()121212221212121212124844441144
44444164444
x x x x x x x x k k y y x x x x x x ++----+=+=+=+=--+++++--
()()4482281616163k k k k k
++=
=-++ ………………12分
123
112k k k ∴
+= 所以存在实数λ，使得
123
11k k k λ
+=且2λ= ………………13分 21． 解析：（Ⅰ）2
1ln ()(1)x x
f x x ++'=
+………………………………………………………………2分
∴1(1)2
f '=，于是2m =- ， 直线l 的方程为 220x y +-=……3分 原点O 到直线l 的距离为
255…………………………………………………4分 （Ⅱ）ln 1(),[1,),()(1),ln ()1x x f x x f x m x x m x x x =
∀∈+∞≤-≤-+即，
设1()ln ()g x x m x x =--，即[1,),()0x g x ∀∈+∞≤ 22211()(1)mx x m g x m x x x -+-'=-+= …………………………………………6分 ①若0m ≤，存在x 使()0g x '>，()(1)0g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾…7分
②若0m >，方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-， 当0∆≤，即12
m ≥时，()0g x '≤， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递减，
∴()(1)0g x g ≤=，即不等式成立…………………………………………………8分 当102
m <<时，方程20mx x m -+-=，设两根为12,x x ， 22
1212114114()(0,1),(1,)22m m x x x x m m --+-<=∈=∈+∞ 当2(1,),()0,()x x g x g x '∈>单调递增，()(1)0g x g >=与题设矛盾， 综上所述，12
m ≥………………………………………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时，12m =时，11ln ()2x x x <-成立．
不妨令21,()21k x k k *+=∈-N ，
所以221121214()212212141k k k k k k k k ++-<-=--+-， 214[ln(21)ln(21)],()441
k k k k k *+--<∈-N ……………………………………11分 22211(ln 3ln1)441112(ln 5ln 3)44211(ln(21)ln(21))4
41n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪+--<⎪⨯-⎩…………………………………………12分 累加可得211ln(21)441n i i n i =+<-∑()n *∈N ．即421ln 2141n i i n i =+<-∑()n *∈N …………14分。