2016-2017学年云南省昆明市高三(上)摸底数学试卷(理科)

2016-2017学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）
A．（﹣∞，0]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪[3，+∞）C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0] 2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=3+4i，则z=（）
A．2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．﹣2+i
3．（5分）已知向量=（x，），=（x，﹣），若（2+）⊥，则||=（）A．1 B．C．D．2
4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（）
A．21 B．34 C．55 D．89
5．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
6．（5分）如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成，若府视图中扇形的面积为3π，則该几何体的体积等于（）
A．8πB．C．4πD．
7．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a
＞b），则=（）
A．B．C．D．
8．（5分）为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位
9．（5分）点A，F分别是椭圆C：+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF ⊥AF，则△AFP的面积为（）
A．6 B．9 C．12 D．18
10．（5分）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=（+1）2+1，则a12=（）
A．101 B．122 C．145 D．170
11．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，当x＜2时，f（x）≤ax+b
恒成立，则实数b的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若，MN与圆C相切，则|MN|的最小值为（）
A．1 B．C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是．
14．（5分）△ABC中，BC边上的中线等于BC，且AB=3，AC=2，则BC=．15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为．
16．（5分）设点P，Q分别是曲线y=xe﹣2x和直线y=x+2上的动点，则P，Q两点间的距离的最小值是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S2n=2a n2+a n．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=2an，求b1+b3+b5+…+b2n+1．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E为线段AB上一点，AE=BE，F为PD的中点．
（1）证明：PE∥平面ACF；
（2）求二面角A﹣CF﹣B的正弦值．
19．（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次
收费比例10.950.900.850.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第第1次第2次第3次第4次第5次
频数60201055
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．
20．（12分）已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
21．（12分）已知函数f（x）=e x+ax﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）用[m]表示不超过实数m的最大整数，如：[0，3]=0，[﹣1，3]=﹣2，若x＞0时，（m ﹣x）e x＜m+2，求[m]的最大值．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O交于点F，连接DF．
（1）证明：C，D，F，E四点共圆；
（2）若EF=3，AE=5，求BD•BC的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ+2sinθ+=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（3，3），倾斜角α=．
（1）写出曲线C直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣|，其中m＞0．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若a∈R，且a≠0，证明：f（﹣a）+f（）≥4．
2016-2017学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2016秋•昆明月考）设集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，0]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪[3，+∞）C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0]
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解A={x|x2﹣3x≥0}=（﹣∞，0]∪[3，+∞），B={x|x＜1}=（﹣∞，1]
∴A∩B=（﹣∞，0]
故选：D
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2016秋•昆明月考）已知复数z满足（2+i）z=3+4i，则z=（）
A．2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．﹣2+i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：因为（2+i）z=3+4i，
所以z=====2+i．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数方程的化简，考查计算能力．
3．（5分）（2016秋•袁州区校级期中）已知向量=（x，），=（x，﹣），若（2+）⊥，则||=（）
A．1 B．C．D．2
【分析】由便可得到，代入向量的坐标进行运算即可求出x2的值，从而便可得出的值．
【解答】解：根据条件：；
∴
=2（x2﹣3）+x2+3
=3x2﹣3
=0；
∴x2=1；
∴．
故选D．
【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，能根据向量坐标求向量长度．
4．（5分）（2016秋•昆明月考）执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（）
A．21 B．34 C．55 D．89
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=1，
执行循环体，a=2，b=3，
不满足条件b＞50，执行循环体，a=5，b=8
不满足条件b＞50，执行循环体，a=13，b=21，
不满足条件b＞50，执行循环体，a=34，b=55，
满足条件b＞50，退出循环，输出的值为55．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．
5．（5分）（2016秋•昆明月考）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣3）=（）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），
∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣log2（3+1）=﹣log24=﹣2，
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．
6．（5分）（2016秋•昆明月考）如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成，若府视图中扇形的面积为3π，則该几何体的体积等于（）
A．8πB．C．4πD．
【分析】1由三视图可知：这个几何体是球去掉剩下的几何体．利用球的体积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：这个几何体是球去掉剩下的几何体．
∴这个几何体的体积=π×23=8π，
故选：A．
【点评】本题考查了球的三视图、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2016秋•枣阳市校级期中）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条
直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关乎a，b的方程，解得即可．
【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为，
正方形ABCD面积为a2+b2，
三角形的面积为ab，
∴=1﹣，
即a2+b2=ab，
即+=，
∵a＞b，
解得=，=2（舍去）
故选B．
【点评】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．
8．（5分）（2016秋•昆明月考）为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（）
A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位
【分析】利用两角和的正弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的
图象变换规律，得出结论．
【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），函数y=cos2x=sin（2x+），
故把函数y=cos2x的图象向右平行移动个单位，
可得函数y=sin2x﹣cos2x═sin（2x﹣）的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
9．（5分）（2016秋•皇姑区校级期中）点A，F分别是椭圆C：+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：如图，
由椭圆C：+=1，得a2=16，b2=12，
∴，
|PF|=，
|AF|=a+c=6，
∴△AFP的面积为．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
10．（5分）（2016秋•昆明月考）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=（+1）2+1，则a12=（）
A．101 B．122 C．145 D．170
【分析】a n
=（+1）2+1＞0，可得=（+1）2，﹣=1，
+1
利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a n
=（+1）2+1＞0，
+1
则=（+1）2，
∴﹣=1，
∴数列是等差数列，公差为1．
∴=1=（n﹣1）=n，可得a n=n2+1，
∴a12=122+1=145．
故选：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）（2016秋•昆明月考）已知函数f（x）=，若存在实数a，当x＜2时，f（x）≤ax+b恒成立，则实数b的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）
【分析】画出函数f（x）的图象，由由y=ax+b可得直线在y轴上的截距为b，直线总在曲线上方，即可得到b的范围．
【解答】解：画出函数f（x）=的图象，
由y=ax+b可得直线在y轴上的截距为b，
若存在实数a，当x＜2时，f（x）≤ax+b恒成立，
则b≥2．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，属于基础题．
12．（5分）（2016秋•昆明月考）在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x 轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若，MN与圆C相切，则|MN|的最小值为（）
A．1 B．C．D．
【分析】由题意，根据圆的对称性，可得OC⊥MN时，|MN|取得最小值．
【解答】解：由题意，根据圆的对称性，可得OC⊥MN时，|MN|取得最小值，最小值为=2﹣，
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查线段长的计算，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2016秋•昆明月考）若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是
[3，7] ．
【分析】利用已知条件画出可行域，关键目标函数的几何意义求最值．
【解答】解：由约束条件得到可行域如图：设z=x+2y则y=，当此直线经过图中A （1，1）时直线在y轴的截距最小，z最小，经过C（1，3）时，直线在y轴的截距最大，z 最大，所以x+2y的最小值为1+2=3，最大值为1+2×3=7，所以x+2y的取值范围为：[3，7]；故答案为：[3，7]．
【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，借助于目标函数的几何意义求出最值．
14．（5分）（2016秋•昆明月考）△ABC中，BC边上的中线等于BC，且AB=3，AC=2，则BC=．
【分析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设BC=x，则BC边上的中线等于，
利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和可得，
∴x=，
故答案为．
【点评】本题考查解三角形的应用，考查学生的计算能力，正确运用利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和是关键．
15．（5分）（2016秋•昆明月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为．
【分析】如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，证明AC1∥平面B1D1F，再进行求解即可．
【解答】解：如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，
则EF∥AC1，易知AC1⊥平面A1DB，∴EF⊥平面A1DB，EF⊥平面A1DB．
∵EF⊂面B1D1F，∴△B1D1F为平面α截该正方体所得截面，∴在△B1D1F中，B1D1=2，EF=，B1D1⊥EF，
∴平面α截该正方体所得截面的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查面面垂直的判定，考查三角形面积的计算，正确判定面面垂直是关键．属于中档题．
16．（5分）（2016秋•昆明月考）设点P，Q分别是曲线y=xe﹣2x和直线y=x+2上的动点，则P，Q两点间的距离的最小值是．
【分析】对曲线y=xe﹣2x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．
【解答】解：点P是曲线y=xe﹣2x上的任意一点，
和直线y=x+2上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，
就是求出曲线y=xe﹣2x上与直线y=x+2平行的切线与直线y=x+2之间的距离．
由y′=（1﹣2x）e﹣2x 令y′=（1﹣2x）e﹣2x =1，解得x=0，
当x=0，y=0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值
即为点P（0，0）到直线y=x+2的距离d min==．
故答案为：．
【点评】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•昆明月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S2n=2a n2+a n．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=2an，求b1+b3+b5+…+b2n+1．
【分析】（1）利用递推关系、猜想此数列为等差数列，验证成立即可．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1），则，又a1=1，得a2=2，
猜想数列{a n}为等差数列，公差d=a2﹣a1=1，可得数列{a n}的通项公式为a n=n．
验证：左边=S2n==2n2+n=右边．
∴猜想a n=n正确．
（2），
}是首项为2，公比为4的等比数列，
∴数列{b2n
+1
∴．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•昆明月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥BC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E为线段AB上一点，AE=BE，F为PD 的中点．
（1）证明：PE∥平面ACF；
（2）求二面角A﹣CF﹣B的正弦值．
【分析】（1）连接CE，DE，设DE∩AC=O，连接FO，推导出四边形AECD为平行四边形，从而OF∥PE，由此能证明PE∥平面ACF．
（2）取AD的中点G，连接PG，以C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴，y 轴，为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C 的正弦值．
【解答】证明：（1）连接CE，DE，设DE∩AC=O，连接FO，
∵，∴，
∴四边形AECD为平行四边形，且O是DE的中点，
又∵F为PD的中点，∴OF∥PE，
∵OF⊂平面ACF，PE⊄平面ACF，
∴PE∥平面ACF．
解：（2）取AD的中点G，连接PG，
由PA=PD，得PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，
∴PG⊥平面ABCD，在Rt△CBE中，，
在等腰△PAD中，，∴，
以C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴，y轴，为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
由题知，，
∴
设是平面CBF的法向量，
则，即，∴．
设是平面CAF的法向量，
则，即得．
∴，
设二面角A﹣CF﹣B的平面角为θ，
则sinθ==．
∴二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．（12分）（2016秋•昆明月考）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次
收费比例10.950.900.850.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第第1次第2次第3次第4次第5次
频数60201055
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．
【分析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．
（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200﹣150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95﹣150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．
（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．
【解答】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，
∴估计一位会员至少消费两次的概率为．
（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200﹣150=50（元），
第2次消费时，公司获得利润为200×0.95﹣150=40（元），
∴公司这两次服务的平均利润为（元）．
（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，
故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：
X5045403530
P0.60.20.10.050.05
X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．
【点评】本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2016秋•昆明月考）已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，
1）在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率k AM=，直线BM的斜率k BM=，k AM•k BM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得k AM•k BM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣．
【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，
又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，
∴p的值；
（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，
当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），
则直线AM的斜率k AM=，直线BM的斜率k BM=，
∴k AM•k BM=×=﹣．
当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AM的斜率k AM===，同理直线BM的斜率k BM=，
k AM•k BM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），
联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，
∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣，
故k AM•k BM===﹣，
综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2016秋•昆明月考）已知函数f（x）=e x+ax﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）用[m]表示不超过实数m的最大整数，如：[0，3]=0，[﹣1，3]=﹣2，若x＞0时，（m ﹣x）e x＜m+2，求[m]的最大值．
【分析】（1）由条件，曲线在（0，f（0））处的切线斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=﹣1，f'（x）=e x﹣1，再通过解不等式即可求出单调区间；
（2）利用转化思想，x＞0时，不等式（m﹣x）e x＜m+2等价于，然后构造新函
数，记g（x）=，根据（1）的结论可得存在x0∈（1，2），使得g'（x0）=0，且g（x）
=g（x0），再通过化简运算可得g（x）min=x0+1，由x0∈（1，2），即可求出[m]的最大值．min
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=e x+a，
由条件，f'（0）=1+a=0，得a=﹣1，则f'（x）=e x﹣1
由f'（x）=e x﹣1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．
（2）x＞0时，不等式（m﹣x）e x＜m+2等价于，
令，∴，
由（1）得u（x）=e x﹣x﹣3在（0，+∞）上单调递增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且1＜x0＜2，
∴当x∈（1，x0）时，g'（x）＜0，当x∈（x0+∞）时，g'（x）＞0，
∴g（x）min=g（x0），由g'（x0）=0得，
∴g（x）min=，
∵1＜x0＜2，∴2＜g（x0）＜3，
∵m＜g（x0），∴[m]的最大值为2．
【点评】本题考查了利用导数求切线的斜率和函数的单调区间，以及函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，以及函数最值的求法，利用参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2016秋•昆明月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O交于点F，连接DF．
（1）证明：C，D，F，E四点共圆；
（2）若EF=3，AE=5，求BD•BC的值．
【分析】（1）连接AD，证明∠C=∠DAB，∠C=∠DFB，利用∠DFE+∠DFB=180°，可得∠DFE+∠C=180°，即可证明C，D，F，E四点共圆；
（2）连接AF，根据C，D，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求BD•BC的值．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠C+∠DBA=90°，∴∠C=∠DAB，
∵，∴∠DAB=∠DFB，∴∠C=∠DFB，
∵∠DFE+∠DFB=180°，∴∠DFE+∠C=180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
（2）解：连接AF．
∵AB是⊙O的直径，∴AF⊥BE，
∵∠BAC=90°，∴AE2=EF•EB，∴52=3EB，
即，∴，
∵C，D，E，F四点共圆，∴．
【点评】本题考查四点共圆的证明，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016秋•昆明月考）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ+2sinθ+=0，以极点为平面
直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点P（3，3），倾斜角α=．
（1）写出曲线C直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
【分析】（1）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化简可得曲线C的直角坐标方程；运用直线的参数方程的标准形式，可得直线l的方程；
（2）将直线l的方程代入圆的方程，可得t的二次方程，由韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）曲线C化为：ρ2﹣6ρcosθ+2ρsinθ+1=0，
化为直角坐标方程为x2+y2﹣6x+2y+1=0，
化为标准方程是（x﹣3）2+（y+1）2=9；
直线l的参数方程为，
即为参数）．
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得，
整理得：，，
则，
所以．
【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016秋•昆明月考）已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣|，其中m＞0．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若a∈R，且a≠0，证明：f（﹣a）+f（）≥4．
【分析】（1）去绝对值符号，对x讨论，分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1，解不等式即可得到所求解集；
（2）求出f（﹣a）+f（）的解析式，运用绝对值不等式的性质和累加法，即可得证．【解答】解：（1）当m=1时，由f（x）=|x+1|+|x﹣1|，
由f（x）≤4得|x+1|+|x﹣1|≤4⇔，
或，或或﹣1≤x≤1或1＜x≤2，
可得不等式的解集为[﹣2，2]；
（2）证明：，
|﹣a+m|+|+m|≥|+a|=+|a|≥2，
|﹣a﹣|+|﹣|≥|+a|=+|a|≥2，
两式相加可得，f（﹣a）+f（）≥4．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，注意运用分类讨论和累加法，考查运算能力，属于中档题．
参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；海燕；wkl197822；lcb001；maths；caoqz；sxs123；沂蒙松；双曲线；changq；陈远才；zlzhan；铭灏2016；叶老师（排名不分先后）
菁优网
2017年1月16日。